利用二次函数求几何图形中的最值问题

利用二次函数求几何图形中的最值问题江苏刘顿构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.例1（2006年旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图1），其中AF＝2，BF＝1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积.简析设矩形PNDM的边DN＝x，NP＝y，则矩形PNDM的面积S＝xy（2≤x≤4），易知CN＝4－x，EM＝4－y.且有NPBCCN＝BFAF（作辅助线构造相似三角形），即34yx＝12，所以y＝－12x+5，S＝xy＝－12x2+5x（2≤x≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝5，所以当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x＝4时，S有最大值S最大＝－12×42+5×4＝12.说明本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.例2（2006年南京市中考试题）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2AD，线段EF＝10.在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？简析因为矩形MFGN∽矩形ABCD，所以MNAD＝MFAB，因为AB＝2AD，MN＝x，所以MF＝2x，所以EM＝EF－MF＝10－2x，所以S＝x(10－2x)＝－2x2+10x＝－2(x－52)2+252，所以当x＝52时，S有最大值为252.说明本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解.例3（2006年泉州市中考试题）一条隧道的截面如图3所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD.（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米.①求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值.（π取3.14，结果图2图1精确到0.1米）简析（1）当AD＝4米时，S半圆=12π×22AD＝12π×22＝2π(米2).（2）①因为AD＝2r，AD+CD＝8，所以CD＝8－AD＝8－2r，所以S＝12πr2+AD·CD＝12πr2+2r(8－2r)＝(12π－4)r2+16r；②由①知CD＝8－2r，又因为2米≤CD≤3米，所以2≤8－2r≤3，所以2.5≤r≤3，由①知S＝(12π－4)r2+16r＝(12×3.14-4)r2+16r＝－2.43r2+16r＝－2.43(r－82.43)2+642.43，因为－2.43＜0，所以函数图象为开口向下的抛物线，因为函数图象对称轴r＝82.43≈3.3.又2.5≤r≤3＜3.3，由函数图象的性质可知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值，S最大值＝(12π－4)×32+16×3≈(12×3.14－4)×9+48＝26.13≈26.1(米2).即隧道截面面积S的最大值约为26.1米2.说明本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力.例4（2006年陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图4），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域（如图5），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点.（1）求FC的长；（2）利用如图5求出矩形顶点B所对的顶点．．．．．到BC边的距离x(cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.简析（1）由题意，得△DEF∽△CGF，FCDF＝CGDE，即603060FCFC，所以FC＝40(cm).（2）如图5，设矩形顶点B所对顶点为P，则①当顶点P在AE上时，x＝60，y的最大值为60×30＝1800(cm2)；②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM图3图4图5⊥AB于点M.根据题意，得△GFC∽△GPN，所以CGFGNGDF，所以NG＝23x，所以BN＝120－23x，所以y＝x(120－23x)＝－23(x－40)2+2400，所以当x＝40时，y的最大值为2400(cm2)；③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40＝2400(cm2).综合①②③，得x＝40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm2.（3）根据题意，正方形的面积y(cm2)与边长x(cm)满足的函数表达式为：y＝－23x2+120x.当y＝x2时，正方形的面积最大，所以x2＝－23x2+120x.解之，得x1＝0（舍去），x2＝48(cm).所以面积最大得正方形得边长为48cm.说明本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.