大学物理中的高数基础知识

绪论一、物理学的研究对象物质的基本结构,物质之间的相互作用以及它们最普遍,最基本的运动形式和规律力学:机械运动的基本规律电磁学:电磁作用的基本规律热学:热运动的基本规律几何光学:光直线传播的基本规律波动光学:光波动的基本规律近代物理:微观粒子的高速运动（和光速相比）规律。现象(观察)→模型→实验→公理、假设、定律、原理→定理(逻辑推理)→实验亚里士多德:应该从具体的整体事物进到它的构成要素伽利略:二、物理学的研究方法由直觉的观察到有目的的科学实验用数学方法讨论和表述物理规律实验作为最后检验标准论证的必要性抽象的物理模型物理学研究方法的发展：牛顿“……研究的最好和最可靠的方法，看来第一是勤恳地去探索事物的属性，并用实验来证明这些属性，然后进而建立一些假说，用以解释这些事物本身。因为假说只应该用于解释事物的一些属性，而不能用以决定它们，除非它能为之提供一些实验。如果任何人仅仅由于可以作出一些假说而对事物的真理性提出一些猜测，那么我就不知道在任何科学中能用怎样一条法则来确定任何肯定的东西，……”爱因斯坦凡不能由实验证实的概念和陈述，都不应在物理学中占有任何地位亚里士多德:观察加思考伽利略:实验加思考爱因斯坦:信息加思考。现象(观察)→模型→实验→公理、假设、定律、原理→定理(逻辑推理)→实验三、大学物理的学习内容力学、电磁学、热学、几何光学、波动光学、近代物理四、大学物理的学习目的系统地掌握物理学基本概念和基本规律,较好地理解基本的物理思想、观念和科学研究方法,形成各知识板块比较清晰完整的知识结构;树立唯物辩证思想,认识物理科学美;形成较好的物理认知结构和相应的自学能力,具备一定的分析物理问题、解决物理问题的实际能力;养成严肃认真、实事求是的科学态度;为进一步的专业学习和走向社会打下必要的物理基础.数学基础矢量（向量）代数一、矢量（向量）的概念及其表示1.标量与矢量（向量）代数量：有大小和正负（温度、电流、功、势能……）既有大小又有方向（力、速度、加速度、力矩、动量……）标量算术量（质量、时间间隔、动能……）矢量：2.矢量的表示（1）图示：有（方）向线段：AB长度是矢量的大小箭头方向是矢量的方向（3）矢量的平行：a//b（箭头指向可相同或相反）AB（1）（3）（4）矢量的相等：——大小、方向（含指向）都相同所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。ba（2）符号：粗（黑）体或加箭头：a，b或ba,（5）负矢量：-a（与a大小相同、方向（指向）相反）（4）（5）（2）3.矢量的模：4.单位矢量：，仅用来表示方向。所以：kajaiaazyxaa或0rr0r0rrr注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的单位矢量分别为kji,,5.矢量的坐标分解式（分量式）矢径（向径：从原点出发的矢量）rxiyjzkijk一般地：其中，ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴上的分量或投影。而注意：分量是代数量（可正可负）！恒为正所以，矢径或其末端的点P都可以用三个坐标（x，y，z）来表示.kajaiazyx,,则称分矢量（分向量）4.单位矢量：，仅用来表示方向。所以：0r0rrr由若P点（或矢径）在YOZ平面上，则x=0；若P点（或矢径）在ZOX平面上，则y=0；若P点（或矢径）在XOY平面上，则z=0。若P点（或矢径）在x轴上，则y=z=0；若P点（或矢径）在y轴上，则x=z=0；若P点（或矢径）在z轴上，则x=y=0。若P点为原点，则x=y=z=0rxiyjzk或P（x，y，z）可知：rrrrrr6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向大小：矢径的大小：222rrxyz一般地：222xyzaaaaa方向：方向角、、或方向余弦：cosxaacosyaacoszaa7.已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量cos,cos,cosaaaaaazyx注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。二、矢量的加减法1.矢量相加的平行四边形法则2.矢量相加的三角形法则3.多个矢量相加的多边形法则5.矢量的减法因为：cababc由矢量相加的三角形法则可得：即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。4.矢量的加法所满足的运算规律（1）交换律：（2）结合律：abbacbacbacba6.矢量加减的坐标表示式kajaiaazyxkbjbibbzyxkbajbaibabazzyyxx三、矢量与数量的乘法1.定义：aa模（大小）：a方向当λ0时（可视为）方向与相同当λ0时（可视为）方向与相反aaaa2.满足的运算规律（1）与另一个数量相乘的结合律：aaababaaaa3.矢量与数量相乘的坐标表示式kajaiakajaiaazyxzyx（2）分配律：四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：sfsFsFFsA,coscos一般地：cos,abababθ2.