第04单元角平分线类

第4单元角平分线类夏艳峰试试看：与角平分线有关的知识与题目能想起多少？角的平分线是射线、三角形的角平分线是线段，角平分线分成的两个角相等、出现半角和倍角，中垂线、等腰三角形三线合一，角平分线性质定理及其逆、角是轴对称图形、折叠与反射出现角平分线，菱形与正方形的对角线就是角平分线，邻补角的平分线相互垂直、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线相互垂直，垂直角平分线的直线与角的两边交成一个等腰三角形，角平分线遇平行必有等腰三角形（注：据此还可作正方形与菱形），圆心（周）角的平分线分成的弧相等、三角形内角平分线的交点是这个三角形的内心、三角形外角平分线与其不相邻一内角平分线的交角等于另一个不相邻内角的一半……下面就以五种情况进行专题研究1.如图1，角平分线遇平行必有等腰三角形；2.如图2，垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形，并且垂足F是GH的中点；3.如图3，见角平分线用性质（注：指用角的轴对称性找等线段或全等三角形.图中M、N关于OC对称时必有△OMK≌△ONK，图里KP⊥OA、KQ⊥OB中的P、Q只不过是M、N的特殊位置而已）；4.补半角成倍角，或分倍角为半角；5.角平分线与圆.DCEBAOHFGOCBAKNMQPOACB图1图2图3一、角平分线遇平行找等腰三角形【解法归一】角平分线遇平行找（或造）等腰三角形；有角平分线无平行就造平行.例4-1-1如图4-1-1，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠BCA，过D点的直线EF∥BC，并且交AB于E、交AC于F.AECBFD图4-1-1（1）图中的等腰三角形有个，它们是；（2）再添加条件AB=AC后，则图中的等腰三角形变为共有个.【交流分享】角平分线遇平行必有等腰三角形.例4-1-2如图4-1-2，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E为CD的中点，作∠FAE=∠DAE，且点F在直线BC上.请你猜想∠AEF的度数，并证明之.ACBDEF图4-1-2【交流分享】角平分线与平行角一边的直线不相交时，延长它们，使之相交，造出等腰三角形.例4-1-3探究1如图4-1-3①，AD为等边△ABC的内角平分线，显然有ACCDABDB.探究2如图4-1-3②，若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，ACCDABDB一定成立吗？证明你的判断.应用：如图4-1-3③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E为AB上一点且AE=15，CE交其内角平分线AD于F.试求DFFA的值.CABDABDCAEBCDF图4-1-3①图4-1-3②图4-1-3③【交流分享】有角平分线无平行，则造平行.体验与感悟4-11.如图4-1-4，请在△ABC内画一个菱形BDEF，要求D、E、F分别在边BC、AC、AB上.2.如图4-1-5，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（）A.EFAEBFB.EFAEBFC.EFAEBFD.EFAEBFCBAFEOABCEDABC图4-1-4图4-1-5图4-1-63.如图4-1-6，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=5，连接BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为.4.如图4-1-7，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在射线EF上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP.设BP=y，PE=x.（1）当13CQCE时，求y与x之间的函数关系式；（2）当1CQCEn（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式.QPFEABCD图4-1-75.（1）如图4-1-8①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与CD相交于F点.试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；ABEFCDDCFEBA图4-1-8①图4-1-8②（2）如图4-1-8②，当F在DC的延长线上时（其他条件不变），请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.【提醒】回想一下平行与角平分线的巧妙结合吧.二、遇垂直角平分线找等腰三角形【解法归一】遇垂直角平分线，找（或补全）它与角两边相交所成的等腰三角形.例4-2-1在△ABC中，点D是BC边的中点，AM是△ABC的角平分线，CE⊥AM，垂足为E，连接DE.（1）当ABAC时（如图4-2-1①），求证：2ABACDE；MABCDE图4-2-1①（2）当ABAC时（如图4-2-1②），请你写出AB、AC与DE之间的数量关系：；MABCDEABDMEC图4-2-1②图4-2-1③（3）如果改AM为△ABC的外角平分线，其他条件不变（如图4-2-1③），请你写出AB、AC与DE之间的数量关系：.【规律】遇垂直角平分线，找等腰三角形，垂足是这个等腰三角形的底边中点.体验与感悟4-21.如图4-2-2，在△ABC中，∠BCD=10°，∠B=60°，AD平分∠BAC，CD⊥AD，则∠ACD=.2.如图4-2-3，在△ABC中，AD是中线、AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF=.ACDBFADCBEADBEC图4-2-2图4-2-3图4-2-43.如图4-2-4，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，DE⊥EC，则下列结论中不正确的有（）A.∠ADE=∠CDEB.EC平分∠BCDC.ADBCBEDED.CDADBC4.如图4-2-5，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于D，过C作BE的垂线交BE于E，求证：BD=2CE.ABDCE图4-2-55.