回归正交试验设计

第8章回归正交试验设计OrthogonalRegressionDesign正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案回归正交设计（orthogonalregressiondesign）：可以在因素的试验范围内选择适当的试验点用较少的试验建立回归方程能解决试验优化问题不适合非数量性因素8.1一次回归正交试验设计及结果分析建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归方程例：m＝3时，一次回归方程：y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x38.1.1一次回归正交设计的基本方法（1）确定因素的变化范围以因素xj为例：设xj的变化范围为[xj1，xj2]xj1为xj的下水平xj2为xj的上水平xj0为xj的零水平：xj0＝(xj1＋xj2)/2因素xj的变化间距Δj：Δj＝上水平－零水平＝xj2－xj0Δj=(xj2－xj1)/2（2）因素水平的编码zj：因素xj的编码，称为规范变量xj：自然变量上水平xj2的编码：zj2＝1下水平xj1的编码：zj1＝－1零水平xj0的编码：zj0＝00jjjjxxz编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：编码目的：使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量zj的取值范围都是[－1，1]编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…，m）之间的回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题（3）一次回归正交设计表将二水平的正交表中“2”用“－1”代换，例：回归正交设计表的特点：任一列编码的和为0任两列编码的乘积之和等于0（4）试验方案的确定可参考正交设计的表头设计方法交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积零水平试验（中心试验）表头设计：8.1.2一次回归方程的建立总试验次数为n：n＝mc＋m0mc：二水平试验次数m0：零水平试验次数一次回归方程系数的计算：常数项：a一次项系数：bj交互项系数：bjk11niiayyn1njiiijczybmj＝1，2，…，m1()nkjiiikjczzybmj＞k,k＝1，2，…，m－1说明：求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负8.1.3回归方程及偏回归系数的方差分析8.1.3.1无零水平试验时①平方和：总平方和：2221111()()nnnTyyiiiiiiSSLyyyyn2jcjSSmb2kjckjSSmbRSSSSSS一次项交互项eTRSSSSSS一次项偏回归平方和：交互项偏回归平方和：回归平方和：残差平方和：②自由度dfT＝n―1各种偏回归平方和的自由度＝1回归平方和的自由度：Rdfdfdf一次项交互项eTRdfdfdf残差自由度：不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。③均方④F检验：回归方程显著性检验偏回归系数显著性检验：判断因素或交互作用对试验的影响程度可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验例8-1：（1）因素水平编码（2）正交表的选择和试验方案的确定（3）回归方程的建立m0＝0，n＝mc＝8计算表计算各回归系数写出y与规范变量zj的回归方程根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向（4）方差分析（5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回归方程8.1.3.2有零水平试验时目的：进行回归方程的失拟性（lackoffit）检验（要求m0≥2）失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的拟合情况失拟性检验步骤：设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0①重复试验误差：平方和：0002221000011101()()mmmeiiiiiiSSyyyym101edfm11LfTReeeSSSSSSSSSSSS1Lfeedfdfdf重复试验误差的自由度：②回归方程失拟部分：失拟平方和：失拟平方和自由度：对于给定的显著性水平α（一般取0.1）当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，所建立的回归方程是拟合得很好例8-211LfLfLfeeSSdfFSSdf③失拟检验：8.2二次回归正交组合设计回归方程的建立：根据最小二乘法原理得到正规方程组求解正规方程组，得回归系数要求：试验次数＞回归方程的项数回