第4章线性控制系统的计算机辅助设计

本章主要内容线性系统定性分析线性系统时域响应解析解法线性系统的数字仿真分析根轨迹分析线性系统频域分析4.1线性系统性质分析---主要内容线性系统稳定性分析􀂄线性反馈系统内部稳定性分析􀂄线性系统的相似变换􀂄线性系统可控性分析􀂄线性系统可观测性分析􀂄Kalman分解􀂄系统状态方程的标准型􀂄系统的范数测度及求解4.1线性系统性质分析---稳定性分析(1)连续线性状态方程解析解稳定性：矩阵A的特征根均有负实部离散系统状态方程解析解稳定性：矩阵F的特征根均在单位圆内[(1)]()()()()()xkTFxkTGukTykTCxkTDukT00()()0()()()tAttAttxtexteBud()()()()()()xtAxtButytCxtDut110()(0)()kkkiixkTFxFGuiT4.1线性系统性质分析---稳定性分析(2)基于MATLAB的稳定性直接判定状态方程模型由eig(A)可求出所有特征根离散系统：abs(eig(A))传递函数模型：完全同样方法基于MATLAB的图解判定法连续系统：pzmap(G)离散系统：pzmap(G)，同时画出单位圆4.1线性系统性质分析---稳定性分析(3)例4-1单位负反馈构成的闭环系统稳定性判定直接分析方法num=[105010010040];den=[1211848702384366424960];G=tf(num,den);GG=feedback(G,1);pzmap(GG)eig(GG)'用zpk(GG)命令得出零极点模型，从而判断稳定性432765432105010010040()21184870238436642496ssssGssssssss4.1线性系统性质分析---稳定性分析(4)例4-2高阶离散单位负反馈系统模型den=[1-10.250.25-0.125];num=[6-0.6-0.12];H=tf(num,den,'Ts',0.1);z=tf('z','Ts',0.1);Gc=0.3*(z-0.6)/(z+0.8);GG=feedback(H*Gc,1);pzmap(GG),abs(eig(GG)')2432c60.60.12(),0.250.250.1250.6()0.3,0.10.8zzHzzzzzzGzTz4.1线性系统性质分析---线性反馈系统内部稳定性(1)输入、输出稳定是不够的，因为若内部信号可能过大，对系统作硬件破坏应该引入内部稳定性概念，保证内部信号也是稳定的。带有扰动的线性反馈控制系统如下图所示c()Gsud1xr2x()Gsy()Hsvn3x4.1线性系统性质分析---线性反馈系统内部稳定性(2)从输入信号(r,d,n)到内部输出信号(x1,x2,x3)都稳定的系统称为内部稳定系统传递函数矩阵其中逐一判断每个子传递函数的稳定性很繁琐12cc3c1()()()1()1()()()()()()1xGsHsHsrxGsGsHsdMsxGsGsGsnc()1()()()MsGsGsHs4.1线性系统性质分析---线性反馈系统内部稳定性(3)闭环系统内部稳定的充要条件为1+H(s)G(s)Gc(s)没有不稳定的零点H(s)G(s)Gc(s)没有不稳定零极点对消第一个条件等效于输入输出稳定性判断第2个条件即可可以编写MATLAB函数判断内部稳定性key=intstable(G,Gc,H)4.1线性系统性质分析---线性反馈系统内部稳定性(4)判定的MATLAB函数functionkey=intstable(G,Gc,H)GG=minreal(feedback(G*Gc,H));G0=H*G*Gc;G01=minreal(G0);p=eig(GG);z0=eig(G0);z1=eig(G01);zz=setdiff(z0,z1);if(G.Ts1),%%离散系统判定key=any(abs(p)1);ifkey==0,key=2*any(abs(zz)1);endelse,%%连续系统判断key=any(real(p)0);ifkey==0,key=2*any(real(zz)0);endend1:输入输出不稳定；2：输入输出稳定、但内部不稳定；0：内部稳定4.1线性系统性质分析---线性相似变换(1)系统的状态方程表示称为系统实现不同状态选择下，状态方程不唯一相似变换非奇异矩阵T状态变换z=T-1x新状态方程模型1()()(),(0)(0)()()()ttttztAztButzTxytCztDut4.1线性系统性质分析---线性相似变换(2)状态变换公式MATLAB求解方法G1=ss2ss(G,T)11,,ttttATATBTBCCTDD输入输出都要是状态方程对象4.1线性系统性质分析---线性相似变换(3)例4-3已知系统和转换矩阵A=[0100;0010;0001;-24-50-35-10];G1=ss(A,[0;0;0;1],[242471],0);T=fliplr(eye(4));G2=ss2ss(G1,T)0100010010()010001()()012450351011()242471()xtxtutTytxt4.1线性系统性质分析---线性相似变换(4)变换结果：相似变换能改变系统的结构引入相似变换矩阵可以将已知系统转换成其他的形式10355024110000()()()0100000100()172424()ztztutytzt4.1线性系统性