第4章拉格朗日力学

第4章拉格朗日力学§§4-1约束§4-2虚功原理§4-3拉格朗日方程§4-4小振动对于约束运动,之所以约束运动能够实现，完全可以看作是受到约束力作用的后果。与主动力不同,约束力不能事先给出明确的表达式,而是与待解运动有关,所以在研究约束体系时必须对包含约束力的运动方程和所有约束方程进行联合求解,方程的数目相对于无约束的情况，不但不能减少，反而还要增加，因此增加了复杂性，至少可以说牛顿力学方法不适宜处理此类问题。前面介绍的力学理论属于牛顿力学范围，虽然它提供解决力学问题的一般方案，但也存在一些困难和不足。例如牛顿力学方法偏重于受力分析和矢量运算，对于处理少量自由质点或刚体运动，如果力函数均为已知，尚可应付。但对于包含大量质点的问题，一般得到由大量微分方程构成的方程组，特别是对于包含大量约束的问题更难处理。另外分析力学以“广义坐标”，“能量”（“类能量”）代替了牛顿力学中“坐标”和“力”的地位,标量运算。牛顿力学和分析力学是两种风格完全不同的力学理论，在力学范围内它们完全等价，但是分析力学具有更加普适的表达方式，更加方便推广到力学范围外的其它领域。分析力学可以看作是经典力学的另外一种表达方式。分析力学方法偏重于解析数学，通过一系列巧妙的数学处理方法,对约束问题无需知道约束力,就可以得到问题的运动微分方程，从而得到问题的解，实际上约束作用无法消除，只不过它的影响是通过广义坐标和理想约束，隐含在运动方程中。分析力学的Roadmap约束运动自由运动广义动量广义坐标广义速度广义力广义坐标自由度拉氏函数拉氏方程哈密顿函数哈密顿方程定义和简写设力学系统由n个相互作用的质点组成｡力学(系):简写:(1,2,...,3)ixin3n个坐标参量可以统一地写为:力学系统的位置状态｡描述n个质点的力学系的位形一般可用3n个直角坐标参量:位形:111222(,,),(,,),...,(,,)nnnxyzxyzxyz()12nr,r,...,r所谓约束，如机械中的滑道，连杆，传动带，齿轮等，无非构成限制或影响物体运动的条件，一般总是可以归结为某种反力的作用。自由运动:其位置和速度完全取决于可以事先给定且有明确形式的力(也称为主动力)和初始条件。一约束及其分类约束运动:其位置和速度除了需要满足动力学方程,同时还要受到一些形式上不涉及任何主动力的限制关系（可以归结于约束力）,这些限制关系称为约束,这类运动称为约束运动。§4-1约束1.几何约束与运动约束几何约束:只有体系的位置(位形)受到限制的约束。yxOAA0l单摆(OA为刚性轻杆)222(,)0fxyxyl约束方程:一般几何约束的约束方程:独立的约束个数3n常见几何约束:质点被约束在某一曲线或曲面上运动(4.1)12(,,...,,)0,1,2,...nftkrrr一个几何约束方程实际代表3n维空间的一个曲面运动约束:体系的运动速度受到限制的约束。又称微分约束00RxyccOyxAxByBxAyABvA导弹跟踪系统--ABAABAxxxyyy圆轮沿水平直线无滑滚动COyxvC一般运动约束(微分约束)的约束方程:(4.2)1212(,,...,,,,...,,)0,1,2,...nnftrrrrrrr某些运动约束(如果可积的话)可以转化为几何约束.2.定常约束与非定常约束定常约束－约束方程中不显含时间的约束(也叫稳定约束)：非定常约束－约束方程中显含时间的约束(也叫非稳定约束)yxvOM12(,,...,)0,1,2,...nfkrrr1212(,,...,,,,...,)0,1,2,...nnfrrrrrrr2220()xylvt**3.单面约束与双面约束双面约束——约束方程可以写成等式的约束(不可解约束)。单面约束——约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束(可解约束)。