数列高考题汇总

数列高考题汇总-1-/12数数列列高高考考专专题题考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03.数数列列知知识识要要点点1.⑴等差、等比数列：数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和数列高考题汇总-2-/12等差数列等比数列定义常数）为(}{1daaPAannn常数）为(}{1qaaPGannn通项公式na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-dknknnqaqaa11求和公式ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)(1211)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn中项公式A=2ba推广：2na=mnmnaaabG2。推广：mnmnnaaa2性质1若m+n=p+q则qpnmaaaa若m+n=p+q，则qpnmaaaa。2若}{nk成A.P（其中Nkn）则}{nka也为A.P。若}{nk成等比数列（其中Nkn），则}{nka成等比数列。3．nnnnnsssss232,,成等差数列。nnnnnsssss232,,成等比数列。等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm数列高考题汇总-3-/124)(11nmnmaanaadnmn11aaqnn，mnmnaaq)(nm⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数dndaann②211nnnaaa(2n)③bknan(kn,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1且为常数qnqaann②112nnnaaa(2n，011nnnaaa)①注①：i.acb，是a、b、c成等比的双非条件，即acba、b、c等比数列.ii.acb（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.acb→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.acb且0ac→为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.③nncqa(qc,为非零常数).④正数列{na}成等比的充要条件是数列{nxalog}（1x）成等比数列.⑷数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn[注]：①danddnaan111（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{na}前n项和ndandBnAnSn22122→2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍...,,232kkkkkSSSSS；②若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；③若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇得到所求项数到代入12nn.3.常用公式：①1+2+3…+n=21nn数列高考题汇总-4-/12②61213212222nnnn③2213213333nnn[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110nna；5，55，555，…11095nna.4.数列常见的几种形式：⑴nnnqapaa12（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程qPxx2（2x对应2na，x对应1na），并设二根21,xx②若21xx可设nnnxcxca2211.，若21xx可设nnxncca121)(；③由初始值21,aa确定21,cc.⑵rPaann1（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求na；④121nnPcca（公式法），21,cc由21,aa确定.①转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn.②选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraannn1111)(1)1(rrPaPnnPr211.③用特征方程求解：相减，rPaarPaannnn111na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（.④由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnnn111111112121）（，，.5.几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值.如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：,...21)12,...(413,211nn⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd，的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证)(11nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。3.在等差数列｛na｝中,有关Sn的最值问题：(1)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms数列高考题汇总-5-/12取最大值.(2)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于1nnaac其中{na}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于nnba其中{na}是等差数列，nb是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+...+n=2)1(nn2）1+3+5+...+(2n-1)=2n3）2333)1(2121nnn4）)12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn6）)()11(11qpqppqpqD1数列的概念与简单表示法1.[2014·江西卷]已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝anbn，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．3．[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；数列高考题汇总-6-/12(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an＜32.4．[2014·重庆卷]设a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nca2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．D2等差数列及等差数列前n项和1．[2014·北京卷]若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．2.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.3D.73．[2014·湖北卷]已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．4．[2014·湖南卷]已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝12，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．5．[2014·辽宁卷]设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d0B．d0C．a1d0D．a1d06．[2014·全国卷]等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.7．[2014·山东卷]已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.8．[2014·陕西卷]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．9．[2014·天津卷]设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．数列高考题汇总-7-/1210.(2009宁夏海南卷文）等差数列na的前n项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m（A）38（B）20（C）10（D）9.11.（2009安徽卷理）已知na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是（A）21（B）20（C）19（D）1812.（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列na的前