质分析---可控性分析(1)可控性定义假设系统由状态方程(A,B,C,D)给出，对任意的初始时刻t0，如果状态空间中任一状态xi(t)可以从初始状态xi(t0)处，由有界的输入信号u(t)的驱动下，在有限时间tf内能够到达任意预先指定的状态xi(tf)，则称此状态是可控的；如果系统中所有的状态都是可控的，则称该系统为完全可控的系统；系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外部输出信号控制的性质；4.1线性系统性质分析---可控性分析(2)可控性判定矩阵方法若矩阵Tc满秩，则系统完全可控基于MATLAB的判定方法：rank(T)构造可控性判定矩阵：Tc=ctrb(A,B)21[,,,,]ncTBABABAB4.1线性系统性质分析---可控性分析(3)例4-4离散状态方程的可控性A=[-2.2-0.71.5-1;0.2-6.36-1.5;0.6-0.9-2-0.5;1.4-0.1-1-3.5];B=[69;46;44;84];Tc=ctrb(A,B);rank(Tc)或者Tc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];%用直接方法建立可控性矩阵rank(Tc)2.20.71.51690.26.361.546[(1)]()()0.60.920.5441.40.113.584xkTxkTukT4.1线性系统性质分析---可控性分析(4)由Gram矩阵的非奇异判定可控性引入可控Gram矩阵：该矩阵满足Lyapunov方程MATLAB求解：Lc=lyap(A,B*B')可控Gram矩阵还可以由Gc=gram(G,'c')直接求出0TAtTAtcLeBBedtTTccALLABB4.1线性系统性质分析---可控性分析(5)例4-5求Gram矩阵num=[6-0.6-0.12];den=[1-10.250.25-0.125];H=tf(num,den,'Ts',0.1);Lc=gram(ss(H),'c')243260.60.12()0.250.250.125zzHzzzzz4.1线性系统性质分析---可控性分析(6)可控性阶梯分解对于不完全可控的系统进行阶梯分解阶梯标准型MATLAB函数调用[Ac,Bc,Cc,Tc]=ctrbf(A,B,C)若原系统状态方程完全可控，则不必分解21ˆ00ˆˆ,,ˆˆˆcccccccAABCCCBAA4.1线性系统性质分析---可控性分析(7)例4-6不完全可控系统A=[-2.2-0.71.5-1;0.2-6.36-1.5;...0.6-0.9-2-0.5;1.4-0.1-1-3.5];B=[69;46;44;84];C=[1234];[Ac,Bc,Cc,Tc]=ctrbf(A,B,C);2.20.71.51690.26.361.546[(1)]()()0.60.920.5441.40.113.584xkTxkTukT4.1线性系统性质分析---可观测性分析(1)可观测性定义假设系统由状态方程(A,B,C,D)给出,对任意的初始时刻t0,如果状态空间中任一状态xi(t)在任意有限时刻tf的状态xi(tf)可以由输出信号在这一时间区间内t∈[t0,tf]的值精确地确定出来，则称此状态是可观测的。如果系统中所有的状态都是可观测的，则称该系统为完全可观测的系统。系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以由系统输出信号重建起来的性质。4.1线性系统性质分析---可观测性分析(2)可观测性与可控性是对偶问题可观测性判定矩阵方法系统(A,C)的可观测性问题等同于(AT,CT)的可控性问题MATLAB求解可观测矩阵obsv(),obsvf()21onCCATCACA4.1线性系统性质分析---可观测性分析(3)Gram矩阵判定可观测性MATLAB求解：gram(G,'o')Gram矩阵满足Lyapunov方程0TAtTAtoLeCCedtTTooALLACC4.1线性系统性质分析---kalman规范分解(1)Kalman规范分解,1,2,,3,13,2,3,4,4,2,,,ˆˆ000ˆ0000()()()ˆˆˆˆˆˆˆˆ00ˆˆ()00()cocococococococoAAAztztutBAAAABAAytCCzt4.1线性系统性质分析---kalman规范分解(2)子空间为既不可控又不可观测的子空间，为不可控但可观测的子空间，和分别为可控但不可观测的子空间和既可控又可观测的子空间。既可控又可观的子空间就是前面提及的最小实现模型,ˆ(,0,0)coA,,ˆˆ(,0,)cocoAC,,ˆˆ(,,0)cocoAB,,,ˆˆˆ(,,)cococoABC4.1线性系统性质分析---系统状态方程标准型的MATLAB求解(1)常用标准型单变量系统的标准型可控标准型实现可观测标准型实现Jordan标准型实现多变量系统Leunberge标准型侧重点：如何用MATLAB直接获取标准型4.1线性系统性质分析-系统状态方程标准型的MATLAB求解(2)单变量系统的标准型可控标准型可观测标准型ccccxAxBuyCxDu12120100000000101[]nnxxuaaaybbbxooooxAxBuyCxDu112233000100010001[0,0,,1]nnababxaxbuabyx