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1三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）在△DBE与△CAE中∵)()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA，CE交于点F。∵BE⊥CF（已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）在△BEF与△BEC中，19图DCBAEF12ABCDE17图O2∵)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=21CF（全等三角形对应边相等）∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD与△ACF中)()()(已知＝已证已证ACABBFCBDACAFBAC∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求证：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中∵)()()(已知已知辅助线的作法DCABDADNAN∴△ABN≌△DCN（SAS）∴∠ABN＝∠DCNNB＝NC（全等三角形对应边、角相等）在△NBM与△NCM中∵)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NMNMCMBMNCNB∴△NMB≌△NCM，(SSS)∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。111图DCBAMN3巧求三角形中线段的比值例1.如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。解：过点D作DG//AC，交BF于点G所以DG：FC＝BD：BC因为BD：DC＝1：3所以BD：BC＝1：4即DG：FC＝1：4，FC＝4DG因为DG：AF＝DE：AE又因为AE：ED＝2：3所以DG：AF＝3：2即所以AF：FC＝：4DG＝1：6例2.如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC因为AF＝FC所以AF：AC＝1：2即EF：GC＝1：2，因为CG：DE＝BC：BD又因为BC＝CD所以BC：BD＝1：2CG：DE＝1：2即DE＝2GC因为FD＝ED－EF＝所以EF：FD＝小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例3.如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。所以DF：BG＝CD：CB因为BD：DC＝1：3所以CD：CB＝3：44即DF：BG＝3：4，因为AF：BG＝AE：EB又因为AE：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3即所以AF：DF＝例4.如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。解：过点D作DG//CE，交AB于点G所以EF：DG＝AF：AD因为AF＝FD所以AF：AD＝1：2图4即EF：DG＝1：2因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3，所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG因为FC＝CE－EF＝所以EF：FC＝＝1：7练习：1.如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。2.如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。答案：1、1：10；2.9：15二由角平分线想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。图1-2ADBCEF图1-3ABCDE6例3．已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1．如图2-1，已知ABAD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。图1-4ABCDE图2-1ABCDEF图2-2ABCDE图2-3PABCMNDF7（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1．已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=21（AB-AC）分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例2．已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。例4．已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=21（AB+AC）分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=21EC，另外由求证的结果AM=21（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可图示3-1ABCDHE图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM图3-4nEBADCMF8尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。三由线段和差想到的辅助线线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。求证：BC=AB+DC。例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求证：CD=21DB。DAECBDCBAMBDCA91．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CEEDCBA10四由中点想到的辅助线三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。（一）、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位线，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位线，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，从而∠BGE=∠CHE。（二）、由中线应想到延长中线例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，从而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，11∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如图5，已知ΔABC中，A