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案8.2.1二次回归正交组合设计表（1）二元二次回归正交组合设计试验方案二元二次回归方程：2211221212111222yabxbxbxxbxbx试验方案正交组合设计的三类试验点及次数：二水平试验：•全实施：mc＝2m•1/2实施：mc＝2m－1•1/4实施：mc＝2m－2星号试验：•与原点（中心点）的距离都为γ•mγ＝2m零水平试验：•各因素水平编码都为零时的试验•试验次数m0二元二次回归正交组合设计（2）三元二次回归正交组合设计试验方案三元二次回归方程：222112233121213132323111222333yabxbxbxbxxbxxbxxbxbxbx试验方案三元二次回归正交组合设计（3）星号臂长度与二次项的中心化①星号臂长度星号臂长度γ与因素数m，零水平试验次数m0及二水平试验数mc有关γ的确定公式计算0(2)2cccmmmmm参考表8-18m0因素数m234（1/2实施）45（1/2实施）511.0001.2151.3531.4141.5471.59621.0781.2871.4141.4831.6071.66231.1471.3531.4711.5471.6641.72441.2101.4141.5251.6071.7191.78451.2671.4711.5751.6641.7711.84161.3201.5251.6231.7191.8201.89671.3691.5751.6681.7711.8681.94981.4141.6231.7111.8201.9142.00091.4571.6681.7521.8681.9582.049101.4981.7111.7921.9142.0002.097二次回归正交组合设计γ值表②二次项的中心化对二次项的每个编码进行中心化处理：(二次项编码)－(二次项编码算术平均值)2211'njijijiizzzn试验号z1z2z1z2z12z22z1’z2’1111111/31/321－1－1111/31/33－11－1111/31/34－1－11111/31/35100101/3－2/36－100101/3－2/3701001－2/31/380－1001－2/31/3900000－2/3－2/3二元二次回归正交组合设计编码表8.2.2二次回归正交组合设计的应用（1）基本步骤①因素水平编码试验因素的水平被编为－γ，－1，0，1，γ变化间距：Δj＝上水平－零水平＝零水平－下水平0jjjxx规范变量zj自然变量xjx1x2…xm上星号臂γx1γx2γ…xmγ上水平1x12＝x10＋Δ1x22＝x20＋Δ2…xm2＝xm0＋Δm零水平0x10x20…xm0下水平－1x11＝x10－Δ1x21＝x20－Δ2…xm1＝xm0－Δm下星号臂－γx－1γx－2γ…x－mγ变化间距ΔjΔ1Δ2…Δm因素水平的编码表②确定合适的二次回归正交组合设计参考表8-22因素数m选用正交表表头设计mcmγ2L4（23）1，2列22＝443L8（27）1，2，4列23＝864（1/2实施）L8（27）1，2，4，7列24－1＝884L16（215）1，2，4，8列24＝1685（1/2实施）L16（215）1，2，4，8，15列24－1＝16105L32（231）1，2，4，8，16列25＝3210正交表的选用③试验方案的实施④回归方程的建立常数项：a11niiayyn一次项偏回归系数bj：121njiiijnjiizybz交互项偏回归系数bkj：121()()nkjiiikjnkjiizzybzz二次项偏回归系数bjj：'1'21()()njiiijjnjiizybz⑤回归方程显著性检验总平方和：2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyn221njjjiiSSbz交互项偏回归平方和：221()nkjkjkjiiSSbzz二次项偏回归平方和：2'21()njjjjjiiSSbz一次项偏回归平方和：平方和：回归平方和：残差平方和：eTRSSSSSSRSSSSSSSS一次项二次项交互项自由度：dfT＝n―1各种偏回归平方和的自由度：1回归平方和的自由度：Rdfdfdfdf一次项二次项交互项残差平方自由度：eTRdfdfdf回归系数的检验：jjjeeeMSSSFMSSSdfkjkjkjeeeMSSSFMSSSdfjjjjjjeeeMSSSFMSSSdf⑥失拟性检验⑦回归方程的回代⑧最优试验方案的确定:回归方程的“规划求解”根据极值的必要条件：10yx20yx…（2）例8-38.3二次回归正交旋转组合设计（1）基本概念回归旋转正交设计：规范变量空间（编码空间）内，与试验中心点（零水平点）距离相等的球面上各点回归方程预测值的方差相等（2）三类试验点0cnmmm二水平试验mc零水平试验m0，参考表8-28确定mγ=2m，m为因素数（3）回归正交旋转组合设计编码表二次项中心化：按公式（8-34）（4）数据处理与回归正交组合设计相同8.4Excel在回归正交设计的应用8.4.1利用Excel建立回归正交设计编码表8.4.2Excel在回归正交设计数据处理中的应用回归分析最优试验方案的确定