数列通项公式的求法(最全)

通项公式的求法类型一观察法：已知前几项，写通项公式一、普通数列：例.试写出下列数列的通项公式na1212112--,-3253277777777773baba（），，，，（），，，（），，，12(1)nnan7(101)9nna(1)22nnababa方法规律总结：1.正负号用(-1)n或(-1)n+1来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。2.如0.7，0.77,0.777…类的数列，要用“归九法”3.两个循环的数列是0,1,0,1…的变形。可以拆成一个常数列b,b,b,b…与0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。)101-1（97nna类型二、前n项和Sn法已知前n项和，求通项公式11(1)(2)nnnSnaSSn设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1,求﹛an﹜的通项公式.例2：设数列﹛an﹜满足a1=1,an=-SnSn-1(n≥2，n∈N*）求﹛an﹜的通项公式.例3：21212nnann1112(1)nnannn提示：把an代换成Sn-Sn-1等式两边再同÷（-SnSn-1）1时，2提示：当nnnSSan]1)1(21)-[(n-1)-2nn(22n2362nnnaaS分析：由题意得2366112111aaSan时，当212111111aSaaa故又或解得①②由②－①整理得2361211nnnaaS且有300)3)((1111nnnnnnnnaaaaaaaa又13)1(3232nnaaannn的通项为故的等差数列，，公差为是首项为故11nnnaSS的关系与可找出nnaa1的通项公式求，),2)(1(6且1满足项和的前各项均正数的数列)重庆07(：3例*1nnnnnnaNnaaSSSna例1：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n(n≥2),求通项an.练：111311,3(2)2nnnnnaaaanan已知中,证明：类型一、累加法形如的递推式11223343221123.......32nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa解：以上各式相加n1a(234)(n+2)(n-1)=1+2an得二、递推数列：条件：f（1）+f（2）+…f（n-1）的和要可以求出才可用1()nnaafn例2：12,3,.nnnnnaaaaa1已知中，求通项练：122,2,.nnnnaaaaan1已知中，求通项类型二、累乘法形如的递推式1234123123423221232113,3,3,3.......3,33333323nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa解：以上各式相乘得123(-1)(-1)2(-1)22323nnnnnna条件：f（1）f（2）…f（n-1）的积要可以求出才可用1()nnafna满足与若数列相邻两项一nnaa1)(则可考虑待定系数法设xapxann1为待定系数，其中x()-满足qxpx构造新的辅助数列}{xan是首项为xa1qpaann1公比为p的等比数列，求出,再进一步求通项xanna类型三、形如的递推式通用方法：待定系数法1()nnapafn1、形如qpaann1例3：111,21.nnnnaaaaa数列满足,求分析：构造等比数列{an+x}，若可以观察x值更好解：由121nnaa得：112(1)nnaa∴{1}na是以112a为首项，2为公比的等比数列故11222nnna∴21nna2、形如类型三、形如的递推式例6.已知数列}{na满足12(21)nnaan，且21a，求通项na解：设)(2)1(1bknabnkann，对比系数得21kbk解得1,2bk故12251nann分析：构造等比数列{an+kn+b}，1()nnapafnBAnpaann13、形如类型三、形如的递推式例7.已知数列}{na满足11a，且2121nnaann，求通项na解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz，对比系数得1211xyxzxy解得113xyz故2{3}nann以2为公比，21113=6a为首项的等比数列。故213=6232nnnann即2323nnann分析：构造等比数列{an+xn2+yn+z}，1()nnapafnCBnAnpaann214、形如类型三、形如的递推式例8.已知数列}a{n满足1122313nnnaaa，，求数列}a{n的通项公式解：设1132(3)nnnnaxyaxy，对比系数得21xy解得21xy故{231}nna以2为公比，11231=-2a为首项的等比数列。