第4章数字特征

2019/12/181第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望2019/12/182§4.1.1数学期望的定义离散型随机变量的数学期望例甲、乙两射手进行射击训练,已知在100次射击中命中环数与次数记录如下:环数8910次数301060环数8910次数205030甲乙试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？2019/12/183甲平均射中的环数为：乙平均射中的环数为：(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)(8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)因此从平均射中的环数看,甲的技术优于乙.2019/12/184上述平均环数的计算可表示为我们称之为随机变量X的数学期望.108kkkp2019/12/185数学期望的定义1()kkkEXxp定义4.1若离散型随机变量X的概率分布为P(X=xk)=pk,k=1,2,…,如果级数绝对收敛，则称此级数为X的数学期望(也称期望或均值),记为1kkkxp2019/12/186若级数不绝对收敛,我们称X的数学期望不存在.1kkkxp数学期望---描述随机变量取值的平均特征注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数绝对收敛.1kkkxp2019/12/187例设X取2(1),1,2,kkkxkk对应的概率为12kxkp证明E(X)不存在.证明：102kxkp11112kxkkkp且1112112kkkxkkkkxpkk但级数发散2019/12/188所以E(X)不存在，但级数11121(1)(1)ln22kkkkkxkkkkxpkk要注意数学期望的条件：“绝对收敛”2019/12/189例设离散型随机变量X的分布律为X-2-1012Pk1/162/163/162/168/1612328()(2)(1)012161616161678EX则X的数学期望为2019/12/1810例4.3泊松分布的期望设X，则E(X)=.(),0,1,2,!kPXkekk证：0()!kkEXkek0!1mmmekmee11)!1(kkke2019/12/1811练习：随机变量XB(n,p)，则E(X)=np.01()nnkknkkknknnkkEXkCpqkCpq111111110nnmkkknkmmnmnnkmnpCpqnpCpq1()nnppqnp证明：2019/12/1812连续型随机变量的数学期望定义4.2若连续型随机变量X~f(x),如果广义积分()xfxdx此积分为随机变量X的数学期望,记为绝对收敛,则称()()EXxfxdx2019/12/181310()()00xxexfxx例4.4Γ分布的数学期望X的密度函数:()()EXxfxdx解:10()xxxedx01()()()xxedx(1)()2019/12/1814§4.1.2随机变量函数的期望定理4.1设X为随机变量，Y=g(X)是X的连续函数或单调函数,则(1)若离散型随机变量X~P(X=xk)=pk,k=1,2,…,如果级数1()kkkgxp绝对收敛，则1()(())()kkkEYEgXgxp2019/12/1815XPg(X)Px1x2…xnp1p2…png(x1)g(x2)…g(xn)p1p2…pn1()(())()kkkEYEgXgxp…………2019/12/1816随机变量函数的期望(2)若连续型随机变量X~f(x),如果广义积分()()gxfxdx绝对收敛，则()(())()()EYEgXgxfxdx此定理说明:在求随机变量X的函数Y=g(X)的期望时,不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可2019/12/1817例4.6某车站开往甲地的班车每小时10分,40分发车,一乘客因不知车站发车的时间,在每小时的任意时刻都随机到达车站,求乘客的平均等待时间.解:设乘客到达车站的时间为X,等车时间为Y,则X~U(0,60),且10,010()40,10406010,4060XXYgXXXXX2019/12/1818例4.6于是,乘客的平均等待时间E(Y)为:()(())()()EYEgXgxfxdx1040010604011(10)(40)60601(70)60xdxxdxxdx152019/12/1819定理4.2设(X,Y)为二维随机变量,Z=g(X,Y)是(X,Y)的连续函数,(1)若离散型随机变量(X,Y)~P(X=xi，Y=yj)=pij,i,j=1,2,…,如果级数,1()((,))(,)ijijijEZEgXYgxyp二维随机变量函数的期望,1(,)ijijijgxyp绝对收敛,则2019/12/1820二维随机变量函数的期望(2)若连续型随机变量(X,Y)~f(x,y),如果广义积分(,)(,)gxyfxydxdy绝对收敛，则()((,))(,)(,)EZEgXYgxyfxydxdy2019/12/1821例4.7两元件并联构成系统,设元件寿命X与Y独立同服从指数分布e(0.5),求系统的平均寿命.1()21,,0(,)40,xyexyfxy其它解:写出(X,Y)的联合密度函数令Z表示系统寿命,则(,)max(,)ZgXYXY2019/12/1822例4.7()(max(,))max(,)(,)EZEXYxyfxydxdy11()()220001144xxyxyxdxxedydxyedy120012xxxedxedx2(2)(1)32019/12/1823思考题设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从[2000,4000]上的均匀分布.