第5章。dxg.

自动控制原理——第5章频域分析法§专业基础课之一§邓晓刚信息与控制工程学院自动化系第5章频域分析法5-1频率特性的基本概念5-2典型环节的频率特性5-3开环幅相频率特性分析5-4奈奎斯特判据5-5稳定裕度5-6闭环系统频率特性分析研究背景时域分析t、复域分析s、频域分析w频域分析法应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成不同频率正弦信号的响应反映了系统性能，根据频率特性分析系统的性能特点(1)具有明确的物理意义，可以用实验方法获得，对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义(2)由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。(3)频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。§5-1频率特性的基本概念一、频率特性的定义1、频率响应:线性系统对正弦输入信号的稳态响应例：RC电路如图所示，11)(TssGRCT()siniutAtw施加正弦输入()?out则输出22sin()iiAuAtUss施加正弦输入()1()1oiUsUsTs2211()()11oiAUsUsTsTssww传递函数输出2222()sin()11tToATAutetarctgTTT假设初始状态为零，由拉氏反变换求方程的解指数衰减项稳定的正弦输出:频率响应700.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345线性系统的频率响应：siniuAtwt22()sin()1oAuttarctgTT一个稳定的线性定常系统，如果对其输入一个正弦信号，系统的稳态输出(稳态响应)也是同一频率的正弦信号，只是在幅值和相位上发生了变化。11)(TssG8ttuisin)((1)输入为相对输入，输出有相位差，幅度不同9ttui2sin)((2)输入为输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变10ttui3sin)((3)输入为输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定2.频率特性输入：xtXtxwsin)(yttYtywsin)(稳态输出：()()yxYAXww频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输出的稳态分量与输入的复数比。幅频特性相频特性频率特性表达式：幅频特性；相频特性)()(wwjGA)()(wwjG---实频特性；---虚频特性)(wP)(wQ复数式：)()()(极坐标式：)()()()()(wAjGjGjG指数式：)()()()()(w)(w)(wA)(wjG)(wP)(wQj)(sin)()()(cos)()(wwwAQAP)()()()()()(122各表达式之间的关系：频率特性本质上就是一种数学模型，那么它与时域和复域数学模型之间什么关系呢？二、频率特性与传递函数的关系()()()()jsjGsGjAe()YAXw()()sjGjGsww()yxw频率特性与传递函数的关系为：幅频特性相频特性aG(jw)的相角aG(jw)的幅值线性系统微分方程频率特性传递函数jw=p时域、复域和频域数学模型之间的关系三频率特性的几种图示方法1、幅相频率特性曲线——奈奎斯特（Nyquist）曲线，或极坐标图2、对数频率特性曲线——伯德（Bode）图3、对数幅相特性曲线——尼柯尔斯（Nichols）曲线1、幅相频率特性曲线（Nyquist曲线）:w时，在复平面上的运动轨迹)(wjG简称幅相曲线或极坐标图幅频特性、实频特性为ω的偶函数相频特性、虚频特性为ω的奇函数幅相曲线关于实轴对称一般只做时的变化曲线0:w)()()()()(wwwwwjQPeAjGj2211)(wwTAwwTtg1)(：0w1)(wA0)(w：T1w707.0)(wA45)(w：w0)(wA90)(w例：绘制RC电路的幅相频率特性曲线1()1GjjTwwj01()Aw()Gjw0ww)()(1111)(22幅频特性相频特性2、对数频率特性曲线伯德（Bode）曲线坐标系：半对数坐标系对数相频特性曲线对数幅频特性曲线横坐标按ω的对数线性分度，标以ωwlg1210ww110lglglglg1212ω十倍频或十倍频程，用符号dec表示1w2w)(lg20)(wwAL均匀分度，单位分贝，符号dB纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度纵坐标对数幅频特性曲线()w横坐标按照w的对数wlg进行线性刻度；对数相频特性曲线3、对数幅相特性曲线尼柯尔斯（Nichols）曲线L(w)[dB]f(w)将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。