第4章曲线曲面

曲线与曲面在CAD中经常要处理复杂的自由形状曲线和曲面，特别是在汽车、航空航天、船舶、轻工等领域的CAD中，自由曲线和曲面设计是一个重要问题。CAD技术采取的基本做法是：给出一系列离散点的空间坐标；将上述离散点分段，并选择某个函数模式计算每一小段内任意点的坐标。上述计算过程又称为拟合或逼近，所选择的函数模式则称为拟合函数或逼近函数。应用领域一曲线、曲面的参数表示1.曲线曲面的数学表示形式在数学上，曲线曲面常采用显式、隐式和参数几种表示形式。*显式表示显式表示不能表示封闭或多值曲线，如圆等。*隐式表示可以表示多值曲线，如抛物线、椭圆等，但仍存在曲线与坐标轴的选取相关，不便于计算与编程等。*参数表示将曲线或曲面上的点的坐标表示为某参数的函数。)(),(),(uzzuyyuxx)(xfy0),,(zyxF与曲线曲面显式和隐式表示法相比较，参数表示法具有如下优点：可方便的表示三维曲线，并有更多的自由度来控制曲线曲面形状；参数表示的曲线曲面与坐标系选择无关；在参数表达式中使用切矢量来代替非参数方程中的斜率，便于处理斜率为无穷大情况；易于用矢量和矩阵表示几何量，从而便于计算机计算与编程。1.曲线曲面的数学表示形式2.参数曲线定义及切矢量、主法矢和曲率一条用参数表示的三维曲线是一个有界的、连续的点集，可表示为曲线的端点在u=0、u=1处，曲线上任一点的位置矢量（坐标）可用矢量P(u)表示10)(),(),(uuzzuyyuxx)]()()([)(uzuyuxuP切矢量设曲线上Q、R两点，其参数分别为u、u+u，位置矢量分别为P(u)、P(u+u)。矢量P=P(u+u)-P(u)表示连接QR的弦长，当u0时，位置矢量关于参数u的一阶导数矢量称为曲线在该点的切矢量，方向为切线方向。切矢量切矢量单位切矢量所以以弧长为参数的切矢量为单位切矢量。dudPuP)(()()()PuTsPuududPuduPdududPuPuuPPs222)(21)()(()/()dPdsdPdududs主法矢与曲率主法矢主法矢总是指向曲线凹入的方向。曲率曲率表示切向量沿曲线的变化率，它描述了曲线在某点的弯曲程度。曲率越大，曲线在此点弯曲地越厉害。曲率的倒数称为曲率半径。曲率的计算：sTsTspsks0lim)()()()()()()()(22222222dszddsyddsxddsPddsdTsTsk)()()()()(sTsTsPsPsN３.曲线段间连续性定义在实际应用中，曲线常常以分段形式定义，或由多段曲线拼合而成。关于各曲线段在连接点处的连续性有两种判断标准：参数连续和几何连续。参数连续——判断连接点处曲线方程相对于参数u的各阶导数连续性，如果具有n阶导数，则称曲线n阶参数连续，记为几何连续——判断连接点处曲线方程相对于弧长s的各阶导数连续性，如果具有n阶导数，则称曲线n阶几何连续，记为曲线的参数连续性与参数的选择有关；而几何连续性不依赖于参数的选取，而是反映曲线的具体几何特征。nCnG连续性定义在曲线曲面造型中，一般仅讨论和连续。当曲线具有C0连续时，表示曲线在连接点处位置矢量相同；当曲线具有C1连续时，表示前后两个曲线段在连接点处切矢方向相同，大小相等；当曲线具有C2连续时，表示曲线在连接点的二阶导矢相同；G0的含义同C0；G1表示曲线在连接点切矢方向相同，但大小可能不同；G2表示曲线在连接点处具有相同的曲率．210CCC、、210GGG、、Bezier是法国雷诺汽车公司Bezier先生于1962年提出的一种曲线曲面构造方法。Bezier曲线不通过给定的中间离散点，但是设计人员可以容易地通过改变这些离散点的位置来控制和改变拟合的Bezier曲线的形状。因此，给出的离散点又称为控制点。Bezier曲线适宜用于象汽车车身等自由形状的构形设计。二Bezier曲线Bezier曲线拟合实例Bezier曲线方程对于给定的N+1个点，可定义n次Bezier曲线，拟合计算式为：t－参变量，取值范围为0~1；P(t)－任意拟合点的坐标，P(t)=[x(t),y(t)]；－给定的第i个点的坐标；－混比函数，反映第i个点对拟合点的影响，它定义为NiiNitBPtP0)()(iP)(tBiNiNiiNttiNiNtB)1()!(!!)(当控制点数为4时，拟合的Bezier曲线是三次多项式函数。将混合函数按照定义计算式展开，经整理可得三次Bezier曲线计算式：Bezier曲线方程NiiNitBPtP0)()(iNiiNttiNiNtB)1()!(!!)(30333231223232113233003)1(!0!3!3)(33)1(!1!2!3)(363)1(!2!1!3)(133)1(!3!0!3)(ttttBtttttBttttttBttttttB332211002300010033036313311)()(yxyxyxyxttttytxBezier曲线性质零次Bezier曲线就是一个顶点P0；一次Bezier曲线就是连接两个顶点P0与P1的直线；二次Bezier曲线是以P0和P2为端点的抛物线。