第4章层次分析法

层次分析法AHP李沛豪[e-mail]第四章AnalyticHierarchyProcessT.L.saaty一问题的提出例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。选择餐馆，则要依据餐馆的饭菜质量、区位条件、档次、饭菜价格、服务质量等方面因素来选择。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据个人兴趣、工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。二、层次分析法简介层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP）是美国匹兹堡大学教授A.L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。他模仿人的决策思维过程，开发一种综合定性与定量相结合的分析方法，主要解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。基本的思路------先分解后综合的系统思想整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。三、层次分析法基本原理假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只西瓜的重量分别为W1，W2，…，Wn。把这些西瓜两两比较，很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的比较矩阵：A==（aij）nxn显然aii=1，aij=1/aji，aij=aik/ajk，i、j、k=1，2，…，nA*W=?那么就有：AW===nW即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量是A对应于特征根n的特征向量的各个分量。W是A的……很自然，我们会提出一个相反的问题：如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否得出西瓜的相对重量呢？显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解特征值问题AW=λmaxW求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从而得到n只西瓜的相对重量。所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系:aij=aik/ajk,i、j、k=1，2，…，n上式完全成立时，称判断矩阵具有完全一致性。此时矩阵的最大特征值λmax=n，其余特征值均为零。在一般情况下可以证明判断矩阵的最大特征根为单根，且λmax≥n。当判断矩阵具有满意一致性时，λmax稍大于矩阵阶数n，其余特征值接近于零。这时AHP得出的结论才基本合理。四、层次分析法的基本步骤1建立层次结构模型一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1的层次结构模型准则层方案层目标层买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔选择旅游地景色费用居住苏州、杭州、桂林饮食旅途例2层次结构模型准则层A方案层B目标层Z若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。此外，还可以建立子层次。目标层：准则层：方案层：信誉T1A型式T2B价格T3C容量T4D制冷级别T5耗电量T6选购电冰箱例3层次结构模型目标层合理选择科研课题A成果贡献B1人才培养B2课题可行性B3课题D1课题D2课题D3应用价值c1科学意义c2难易程度c3研究周期c4财政支持c5方案层准则层1例4层次结构模型准则层2如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。为保证递阶层次结构的合理性，需注意以下问题：1、要对问题的影响因素有充分的理解，必要的时候可以咨询相关的专家；2、分解简化问题时把握主要因素3、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。层次分解时注意事项：城市旅游竞争力是现在旅游研究的重点问题，请你选出适当的指标体系，建立城市旅游竞争力的层析结构体系张争胜.城市旅游竞争力的实证研究——以广东省为例［J］资源开发与市场.2005（1）莫邦宏，杨建川.城市旅游竞争力分析框架初探［J］社会科学家，2005增刊2构造成对比较矩阵判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。假定A层中因素Ak与下一层次中因素B1，B2，…，Bn有联系，则我们构造的判断矩阵如下表。AkB1B2……BnB1b11b12……b1nB2b21b22……b2n………………………………Bnbn1bn2……bnnbij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示。１３５７９尺度第i个因素与第j个因素的影响相同第i个因素比第j个因素的影响稍强第i个因素比第j个因素的影响强第i个因素比第j个因素的影响明显强第i个因素比第j个因素的影响绝对地强含义bij通常取1、3、5、7、9及其他们的倒数，其含义为：2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。（1）心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在5～9级之间，采用1～9的标度反映了大多数人的判断能力；（2）大量的社会调查表明，1～9的比例标度早已为人们所熟悉和采用；（3）科学考察和实践表明，1～9的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。为什么采用1～9级的指标比例呢？显然，任何判断矩阵都应满足：bij0,bii=1，bij=1/bji，i，j=1，2，…，n因此，对于这样的判断矩阵来说，作n(n-1)/2次两两判断就可以了。