【学案】5.5-二次函数的运用(2)最大面积

§6.4二次函数的运用（2）（最大面积问题）学习目标:1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大面积。学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大面积．学习过程:一、课前热身：1、写出正方体的表面积y与棱长x之间的函数关系式。2、一个圆柱的高等于它的底面半径r，写出圆柱的表面积s与半径r之间的函数关系式。3、已知一个矩形的周长为12m，设一边长为xm，面积为y㎡，写出y与x之间的函数关系式。二、新知探究：在动态的几何图形中，线段长与线段长之间，或面积与线段长之间，或线段长与运动时间之间，或面积与运动时间之间存在一定的函数关系，而其中许多又是二次函数关系．【要点梳理】例1．已知一个矩形的周长是12cm．矩形面积是Scm，一边长是xcm，当x多少厘米时，S最大，最大值为多少？例2．一块三角形废料如图所示，∠C＝90º，∠A＝30º，AB=12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？DEFBCA例3．如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合．设xs时，三角形与正方形重合部分的面积为ym2．(1)写出y与x的函数解析式；（2）当2,3.5x时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？101010lDCBA例4．如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（秒）．①当t＝5时，求出点P的坐标；②若△OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．练习:1．用长为l2m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．2．如图，在△ABC中，∠B＝90º，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发沿AB、BC方向以每秒3cm的速度移动（移动到点C即停），动点Q从点B出发沿BC、CA方向以每秒4cm的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．BACQP【课后盘点】1．A中学准备利用一面墙，另三边用竹篱笆围成一个面积为y（m2）的长方形花坛，竹篱笆的长为36m，墙长为20m，则当花坛的长和宽分别为多少时，才能使竹篱笆围成的花坛面积最大，此时花坛的最大面积为多少？2．如图，一块草坪是一长100米，宽80米的矩形，现欲在中间修两条互相垂直的宽为x米的小路，这时草坪的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．小路小路80米100米3．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．ADCBMN4．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x．已知AB=6，CD=3，AD=4．求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围．xxBFACDExG5．如图所示，在△ABC中，AB=43，AC=6，BC=23，P是AC上与A、C不重合的一个动点，过P、B、C的⊙O交AB于D．设PA=x，PC2+PD2=y，求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围．6．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．BACDOP'ACQBP7．如图，抛物线2(0)yxbxcb≤的图象与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(20)，；直线1x与抛物线交于点E，与x轴交于点F，且4560FAE≤∠≤．（1）用b表示点E的坐标；（2）求实数b的取值范围；（3）请问BCE△的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．AOFBxyCE1x【要点梳理】例1．已知一个矩形的周长是12cm．矩形面积是Scm，一边长是xcm，当x多少厘米时，S最大，最大值为多少？答案：解：2212xxS,9)3(2xS,所以，当x=3时，S最大，最大值为9.例2．一块三角形废料如图所示，∠C＝90º，∠A＝30º，AB=12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？答案：解：设AE=x,则BE=12-x,设长方形CDEF面积为S。因为∠C＝90º，∠A＝30º，四边形CDEF是长方形，所以EF∥AC，∠BEF＝30º，所以DE=x21，BF=)12(21x，在Rt△BEF中，由勾股定理，可得EF=)12(23x)12(2321xxS，39)6(432xS。例3．如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合．设xs时，三角形与正方形重合部分的面积为ym2．(1)写出y与x的函数解析式；（2）当2,3.5x时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？101010lDCBA答案：解：（1）因为三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x，∴重叠部分的面积y=2x2。DEFBCA（2）当x=2时，y=2×22=8；当x=3.5时，y=2×3.52=24.5；（3）正方形面积为100÷2=50，在y=2x2中，当y=,50时，2x2=50，所以x2=25，解得x=5秒（取正值）．当重叠部分的面积是三角形面积的一半时，三角形移动了5秒．例4．如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（秒）．①当t＝5时，求出点P的坐标；②若△OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．答案：解：解：（1）P点从A点运动到D点所需的时间=（3+5+3）÷1=11（秒）（2）①当t=5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10，AB+BP=5，∴BP=2过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3，AE=BP=2∴OD=OA+AE=10+2=12∴点P的坐标为（12，3）．②分三种情况：第一种情况0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t，AP=t∴s=21×2t×t=t2第二种情况3＜t≤8时，点P在AB上运动，此时OA=2t∴s=21×2t×3=3t第三种情况8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t，AB+BC+CP=t∴DP=（AB+BC+CD）-（AB+BC+CP）=11-t∴s=21×2t×（11-t）=-t2+11t综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0＜t≤3时，s=t2；当3＜t≤8时，s=3t；当8＜t＜11时，s=-t2+11t．练习:1．用长为l2m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．答案：解：解：连接EC，作DF⊥EC，垂足为F∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°，∵DE=CD∴∠DEC=∠DCE=30°，∴．∠CEA=∠ECB=90°，∴四边形EABC为矩形，∴DE=xm，∴AE=6-x，DF=21x，EC=3xxxS364332（0＜x＜6）．当x=4m时，S最大=312m2．2．如图，在△ABC中，∠B＝90º，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发沿AB、BC方向以每秒3cm的速度移动（移动到点C即停），动点Q从点B出发沿BC、CA方向以每秒4cm的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．BACQP答案：解：∵出发时间为t，点P的速度为3mm/s，点Q的速度为4mm/s，∴PB=6-3t，BQ=4t，∴S=21×（6-3t）×4t=-6t2+12t．∵t≥0，6-3t≥0，∴0≤t≤2．【课后盘点】1．A中学准备利用一面墙，另三边用竹篱笆围成一个面积为y（m2）的长方形花坛，竹篱笆的长为36m，墙长为20m，则当花坛的长和宽分别为多少时，才能使竹篱笆围成的花坛面积最大，此时花坛的最大面积为多少？答案：解：设竹篱笆与墙平行的一边的长为x，则与墙垂直的一边236x，设花坛面积为y.根据题意，得236xxy，162)18(212xy，所以，与墙平行一边的长为18m，与墙垂直的边长为9m时，竹篱笆围成的花坛面积最大，最大面积为1622m。2．如图，一块草坪是一长100米，宽80米的矩形，现欲在中间修两条互相垂直的宽为x米的小路，这时草坪的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．小路小路80米100米答案：解：)80)(100(xxy，80001802xxy，自变量x的取值范围是0＜x＜60.3．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．答案：解：解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．由已知，AM=x，AN=20-x．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30度．ADCBMN在Rt△APN中，PN=21AN=21（20-x），即点N到AB的距离为21（20-x）．∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x的取值范围是0≤x≤15．（2）根据（1）S△AMN=21AM•NP=41x（20-x）=-41x2+5x．所以，当x=10时，S△AMN有最大值．又∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN，且S梯形为定值，∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．4．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x．已知AB=6，CD=3，AD=4．求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围．xxB