下面以三次为例说明：端点特征根据三次Bezier曲线的参数表示，有曲线通过给定点列的始点和终点，曲线始点和终点处的切线方向分别与特征多边形的首、末两边重合，其大小为首末两边长的3倍。)(3)1()(3)0()1()0(23010PPPPPPPPPPn332211002300010033036313311)()(yxyxyxyxttttytx332211002300010033036313311)()(yxyxyxyxttttytx33221100200010033036313310123)()(yxyxyxyxtttytx32103210330000010033036313310123)1(PPPPPPPPP凸包性(ConvexHull)Bezier曲线恒位于其控制顶点所形成的凸包内几何不变性Bezier曲线的位置与形状仅与其特征多边形顶点位置有关，而与坐标系的选择无关。在几何变换中，只要直接对特征多边形的顶点变换即可，无需对曲线上的每一点变换。全局控制性将给出的控制点循序连接可组成一折线，Bezier曲线光滑地随着该折线的变化而变化。通过改动控制点的配置，控制Bezier曲线的变化趋势。对Bezier曲线，改变一个控制点的位置，将影响整条曲线的形状，所以总控制点数目不宜过多。Bezier曲线性质Bezier曲线函数也是多项式，其次数为段内控制点数目减1。当控制点数目较多时，宜分段拟合。两条三次Bezier曲线P(t)，Q(t)，进行拼接：（1）G0连续P(t)的终点与Q(t)的始点相连，满足P(1)=Q(0)。Bezier曲线拼接（2）G1连续曲线在拼接点具有相同的单位切矢量，即则有（3）G2连续满足Bezier曲线拼接(1)(0)PQ32103210(1)3()(0)3()PPPQQQPPQQ)0()1(QP)()()()(22)2(6)0()2(6)1(10122123012123012123QQQQPPPPQQQPPPQQQQPPPP为得到分段之间G1光滑过渡，在衔接点处应使前段的最后两个控制点和后段最先两个控制点同在一条直线上。由连接点两边各两个顶点所构成的平行四边形对角线须平行且相等，位于同一平面。B样条的概念是由Schoenberg（舍恩伯格）于40年代提出；B样条方法是在保留Bezier方法的优点同时，克服其由于整体不具有局部性质的缺点，以及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的;B样条曲线具有与Bezier曲线相类似的功能，它的特点在于多项式的次数可不受控制点数目的限制，能独立选择次数并具有局部构形性。三B样条曲线B样条曲线方程三次B样条插值点坐标的计算式是：t－参变量，变化范围为0~1；－相邻四个控制点的坐标值。111122230141030303631331611)()(iiiiiiiiyxyxyxyxttttytx),,(),,(1122iiiiyxyxB样条曲线与Bezier曲线的差别–Bezier曲线的次数等于控制顶点数减1，B样条曲线的次数与控制顶点无关；–Bezier曲线的基函数是多项式函数，B样条曲线的基函数是分段多项式；–Bezier曲线：参数多项式曲线；B样条曲线：参数样条曲线–Bezier曲线：缺乏局部性；B样条：具有局部性最常使用的B样条曲线是三次B样条曲线。对三次B样条曲线来说，任意插值点的坐标值只与相邻四个控制点坐标有关；如果改动任意某个控制点的坐标，其对曲线形状影响波及的范围只是前后各三个小段跨度。B样条曲线方程B样条曲线拟合的图例B样条曲线的性质端点位置矢量)4(61)1()4(61)0(321210PPPPPPPP111122230141030303631331611)()(iiiiiiiiyxyxyxyxttttytx12021032)2(31)4(61)0(PPPPPPP23132132)2(31)4(61)1(PPPPPPP起点与终点分别位于两个三角形中线1/3处；B样条曲线的性质端点切矢量分别平行于P0P2、P1P3边，其长度为该边长的一半；端点的二阶导数矢量应为相邻两直线边所构成的平行四边形的对角线。)(21)1()(21)0(1302PPPPPP3212102)1(2)0(PPPPPPPP111122230141030303631331611)()(iiiiiiiiyxyxyxyxttttytxB样条曲线的性质局部性k次B样条曲线只被相邻的k+1个控制点控制，与其它点无关；凸包性曲线比Bezier曲线更逼近于控制点连线折线。当连线相邻的4个控制点处于一条直线上时，三次B样条曲线变为一条直线，且与该直线的一部分重合。当连续3个控制点重合时，拟合的三次B样条曲线将通过此重合点。当连续3个控制点处于一条直线连线上时，拟合的三次B样条曲线将与此直线相切。连续性三次B样条曲线在整个拟合范围内具有二阶导数连续。四自由曲面对于曲面，也可以用数值法进行拟合，其基本做法是:按给定的离散点拟合得曲线簇，拟合曲线将曲面划分为多个曲面片;在曲面片内按选定的函数模式插值，相邻曲面片之间的连接应使之满足连续光滑的要求。自由曲面Bezier曲面或B样条曲面