第4讲模糊数学方法

2012数学建模培训第4讲模糊数学方法(一)“模糊数学方法”学习内容1.如何理解模糊集合、隶属函数以及隶属度？2.模糊集合的表示方法及常用运算。3.构造隶属函数的常用方法。4.如何理解模糊集合间的贴近度？5.模糊模式识别的常用原则及适用场合。6.模糊聚类的一般步骤。7.模糊相似矩阵与模糊等价矩阵。8.什么是传递闭包矩阵，如何计算，有何用途？9.λ—截矩阵的概念及用途。10.相似系数的确定方法。11.模糊聚类有哪几类方法？分别详述其原理与步骤。12.模糊聚类编程与实例。13.模糊综合评价的基本思想和具体步骤。14.如何理解评价对象的因素集和评价集？15.什么是模糊综合评价矩阵，如何确定模糊综合评价矩阵？16.当评价指标分属效益型和成本型时，如何建立评价矩阵？17.怎样理解评价指标的权重，确定权重有哪些常用方法？18.何谓评价矩阵与权向量的模糊合成，常用的合成算子有哪些，各有什么特点？19.如何理解模糊综合评价向量，为什么要对其进行分析处理，如何分析处理？20.模糊综合评价法的缺陷。21.模糊综合评价法建模实例。22.模糊综合评价法通用程序的编制及软件的使用。23.灰色关联分析法、层次分析法及模糊综合评价法的异同点,在实际中如何恰当地选用上述方法？24.AHP与灰色关联、模糊评价的集成。现实世界中的许多现象及其相互之间的关系都是模糊的，模糊数学正是利用模糊集及其运算研究、处理模糊现象的数学分支学科。近年来的不少数学建模问题都涉及到大数据量的复杂问题，这类问题往往可以用模糊数学方法处理。本讲主要介绍模糊集概念、模糊模式识别、模糊聚类和模糊综合评价。一、模糊集的相关概念1.模糊集现实中的许多现象及关系比较模糊。如高与矮，长与短，大与小，多与少，穷与富，好与差，年轻与年老等。为了研究上述模糊现象，美国控制论专家扎德1965年引入了模糊集合的概念。定义设给定论域U，所谓U上的一个模糊子集A是指对于任意的，都能确xU定一个正数，用其表示x属于A的程度。映射称为A的隶属函数，称为x对A的隶属度。例1从下列30条线段中选出长线段。[0,1]AxUxAx1234282930…………[0,1]Ax解设xi表示第i(i=1,2,…,30)条线段，则论域U={x1,x2,…,x30}。若A为“长线段”的集合，则线段xi作为集A的成员资格，就是xi对A的隶属度。下面建立A的一种隶属函数。因为线段越长，属于A的程度越大,所以线段的长短可作为A的隶属度。从而,令A(x1)=1,A(x30)=0，作直线10030130iAxi从而得第i条线段xi属于“长线段”集A的隶属函数例2在标志年龄(0～100)的数轴上，标出“年老”、“年轻”区间。解取论域U=[0,100]，集合A和B分别表示“年老”和“年轻”，它们的隶属函数为130,1,2,,3029iAxii12120,050,501,50100.51,025,251,25100.5xAxxxxBxxx2.模糊集的表示方法若论域U={x1,x2,…,xn}为有限集，模糊集A的隶属函数为，则A的表示形式有(1)向量表示法(2)Zadeh记号法Ax12,AAAnAxxx，，1122+AAAnnAxxxxxx+若论域U为无限集，则A可表示为例如，例1中的模糊集A可表示为例2中的模糊集A,B可分别表示为AUAxx282711,,,,,0292929A120505010012025251005001525115xxxxxAxxxBxx3.模糊集的运算由于模糊集中没有元素和集合间的绝对隶属关系，所以模糊集的运算是通过隶属函数完成的。设F集A,B的隶属函数为，则A与B的常用运算有(1)包含：(2)相等：(3)并：,ABxxABABxxABABxxCABCABxxx(4)交：(5)余(补)：其中，分别表示取大，小运算。(6)内积：(7)外积：模糊集的运算满足交换律、结合律、分配律、摩根律，但不满足互补律。CABCABxxx1CCAAAxx,xUABAxBxxUABAxBx4.隶属函数的确定由模糊集的概念可知，模糊数学的基本思想是隶属程度，所以应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。下面介绍几种常用的确定隶属度的方法：(1)模糊统计法对论域U，选定，然后考虑U的一个边界可变的模糊子集A，让不同观点的人判断x0是否属于A，则x0的隶属度为其中，n为试验总次数，N(A)为x0属于A的次数。在实际中，可取。上述方法与概率统计中以频率近似概0xU0limAnNAxn0ANAxn率类似，但两者其实有本质的不同。(2)指派法模糊集A的隶属函数其实即为一种模糊分布。所谓指派法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据相关数据确定分布中的参数。