判断过程中的问题1、合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域）2、创造适合于咨询工作的良好环境；（介绍AHP方法，提供信息，独立思考）3、正确的咨询方法；（通过咨询确定递阶层次结构，设计好表格）4、及时分析专家咨询信息，必要时要进行反馈及多轮次咨询5、专家数量根据实际情况确定，一般为20—50位nmaxmax3、层次单排序和一致性检验层次单排序就是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。可以归结为，求解矩阵的最大特征值和对应的特征的向量，即对判断矩阵B，计算满足:BW=W的特征根与特征向量。式中，λmax为B的最大特征根；W为对应于λmax的正规化特征向量；W的分量Wi即是相应因素单排序的权值。对判断矩阵一致性检验的步骤：（1）计算一致性指标(ConsisteneyIndex)：CI显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0，λmax-n越大，CI越大，矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均一致性指标RI(RandomIndex)进行比较。1maxnnCI完全一致时，CI的值？（3）计算一致性比例：CRRICICR当CR0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。（2）、查找相应的平均随机一致性指标：RI对n=1、2、3…9，Saaty给出了的值，如下表所示：n123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45平均随机一致性指标RI是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征值的计算之后，取算术平均数得到的。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。4层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。对于最高层下面的第二层，若上一层次A包含m个因素,A1，A2，…Am，其层次总排序权值分别为a1，a2，…am，下一层次B包含n个元素B1，B2，…Bn，它们对于因素Aj的层次单排序权值分别为bj1，bj2，…bjn（当Bi与Aj无联系时，bji＝0），此时B层次总排序权值由下表给出。层次总排序的一致性检验(1)(2)(3)在(1)式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应的Ｂ层次中判断矩阵的一致性指标；在(2)式中，RI为层次总排序的随机一致性指标，RIj为与aj对应的Ｂ层次中判断矩阵的随机一致性指标；在(3)式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。同样当CR≤0.10时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性。五判断矩阵的计算方法通过前面的介绍，我们知道，在层次分析方法中，最根本的计算任务是求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。这些问题当然可以用线性代数知识去求解，并且能够利用计算机求得任意高精度的结果。但事实上，在层次分析法中，判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量的计算，并不需要追求太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题定量化的结果，允许存在一定的误差范围。因此，我们常常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。三种方法：幂法、和积法和方根法判断矩阵和积法计算步骤:141614121621///A列向量归一化091007701036403080305450615060.........精确计算，得0133090032205880.),.,.,.(w求和268097207601...归一化w089032405870...268097407691...Aw009308902680324097405870769131.)......(基于模糊层次分析法的航空项目风险管理研究周平,朱松岭,姜寿山文献来自：计算机集成制造系统-CIMS2003年第12期中长期地震预测方案综合信度评价的层次分析法王晓青，高孟潭文献来自：中国地震1995年第03期岩体边坡治理决策的模糊层次分析方法研究谢全敏,夏元友文献来自：岩石力学与工程学报2003年第07期大气环境质量综合评价的层次分析法何斌，谢开贵文献来自：环境保护1997年第08期决策支持系统在旅游景区优先开发中的应用王军伟,才书训文献来自：东北大学学报(自然科学版)2002年第07期基于模糊层次分析法的城市电网规划决策综合评判陈大宇,肖峻,王成山文献来自：电力系统及其自动化学报2003年第04期层次分析法在兰州经济结构评价中的应用刘军,姚军文献来自：西北师大学报(社会科学版)2001年第02期*六、层次分析法的应用22,752层次分析法建模举例（一）资金分配决策某个工厂可以使用一笔企业留成利润，由厂领导和职工代表大会决定如何使用，可以选择的方案有：发奖金、扩建福利设施和引进新的设备，为了进一步促进企业的发展，如何合理的使用这笔利润？（二）、城市主导产业决策分析构造层次机构体系目标层(A)准则层(C)对象层(P)市场C1效益C2资源C3能源工业P1交通运输业P2冶金工业P3化工工业P4纺织工业P5建材工业P6建筑业P7机械工业P8食品加工业P9邮电通讯业P10电气电子业P11农业P12旅游业P113饮食服务业P14主导产业AC1—P判断矩阵C2—P判断矩阵C3—P判断矩阵A—P总排序七层次分析法的优点和局限性1系统性层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。2实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。1、只能从原有