故1231=-222nnnna即2321nnna分析：构造等比数列{an+xqn+y}，1()nnapafnBAqpaannn1类型四：（1）形如的递推式例7：1113,33,nnnnaaaaan数列满足:求通项公式.1111133133133-11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）相除法两边同除以1nA11nnnABAaa类型四、（2）形如的递推式相除法11nnnCBAaa两边同除以或1nA1nC的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24,2111变式：122211nnnnaa可化为的等比数列，公比为是首项为故数列22121212aannnnnnnnaa242221211221211nnnnaa都是常数与相邻两项，是其、，新数列2122211nnnnnnaaa1124nnnaa分析：的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24,21111124nnnaa1112144nnnnnaa可化为为什么类型呢？，转化同除以14n1112144nnnnnaannnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnnna21121212121432nnna24上面各式相加可得几个式子？其他解法探究：类型五、（3）形如的递推式例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求11111112211-211545-1(-2)-222245nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）两边同除以an+1an相除法11nnnnapaqaa例6：111,,21nnnnnaaaaaa数列满足:求通项公式取倒法构造辅助数列类型五、形如的递推式111n11n12111221a112aannnnnnaaaaaa解：是以为首项，以为公差的等差数列1nnnpaaqap111(1)22121nnnnnaaan1类型六、（1）形如的递推式1rnnapa例（2002上海）若数列{na}中，1a=3且21nnaa（n是正整数），则它的通项公式是na=▁▁解：由题意知na＞0，将21nnaa两边取对数得：nnaalg2lg1，即2lglg1nnaa，所以数列}{lgna是以1lga=3lg为首项，公比为2的等比数列，12113lg2lglgnnnaa即123nna分析：取对数后构造等比数列例.已知数列na中，2111,31210nnnaaaa，求na解：2131210nnnaaa变形为：21232nnaa两边取对数易求得：1223nna1232nna分析：先转化后取对数再构造等比数列类型六、（2）形如递推式CBaAaannn21类型七、特征根法、不动点法（一）理论部分：1.特征根法：对于由递推公式21nnnapaqa,1a=,2a=给出的数列{an}，方程20xpxq,叫做数列的特征方程。若12,xx是特征方程的两个根，（1）当12xx时，数列{an}的通项为1112nnnaAxBx，其中A、B由1a=,2a=决定（即把1212,,,aaxx和n=1,2,代入1112nnnaAxBx，得到关于A、B的方程组）；（2）当12xx时，数列的通项为11()nnaABnx，其中A、B由1a=,2a=决定（即把1212,,,aaxx和n=1,2，代入11()nnaABnx，得到关于A、B的方程组）。21nnnapaqa解：特征方程为：2320xx解得11221221xxxx或因为12xx故可设12=2nnnnaAxBxAB将121,3aa带入得：2143ABAB解得：11AB所以21nna例.数列na满足121,3aa，2132(*)nnnaaanN，求通项公式类型七、特征根法、不动点法（二）特征根法：解：设211()nnnnaxayaxa整理得：21()nnnaxyaxya对比系数可得：32xyxy解得：1221xxyy或1）取21xy则有：21121(2)nnnnaaaa则121=212=nnaaaa①即1+1=2(+1)nnaa故1+1=222nnna即21nna例.数列na满足121,3aa，2132(*)nnnaaanN，求通项公式2）取12xy则有：2112()nnnnaaaa则11=22=2nnnnaa②叠加得：21nna综合以上两种情况一起考虑即1221xxyy或两组解都取，由上述过程可知：①②都成立，即11==212nnnnnaaaa解得：21nna类型方法1、已知前几项观察法2、已知前n项和Sn前n项和法3、形如的递推式累加法4、形如的递推式累乘法5、形如的递推式待定系数法6、形如的递推式取倒法7、形如的递推式相除法8、形如的递推式对数法9、形如的递推式特征根法10形如的递推式不动点法1()nnaafn1()nnafna1()nnapafn1nnnpaaqap1nnnaAaBC11nnnnapaqaa1rnnapa21nnnapaqa1nnnpaqarah数列通项公式的求法