在可解几何约束情况下,体系可在一侧偏离等式所代表的曲面,但不代表脱离约束,实际上仍在约束所规定的范围内运动。(4.3)1212(,,...,,,,...,,)0,or0nnftrrrrrr单面约束还是双面约束？约束方程？yxOAyxOAA0lA0l222xyl222xyl**4.完整约束与非完整约束完整约束——约束方程不包含质点速度，或者虽然包含质点速度但约束方程单独可以积分的约束。几何约束是完整约束某些（运动）微分约束可以单独积分,退化成几何(完整)约束非完整约束——约束方程包含质点速度、且约束方程不可以单独积分(必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才能积分)的约束。可解约束也是非完整约束,实际上可解约束的解脱条件也与运动有关,即这类问题也要与运动方程联立求解在运动方程未解出之前约束方程不可积分，所以是非完整约束。圆轮所受约束实际为完整约束。OyxAxByBxAyAvABABAABAxxxyyy0000CCCCyxRyRxR可以积分为COyxvC下面研究体系因为受到几何（完整）约束，描述体系位形（位置）的独立坐标参量数目和体系自由度问题。二广义坐标与自由度一个自由质点的位置需要三个直角坐标x,y,z确定，并且这三个坐标可以独立变化。如果限制一个质点在z=0平面上运动（相当于一个几何约束），则描述该质点的位置只需要两个独立坐标参量。如果两个质点保持恒定距离l，即存在几何约束方程：所以描述这两个质点的位置只需要5个独立坐标参量。222121212()()()xxyyzzl对于包含n个质点的力学体系,如果受到k个几何约束，那么确定体系位形的3n个直角坐标参量中只有3n-k=s个是独立（变化）的，这些独立坐标参量的个数s一般称即体系的运动自由度。自由度——能够完全描述质点系位形所需要的可独立变化的坐标参量的数目。12(,,,)sqqq因此总能找到s个独立坐标参量，只要这s个独立参量确定，那么3n个直角坐标的值就全部确定，也就是体系的位形完全确定。当然这s个独立参量的选择不仅限于直角坐标参量，还可以是任意的其它独立参量，只要它们能够确定体系的位形即可。广义坐标——凡是足以确定质点系位形的一组独立参量。121212(,,,,)(,,,,)(i=1,2,...,n)(,,,,)iisiisiisxxqqqtyyqqqtzzqqqt通常把上述坐标变换关系称为坐标变换方程，通常可以根据约束条件写出。(,,)(1,2,...,)iiixyzin12(,,,)sqqq3n个直角坐标和s个广义坐标之间满足一定的函数关系：坐标变换关系lA(x,y)yxOsincosxlyl平面摆描述质点位置最多需要2个直角坐标(x,y)还受到一个几何约束222xyl一个自然(而又最佳)选择是角度，当然我们也不排除其它选择，如选x为广义坐标：坐标变换方程为所以自由度数s=广义坐标数=2–1=1或22xxylxyxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1122sincossinsincoscosxayaxabyab受到两个几何约束，所以自由度数s=独立坐标数=4–2=2只有两个独立坐标，可以方便地选择,为广义坐标：其坐标变换方程为描述系统位置(即A,B)最多需要４个坐标平面双摆从上述例子可以看出:•在完整系中,广义坐标的数目与自由度数目相等。•对于给定系统,广义坐标的数目是一定的,而广义坐标的选择不是唯一的。既可以是普通直角坐标,也可以是角量或其它任何能够帮助确定体系位形的独立参量。•广义坐标甚至可以超越力学范畴,推广到物理学的其它领域。•对于简单体系,一般可以直接判断需要引入哪些独立参量以及多少个独立参量,只要它们能够完全确定体系的位形,即可作为广义坐标。