常用频率特性曲线比较名称幅相频率特性曲线对数频率特性曲线对数幅相特性曲线常用名奈奎斯特图伯德图尼柯尔斯图坐标系极坐标半对数坐标对数幅相坐标sjjjijjjiesTsTsTssssKsG)12()1()12()1()(2222Ks1s11Ts)12(22ss)1(s12122TssTse比例环节延迟环节微分环节一阶微分环节二阶微分环节惯性环节振荡环节积分环节§5-2典型环节的频率特性一、比例环节传递函数：ksG)(频率特性：kjGw)(1、幅相频率特性kAw)(0)(wkPw)(0)(wQ2、对数频率特性kALlg20)(lg20)(ww0)(w二、积分环节传递函数：ssG1)(www11)(jjjG频率特性：1、幅相频率特性ww1)(A90)(w0)(wPww1)(Q2、对数频率特性wwwlg201lg20)(L90)(w三、微分环节传递函数：ssG)(wwjjG)(频率特性：1、幅相频率特性ww)(A90)(w0)(wPww)(Q2、对数频率特性wwlg20)(L90)(w四、惯性环节传递函数：11)(TssG频率特性：221111)(wwwwTjTjTjG1、幅相频率特性2211)(wwTAwwTtg1)(2211)(wwTP221)(wwwTTQ惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下：wwwTPQ)()(2211PQPPQP22412122QP2、对数频率特性22221lg2011lg20)(wwwTTLwwTtg1)(采用分段直线（渐近线）近似：：即11wwTT0)(wL——低频渐近线：即11wwTTwwwlg20lg20lg20)(TTL——高频渐近线最大误差：dBL32lg20)(wBodeDiagramofG(jw)=1/(jwT+1)T=0.1Frequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-25-20-15-10-50100101102-90-450)()(Tarctgww][log20dBTw)(0dB最大误差10-1100101-3-2.5-2-1.5-1-0.50一阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差五、一阶微分环节传递函数：ssG1)(wwjjG1)(频率特性：1、幅相频率特性221)(wwAww1)(tg1)(wPww)(Q2、对数频率特性221lg20)(wwLww1)(tg低频渐近线：：即11ww0)(wL：即11wwwwwlg20lg20lg20)(L高频渐近线：BodeDiagramofG(jw)=jwT+1)T=0.1Frequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)051015202510010110204590)()(Tarctgww)(log20dBTw)(0dB六、振荡环节传递函数：222222121)(nnnssTssTsGwwwTn1w频率特性：wwwwwwwwnnnjTjTjG2211)(222221、幅相频率特性2222222211211)(wwwwwwwnnTTA212211212)(wwwwwwwnntgTTtg：0w1)(wA0)(w：Tn1www21)(A90)(w：w0)(wA180)(w谐振峰值：值较小时幅频特性的极大值。令0)(wwddA得：2211wTr——谐振频率2202121)(wrrAM——谐振峰值2212121wwrnrAonnA90)(21)(ww0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1AB2222)(nnnsssGwww振荡环节2、对数频率特性222222221lg2021lg20)(wwwwwwwnnTTL：Tn1ww低频段0)(wL高频段：Tn1wwwwwlg40lg40lg20)(22TTL221wnw=r振荡环节0dBL(ω)dBωwn21lg20wr2121lg20(0＜＜0.707)[-40](wn)=-90o2nn22nS2S(s)Gwww3810-1100101-6-4-202468101214dB1.02.03.05.07.00.1七二阶微分环节2)()(21)(nnsssGww2)()(21)(nnjjjGw2222)2()1()(nnAww2112)(nntgw)(2)(1)(2nnjjGww2)(1)(nP)(2)(nQwww2)(rAwIm[G(jw)]Re[G(jw)]1onnA90)(2)(ww221221wwrnrA二阶微分环节)10,0(12)(22wwwnnnsssG例如，二阶振荡环节的倒数环节是)(1)(12sGsG)()(1lg20)()()(11212wLAL互为倒数的环节互为倒数的两个环节，对数相频和对数幅频特性相反10-1100101-10010203040频率rad/sec幅度dB二阶微分环节的幅频特性40db/decζ=0.2ζ=0.4ζ=0.810-1100101-40-30-20-10010频率rad/sec幅度dB震荡环节的幅频-40db/decζ=0.2ζ=0.4ζ=0.8交接频率二阶微分幅频二阶振荡幅频)()(12wwLL10-1100101-150-100-500频率rad/sec角度震荡环节的相频特性ζ=0.2ζ=0.4ζ=0.810-1100101050100150频率rad/sec角度二阶微分环节的相频特性ζ=0.2ζ=0.4ζ=0.8二阶微分相频二阶振荡相频)()(12ww八、延迟环节传递函数：sesG)(wwjejG)(频率特性：1、幅相频率特性1)(wAww)(2、对数频率特性0)(wLw