下表中列出了常用的模糊分布及其适用类型：Ax偏小型中间型偏大型矩形分布1,()0,xaxAxa1,()0,axbxAxaxb或1,()0,xaxAxa正态分布1,()2(),xaxxaAexa2()()xaxAe0,()2()1,xaxxaAexak次抛物型分布(k0)1,(),0,xakbxxaxbAbaxb,1,(),0,,kxaaxbbabxcxAkdxcxddcxaxd0,(),1,xakxaxaxbAbaxb型分布(k0)1,()(),xaxAkxaexa(),()1,(),kxaexaxaxbAkxbexb0,()()1,xaxAkxaexaCauchy型分布1,1(),1()xaxAxaxa0,01()1()0,0xAxa且为偶数0,1(),1()xaxAxaxa0,0偏小型一般适用于描述“小”、“少”、“浅”、“淡”等偏向小的程度的模糊现象；偏大型正好与偏小型相反；而中间型一般适用于描述处于中间状态的模糊现象。用Matlab模糊逻辑工具箱可以很方便地生成某些类型的隶属函数。如gbellmf、gaussmf、sigmf等。(3)函数变换法由于实际问题中的数据具有不同的属性和题纲，因此建立隶属函数可以根据模糊集的实际意义，通过函数变换将原始数据压缩到[0,1]之间。设原始数据为x=(x1,x2,…,xn),常用的变换公式有min,1,2,,maxmin,0,1,2,,maxmin,0,1,2,,iiiiiiiixxyinxxxyxinxxyxinx二、模糊模式识别所谓模式识别，就是指把要识别的对象通过与已知模式比较，确定它与哪个模式相近或类同的过程。由于许多客观事物的特征具有模糊性,所以人们让机器模拟人的思维方法，对模糊的客观事物进行识别和分类。如天气预报、自动分拣、卫星侦察、车牌识别等。模式识别通常包括两种情况：特定个体对若干模糊集的归类识别；特定模糊集对若干模糊集的归类识别。模糊模式识别方法基于模糊度量和模糊识别原则进行模式识别。模糊模式识别中采用的度量是模糊集的贴近度；常用的识别原则有最大隶属度原则和择近原则。1.模糊集的贴近度贴近度与距离相反，是反映两个模糊集接近程度的一种度量。常用的贴近度有(1)海明贴近度(2)欧几里得贴近度11,1nHAiBiiNABxxn211,1nEAiBiiNABxxn(3)最大(小)贴近度——格贴近度通常，很难比较各种贴近度的优劣。在实际中需要根据问题的性质和特点选择适当的贴近度。11,nAiBiiMnAiBiixxNABxx2.模糊识别准则与步骤通常采用最大隶属原则和择近原则进行模糊识别。(1)最大隶属原则——个体识别设论域U上的模糊子集A的隶属函数为。对U中待考察对象x1,x2,…,xn，若存在xk，使得则应使xk优先属于A。1maxAkAiinxxAx设A1,A2,…,An为论域U上的n个模糊子集，隶属函数分别为。对，若存在Ak，使得则应使x0优先属于Ak。(见例1)(2)择近原则——模糊集识别设A1,A2,…,An为论域U上的n个模糊子集，被识别对象B也是U上的模糊子集。001maxkiAAinxx1,,nAAxx0xU若存在Ak，使得则认为B优先与Ak同类。(见例2)对模糊识别问题，首先要建立模糊集的隶属函数，然后计算相关贴近度，最后根据最大隶属原则或择近原则进行模糊识别。1,max,kiinNABNAB3.模糊识别综合举例例1下表为湖泊水质评价标准。现测得杭州西湖、武汉东湖、青海湖、巢湖、滇池总磷的含量分别为130,105,20,30,25，请使用模糊识别方法判别这些湖泊所属级别。评价指标极贫营养贫营养中营养富营养极富营养总磷1423110660耗氧量0.090.361.87.127.1透明度37122.40.550.17总氮0.020.060.311.24.6解本题的结论是显然的。设A,B,C,D,E分别表示总磷属于从极贫营养到极富营养各级别，其隶属函数为11,4,14,30,4.Axxxxx，114,323,423,190,.Bxxxxx，其他4423,19110,23110,870,.Cxxxxx，其他2323110,87660,110660,5500,.Dxxxxx，其他经计算，110110660,5501,660,0,.Exxxx，其他1300,1300,1300,1300.964,1300.036;1050,1050,1050.057,1050.943,1050;200,200.158,200.842,200,200;300,300,300.92,300.08,300;ABCDEABCDEABCDEABCDE根据最大隶属原则，就总磷而言，杭州西湖和武汉东湖属富营养，青海湖、巢湖、滇池属中营养。250,250,250.977,250.023,250.ABCDE例2评价茶叶的因素集U={条索,色泽,净度,汤色,香气,滋味}。茶叶五种等级的模糊集为I=(0.5,0.4,0.3,0.6,0.5,0.4),II=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2,0.2),III=(0.2,0.2,0.2,0.1,0.1,0.2),IV=(0,0.1,0.2,0.1,0.1,0.1),V=(0,0.1,0.1,0.1,0.1)。现有一种待识别的茶叶A=(0.4,0.2,0.1,0.