•引进广义坐标使原来的约束问题变为广义坐标下的自由问题，同时约束关系全部自动得到满足。考虑有k个几何约束,由于完整系中的广义坐标是独立的,而且它们的变分之间也是相互独立,因此在完整约束的条件下,体系的自由度与广义坐标数相等.s(自由度)=广义坐标数=3n-k对于完整系:**关于自由度和广义坐标之间的一般关系的讨论***对于非完整系(目前理论尚不成熟):情况比较复杂,考虑有k个几何约束,还有r个微分约束.因为微分约束不可单独积分,所以个坐标只有k个类似个约束方程联系着,仍可得到3n-k个广义坐标,并且它们是独立的(即不能用一部分坐标确定一部分坐标).无论是几何或微分约束,都限制了坐标参量的独立变化广义坐标数=3n-ks(自由度)=3n-k-r广义坐标数一、虚位移§4-2虚功原理力学体系一般受到约束条件的限制，假如只考虑约束的话，体系在任一时刻都存在着各种可能的运动（只要满足约束即可），在分析力学中，就是通过引进虚位移的概念，把真实运动与这些可能的运动进行比较（依据哈密顿原理,从众多可能的轨道中，找出作用量S取极值的真实轨道）,从而找出真实运动应该满足的方程。为什么要引进虚位移？1、实位移•满足牛顿动力学方程并唯一确定•满足约束条件•必须经过一定的时间间隔发生实位移即位移，质点在时间间隔dt(0)内发生的真实位移。drrdt2、虚位移质点在满足约束条件的前提下假想的任意的无限小位移,称为虚位移,用变分r表示。为了考虑约束,推广实位移的概念,引入虚位移.给出一个例子:质点约束在一个平面内运动,实线代表它的物理轨迹,某一时刻质点在平面内的无限小位移r是变分,轨迹切线方向的微分dr是实位移,属于一个特殊变分,离开平面的位移r显然不是变分。Srdrr虚位移是在确定时刻发生的，是不需要时间的,也可以设想是发生在一个实际还未发生的时间间隔t内，即t=0。虚位移是满足约束条件的假想的一切可能的无限小位移,无需产生的原因。对于稳定约束:虚位移r总是处于质点所在位置的约束曲面的切平面上,实位移是虚位移中的一个。ttdtdr0tSS对于非稳定约束:虚位移r仍然位于某瞬时t所在位置的约束曲面的切平面上,但实位移dr显然离开了约束曲面的切平面，所以与虚位移完全不同。1、虚功定义：想象力在虚位移上所作的功。•虚功有功的量纲，但没有能量转化过程与之联系。•同一个力的虚功和实功可以完全不同。二、虚功和广义力rFWδδ,,,,,iRiiniFiFiri设系统由质点组成对于第个质点表示第个质点受到的主动力之和表示第个质点受到的被动力(或约束力)之和表示第个质点的虚位移则系统所有主动力的虚功之和为iniirFWδδ12、主动力的虚功在分析力学中，通常把相互作用力分为主动力和约束力。1111δδδnssniiiiaiiarrWFqFqqqQq1δδ1,2...()siirrqinq已计及t=0通过广义坐标变换:12(,,...,,)1,2,...iisrrqqqtin根据变分的运算法则（与微分相同）：这里引进广义力：1(=1,2...s)niiirQFq3、有势系下的广义力表示主动力均为有势力(保守力)的力学系统称为有势系.设体系有n个质点,体系有势函数(暂不考虑更复杂的情况):1212(,,,,)(,,,,)nsVVrrrtVqqqt体系每个主动力都可以表示为：iiixiyiziiiVVVFVFFFxyz；；11nniiiiiiiiiirxyzVVVVQFqxqyqzqq三、理想约束所谓理想约束是从理想机械概念引申出来的，它意味着系统是非耗散的,即可以忽略摩擦力,热流,电磁辐射等造成的机械能量耗散。例如滑动摩擦力就是耗散力，不满足理想约束条件。则这种约束称为理想约束。注意这里的理想约束条件是就体系受到的全部约束（力）而言。01iniiRrF定义：