两个推论：（1）20cosaaaaakkjjii1（2）若两非零矢量，则ba02cos0ba反之，若，则必有0babaikkjji0注意；“点”不能漏！3.标量积满足的运算规律（1）交换律：cos,abbaabab（2）分配律：cbcacba（3）满足一定条件下的结合律（略）4.标量积的坐标（分量）表示式zzyyxxzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyxzyxbababakkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibakbjbibkajaiaba一般地：bac大小：babac,sin方向：垂直于所决定的平面，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。baba和五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘）1.定义：如力矩：大小：sinFrFdM力矩是矢量，方向沿转轴，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。Fr注意；“×”不能漏！抽象出矢量积：FrM大小：FrFrM,sin方向见上rFd2.两个推论：（1）00sin0aa（2）若两个非零矢量，则：ba//0sin0sin0ab或反之，若，则必有：0abba//3.满足或不满足的运算规律（1）不满足交换律，而是：（2）满足分配律：（3）满足如下的结合律：baabcbcacbabababa4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法kbabajbabaibabaibajbaibakbajbakbakbjbibkajaiabaxyyxzxxzyzzyyzxzzyxyzxyxzyxzyx000zyxzyxbbbaaakjiba或5.矢量积（大小）的几何意义以为邻边的平行四边形的面积。ba、ab总结：标量积和矢量积标量积满足交换律：abbacos,cosbababababac大小：babac,sin方向：垂直于所决定的平面，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。baba和矢量积不满足交换律，而是：baab标量积：矢量积：baab微积分第一节导数与微分一、导数的概念实例：直线运动的速度直线取为s轴，则质点在任一时刻t的位置s（即动点的坐标）是时间t的函数，记为：tsstfs或如匀速直线运动：若设0,0st时vttsvttfvts或即,对匀加速直线运动：若设202021,21attvtstfattvs或即00,0vvst，时0s0t则有则有下面求某一时刻t0的（瞬时）速度匀速运动：瞬时速度等于平均速度tstttststtssvv0000非匀速运动：t0到t时间段的平均速度：tsttssv000s0tt0ts0欲求t0的瞬时速度，可令t接近于t0，则此时平均速度的极限值就是t0时刻的瞬时速度。即dtdststttstsvttt000limlim0称为s对t的导数即：瞬时速度等于质点的位置（坐标）对时间的导数一般地，若y是x的函数，y对x的导数：0000limlimxxxyxyxydxdyxyxxx注：（1）在某一个点的导数记为：（2）导数的意义：函数随自变量的变化率。00,xxxdxdyxy二、常用的导数公式：11023ln415ln6sincos7cossinxxxxCCxxaaaeexxxxxx为常数0000limlimxxxyxyxydxdyxyxxx三、函数的和、差、积、商的导数2.4.3.2.1,vvuvuvuvuvuuvCuCCuvuvuxvvxuu外即常数可提到导数符号为常数都可导，则设四、复合函数的求导法则例如：作简谐振动的质点的位置x是时间t的函数：dxdududydxdyxgufdxdyxgfyxguufy或则：即：而若,,,0000sin0sin,cos,costAAdtdddxdtdxvtAxAtAx质点的速度：而可看成：为常数）、、（五、高阶导数例如：直线运动的速度是时间的导数svdtdsv或而加速度又是速度随时间是变化率即导数，所以可得：22dtsddtdsdtddtdvassva或这种导数的导数称为二阶导数。一般地，y对x的二阶导数为：22dxyddxdydxdy类似地，可定义三阶、四阶…导数，统称高阶导数。例：匀速直线运动,0vtss加速度022vdtddtdsdtddtsdavdtdsv六、微分1.微分的概念：dxxfdydxdyxfdy、dx（以及前面的ds、dt）都叫做微分。所以，也称微商（二微分之商）ll'dlll'dl0冷缩：dxdyy微分的含义：微小（无限小）增量。如热胀：2.微分和导数的几何意义dx、dy分别是曲线上某点x、y坐标的微小增量；而导数是曲线这一点处切线的斜率。dxdytandxdy3.函数的微分公式（等于导数公式乘以自变量的微分）4.微分的运算法则、和、差、积、商的微分、复合函数的微分（与导数类似）第二节积分一、不定积分的概念原函数：设F（x）的导（函）数是f（x），即dxxfxdFx