（1）如图4-2-6①，已知BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD于F，AG⊥CE于G，连接FG，延长AF、AG与直线BC相交于M、N.则FG与△ABC三边具有的数量关系是：.NMGABCDEFFADBCGE图4-2-6①图4-2-6②（2）如图4-2-6②，若BD为△ABC的内角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请证明你的猜想.6.在△ABC中，∠ACB=90°.经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E.（1）如图4-2-7①，若∠ABC=45°，CD=1，则AE=；（2）如图4-2-7②，当∠ABC为任意锐角时，请猜想线段AE、CD之间的数量关系，再加以证明.lAB(E)CDElABCDE图4-2-7①图4-2-7②【提醒】回想一下垂直角平分线时怎么做？三、遇倍角或半角【解法归一】见半角补成倍角或等分倍角；见倍角等分之或造半角的等腰三角形例4-3-1在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠C=2∠EDB，BE⊥DE于E，DE交AB于点F.（1）如图4-3-1①，当AB=AC时，1）∠EBF=；2）探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）（选做）如图4-3-1②，当AB=kAC时，求BEFD的值（用含k的式子表示）.ABCDEFEABCDF图4-3-1①图4-3-1②【交流分享】从D作AC的平行线，补成倍角.体验与感悟4-3阅读材料：如图4-3-2①，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°.小明通过以下计算：由题意知∠B=30°，∠C=90°，2cb，3ab，得：22222()23abbbbbc，即22abbc.于是小明猜想：对于任意的△ABC，当∠A=2∠B时，关系式22abbc都成立.bcabcacbaABCABCABC图4-3-2①图4-3-2②图4-3-2③（1）如图4-3-2②，请你用等腰Rt△进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；（2）如图4-3-2③，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；（3）若某三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长.【提醒】回头看看上面两题，是怎么作辅助线的？四、见角平分线用性质【解法归一】角关于角平分线所在直线对称，依角的对称性找（或造）全等.例4-4-1如图4-4-1，在△ABC中，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E.（1）当∠B=47°，则∠AEC=；（2）当∠B=α时，∠AEC=.ACBEFDADEFCB图4-4-1图4-4-2例4-4-2如图4-4-2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE.例4-4-3如图4-4-3①，∠MON=60°，点A、B为射线OM、ON上不与点O重合的动点，且43AB，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.（1）AP的长为；（2）求证：点P在∠MON的平分线上；（3）如图4-4-3②，点C、D、E、F分别是四边形AOBP四边的中点.①当AB⊥OP时，四边形CDEF的周长为；②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围.（提示：从特殊位置入手考虑）NMBAPOEFCDOPABMN图4-4-3①图4-4-3②【交流分享】例4-4-1过E作三条垂线段；例4-4-2利用角的轴对称性找全等、构造平行四边形；例4-4-3从特殊位置入手.体验与感悟4-41.如图4-4-4，在等腰直角△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC于E.（1）若AD=10，则DE=；（2）若BC=10，则△DCE的周长等于.ABCDEEDCBAMFN图4-4-4图4-4-52.如图4-4-5，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N.有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF.其中，结论正确的是（填序号）3.如图4-4-6，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ.则（1）∠A1=；（2）∠An=.A2A1ABCDABCDE图4-4-6图4-4-74.如图4-4-7，点E在四边形ABCD的内部，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC.求证：∠ABC=∠BCD.5.已知，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E.（1）如图4-4-8①，当直线l与直线MA垂直时，线段AD、BE、AB满足怎样的数量关系，请证明之；NMlBACDEEDCABlMN图4-4-8①图4-4-8②（2）如图4-4-8②，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.【提醒】思考一下如何用“角关于它的平分线对称、角平分线上任意一点到角两边距离相等”这两个性质.五、两角平分线相交用内切圆【说明】三角形内切圆是其三个内角平分线的交点，在Rt△中，内切圆半径r与三边a、b、c（abc）的关系为1()2rabc.【解法归一】三角形含两内角平分线的计算题、或有内切圆的计算题，想到用r与三边a、b、c的关系.例4-5-1如图4-5-1，已知Rt△ABC中，AC=24，斜边AB=25，半径为1的⊙P在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A.563B.25C.1123D.56PABCABCDEF图4-5-1图4-5-2例4-5-2如图4-5-2，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F.求证：12EFACAB.【交流分享】本题有不少于4种证法，试试看.体验与感悟4-51.如图4-5-3，