若售出这种商品1吨,可赚3万元,但若销售不出去,则每吨需付仓储费1万元,问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大?解由题意可知X的密度函数为120004000()20000xfx其它2019/12/1824设每年出口该商品y吨(2000≤y≤4000),则收益yXXyXyXyXgY)(33)(dxxfxgXgEYE)()())(()(4000200020001)(dxxg2019/12/1825yyydxdxyx200040003)4(20001)1047000(2000162yy可知y=3500时，E(Y)取到最大值，故出口3500吨此商品才可使平均收益最大.2019/12/1826§4.1.3数学期望的性质(1)().ECC(2)()()ECXCEX证:()()()ECXCxfxdx则()Cxfxdx()CEX(常数的期望等于它本身)设X有密度f(x),2019/12/1827数学期望具有可加性(3)()()()EXYEXEY证()()(,)EXYxyfxydxdydxdyyxyfdxdyyxxf),(),(dydxyxfydxdyyxfx]),([]),([()()XYxfxdxyfydy()().EXEY设(X,Y)有密度f(x,y),2019/12/1828(4)设Xi(i=1,2,…,n)是n个随机变量，Ci(i=1,2,…,n)是n个常数，则11()()nniiiiiiECXCEX---数学期望的线性性质数学期望的性质2019/12/1829数学期望的性质(5)若X与Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y)(独立时,乘积的期望等于期望的乘积)推广：X1,X2,…,Xn相互独立，则E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)2019/12/1830例4.9设XBn,p,则E(X)=np.解:X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，1,1,2,,0,.iiAXiniA第次试验中发生；第次试验中不发生则1niiXX而(),1,2,,iEXpin故1()()niiEXEXnppni12019/12/1831设XHn,m,N,求X的数学期望.利用期望的线性性质计算1,1,2,,0,iiXini第次取到红球第次未取到红球课后练习则1niiXX2019/12/1832思考题一民航机场的送客车载有20名乘客从机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个站无旅客下车就不停车,假设每位旅客在各站下车是等可能的,且旅客之间在哪一个站下车相互独立.以X表示停车次数,求平均停车次数E(X).解:X的可能取值为1,2,…,10,又设10iiXi第站有人下车第站无人下车2019/12/1833则X=X1+X2+…+X10Xi的分布律为：XiP10(9/10)201-(9/10)20∴E(Xi)=1-(9/10)20E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=10×[1-(9/10)20]=8.7842019/12/1834§4.2方差在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，可用E|X-EX|表示，但由于绝对值得均值不易计算；所以通常用E(X-EX)2来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度.2019/12/1835方差的定义及计算定义4.3设X是随机变量，若E(X-EX)2存在，则定义D(X)=E(X-EX)2称其为随机变量X的方差，记作D(X)，称为X的均方差或标准差.()DX由方差的定义可知，D(X)≥02019/12/1836方差本质是随机变量函数的期望.是描述随机变量取值波动程度(离散程度)的一个数字特征.212()(),()()(),kkkxEXPXxDXxEXfxdx离散型情形连续型情形2019/12/1837例甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：X:甲击中的环数，Y:乙击中的环数X8910P0.30.20.5Y8910P0.20.40.4试问哪个人的射击水平较高？2019/12/1838比较两个人的平均环数甲的平均环数为80.390.2100.59.2EX乙的平均环数为80.290.4100.49.2EY因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两人射击环数的方差分别为2019/12/1839222(89.2)0.3(99.2)0.2(109.2)0.50.76DX222(89.2)0.2(99.2)0.4(109.2)0.40.624DY由于DYDX这表明乙的射击水平比甲稳定.2019/12/1840方差的计算式22()()()DXEXEX2()DXEXEX实数222()DXEXXEXEX22()2()DXEXEXEXEX22()DXEXEX即方差是随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方2019/12/1841已知随机变量X的分布律如下，求D(X)例X-2-1012pk1/162/163/162/168/1625168216211630162)1(161)2()(222222