第三节--定积分的换元法和分部积分法(1)

11机动目录上页下页返回结束第三节定积分的换元法和分部积分法一、换元公式三、小结思考题二、分部积分公式22机动目录上页下页返回结束假设（1）)(xf在],[ba上连续；【定理】（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.一、换元公式33机动目录上页下页返回结束【证】设)(xF是)(xf的一个原函数，),()()(aFbFdxxfba)],([)(tFtdtdxdxdFt)()()(txf),()]([ttf),()()()]([dtttf)(t是)()]([ttf的一个原函数.44机动目录上页下页返回结束a)(、b)(,)()()]([)]([FF),()(aFbF)()()(aFbFdxxfba)()(.)()]([dtttf【注意】当时，换元公式仍成立.55机动目录上页下页返回结束【应用换元公式时应注意】(1)求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.(2)用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.三换换积分限——上限对上限，下限对下限.换被积函数换微分dttdx)(.)3(变因此时积分变量并没有不必换积分限，若采用凑微分法时，则66机动目录上页下页返回结束【例1】计算.sincos205xdxx【解】令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt77机动目录上页下页返回结束【例2】计算【解】.sinsin053dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54容易犯错误88机动目录上页下页返回结束【例3】计算【解】.)ln1(ln43eexxxdx原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.699机动目录上页下页返回结束【例4】计算【解】aadxxax022)0(.1令,sintaxax,2t0x,0t,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.41010机动目录上页下页返回结束【例5】当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.【证】,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,1111机动目录上页下页返回结束0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.01212机动目录上页下页返回结束11211cosdxxxx奇函数【例6】计算【解】.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积1313机动目录上页下页返回结束上连续，证明【证】（1）设tx2,dtdx0x,2t2x,0t)(xf]1,0[2200)(cos)(sin)1(dxxfdxxf00)(sin2)(sin)2(dxxfdxxxf02cos1sindxxxx【例7】若在.并由此计算1414机动目录上页下页返回结束20)(sindxxf022sindttf20)(cosdttf;)(cos20dxxf（2）设tx,dtdx0x,tx,0t0)(sindxxxf0)][sin()(dttft,)(sin)(0dttft1515机动目录上页下页返回结束0)(sindttf0)(sindtttf0)(sindxxf,)(sin0dxxxf.)(sin2)(sin00dxxfdxxxf02cos1sindxxxx02cos1sin2dxxx02)(coscos112xdx0)arctan(cos2x.42)44(20)(sindxxxf1616机动目录上页下页返回结束【教材例9】设函数01cos110)(2xxxxexfxdxxf)2(41计算【解】换元令tx2dtdx,11tx24tx于是dxxf)2(4121)(dttf20012cos1dttetdtt或先求f(x-2)再求原积分dxxf)2(41较麻烦1717机动目录上页下页返回结束【总结】定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。.sin2sin:200xdxxdxnn证明2200sinsinsinxdxxdxxdxnnn令tx【例9】【证】2sinxdxn02)(sindttn20sintdtn20sinxdxn.sin2sin200xdxxdxnn【分析】先分割、再换元，最后改变积分变量1818机动目录上页下页返回结束【例10】设f(x)是以T为周期的连续函数，则对任意a，有.)()(0TTaadxxfdxxf【证】TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00令Ttx则TaTdxxf)(adtTtf0)(adttf0)(adxxf0)(.)()(0TTaadxxfdxxf【分析】先分割、再换元，最后改积分变量【一般地】TnTnTaan001919机动目录上页下页返回结束设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式【推导】,vuvuuv,)(babauvdxuv,bababadxvudxvuuv.bababavduuvudv二、分部积分公式2020机动目录上页下页返回结束【例1】计算.arcsin210xdx【解】令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312则2121机动目录上页下页返回结束【补例2】计算【解】.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan24040tan21xxxdxtan214040secln218x.42ln82222机动目录上页下页返回结束【补例3】计算【解】.)2()1ln(102dxxx102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx101121xx211110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln352323机动目录上页下页返回结束【补例4】设【解】21,sin)(xdtttxf.)(10dxxxf求因为ttsin没有初等形式的原函数，无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法10)(dxxxf102)()(21xdxf102)(21xfx102)(21xdfx)1(21f102)(21dxxfx【分析】2424机动目录上页下页返回结束21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf10)(dxxxf)1(21f102)(21dxxfx102sin221dxxx1022sin21dxx102cos21x).11(cos21,0sin)1(11dtttf2525机动目录上页下页返回结束【例10】证明定积分公式(华里士（Wallis）公式)2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数【证】设,sin1xun,sinxdxdv,cossin)1(2xdxxndun,cosxv2626机动目录上页下页返回结束dxxxnxxInnn2202201cossin)1(cossinx2sin10dxxndxxnInnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止2727机动目录上页下页返回结束,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm),2,1(m,2200dxI,1sin201xdxI,221436522322122mmmmIm.325476122212212mmmmIm于是2828机动目录上页下页返回结束2010sinxdx如：207cosxdx13254762214365871092929机动目录上页下页返回结束【补充题】将和式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分，并计算之.3030机动目录上页下页返回结束【补充题解答】原式nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1limninnin1sin1limnninin1sinlim10sin1xdxixi2]cos[10x或上式ninnin1sin1lim101sin1sinlimxdxnninin2]cos[110xiix3131机动目录上页下页返回结束1.定积分的分部积分公式.bababavd