第5章插值法1

第5章插值法1基础教学部数学教研室彭晓华立体化教学资源系列——数值分析xfyniyxii,,1,0,1n在工程地质测量、机械设计及其制造、信号分析等实践中，经常会遇到曲线的描绘或函数的确定问题，平面上的曲线方程可写成如下的形式(1)一般，人们通过测量可以得到曲线上个点，（2）在科学研究和计算中，往往会遇到复杂函数的分析与计算，有时用简单的函数来代替，可能会去掉不必要的麻烦而使问题比较容易地得到解决。（２）（１）人们希望充分利用这些数据确定一条“简单的”且与未知曲线“最接近”的曲线；由此可以确定曲线上其他点的函数值；１、问题的提出已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温举例这就是本章要讨论的“插值问题”。函数插值也就是对函数的离散数据建立简单的数学模型。定义：当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时,在区间[a,b]上一系列互异节点x0,x1,…,xn处测得函数值y0=f(x0),…,yn=f(xn),由此构造一个简单易算的近似函数g(x)f(x),满足条件g(xi)=f(xi)(i=0,…n)(*)这个问题称为“插值问题”插值问题的定义这里的g(x)称为f(x)的插值函数。节点x0…xn称为插值节点,f(x)称为被插函数，条件(*)称为插值条件,区间[a,b]称为插值区间图5-3插值函数几何示意图用多项式作插值函数的插值称为多项式插值本章主要讨论的内容)(xp当函数()gx为多项式（Polynomial）时称为插值多项式，记为函数多项式插值要研究的基本问题有：(1)插值多项式的存在性和唯一性；（2）插值多项式的构造方法；（3）截断误差、收敛性、数值计算的稳定性等.1n),,1,0()(niyxpiinnnnxcxcxccxp2210)(个互异节点条件的多项式插值基本定理【定理1】满足是存在且唯一的.（5.2）niyxpiin,,1,0,)(njcj,,1,0,nnnnnnnnyyycccxxxxxxxxx1010212110200111nccc,,,101n0)(jinjixxDjixx0,Dnccc,,,10证明设所求多项式（5.2）使得由（5.3）式确定待定系数将(5.2)式代入(5.3)式，并将其写成矩阵形式.这是关于的行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式，其值为.当（节点互异）时，这说明方程组（5.4）存在唯一解.（5.3）（5.4）阶线性代数方程组，系数证毕注：通过解上述方程组(3)求得插值多项式Pn(x)的方法并不可取.这是因为当n较大时解方程组的计算量较大,而且方程组系数矩阵的条件数一般较大(可能是病态方程组),当阶数n越高时,病态越重.为此我们必须从其它途径来求Pn(x)：不通过求解方程组而获得插值多项式不同的基函数的选取导致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值基本思想:在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数0(x),1(x),…,n(x),使Pn(x)=a00(x)+a11(x)+…+ann(x)n=1可见L1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线.求n次多项式使得01()nnnLxaaxax(),0,1,,niiLxyin已知x0,x1;y0,y1，求101()Lxaax100111(),()LxyLxy使得l0(x)l1(x)10100101100100110()()()iiiyyLxyxxxxxxxxyylxyxxxx5.2拉格朗日插值这种插值称为线性插值,其中l0(x),l1(x)称为线性插值的基函数,它们是由插值节点x0,x1唯一确定的,且满足:1,()0,ijijlxijn=2L2(x)是过(x0,y0),(x1,y1)和(x2,y2)三点的次数不超过2次的多项式,几何上看即为抛物线.构造L2(x)如下,令:2120102()()()()()()()LxAxxxxBxxxxCxxxx代入200(),Lxy可得00102()()yAxxxx0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxxl2(x)l0(x)l1(x)同理可得2120211012,()()()()yyBCxxxxxxxx于是有这种插值称为二次插值,或抛物插值.可以验证L2(x)满足插值条件:L2(xi)=yi(i=0,1,2).其中l0(x),l1(x)和l2(x)称为二次插值的基函数,它们是由插值节点x0,x1,x2唯一确定的,且满足1,()0,ijijlxij2001122()()()()Lxlxylxylxy二次插值函数：推广到一般情形,则有一般的Lagrange插值公式.一、插值基函数Def:若n次多项式在n+1个插值节点上满足插值条件()(0,1,,)klxkn01nxxx1(),(,0,1,,)0kiikiklxiknik则称这n+1个n次多项式为插值节点上的n次插值基函数.01(),(),,()nlxlxlx下建立其具体表达式：由i≠k时,知为的零点,故设()0kilx0111,,,,,,kknxxxxx()klx0111()()()()()()kkkknlxAxxxxxxxxxx0111(0,1,,)()()()()kkkkkkknAknxxxxxxxx由得()1kklx011011()()()()()(0,1,,)()()()()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxknxxxxxxxx因此与节点有关，而与f无关基函数的性质Prop1:基函数为由插值节点唯一确定的n次函数.()(0,1,,)klxkn01,,,nxxxProp2:基函数的个数与插值节点个数相同.可以证明函数组l0(x)，l1(x)，…,ln(x)在插值区间[a,b]上线性无关,所以这n+1个函数可作为Pn的一组基函数,称为Lagrange插值基函数。00110()()()()()nnnnkkkLxlxylxylxylxy令：二、Lagrange插值多项式则Ln(x)是次数不超过n的多项式,满足插值条件Ln(xi)=yi,称其为Lagrange插值多项式,或Lagrange插值公式。注:(1)若被插函数,则得插值基函数的一个重要性质(2)Lagrang插值只要求节点互异,而与大小次序无关。1fx0()1nkklx方便记法：记：1010()()()()()nnniixxxxxxxxx则10110()()()()()()nnkkkkkkknkiiikxxxxxxxxxxx因此可写成如下形式()nLx101()()()()nnnkkknkxLxyxxx例1：已知分别用线性插值和二次插值求的近似值。10010,12111,1441211511121100()1011100121121100115121115100115(115)101110.71429100121121100xxLxL(2)二次插值22(121)(144)(100)(144)()1011(100121)(100144)(121100)(121144)(100)(121)12(144100)(144121)115(115)10.7228xxxxLxxxL注：这里线性插值只选取两个相近点。解:(1)线性插值xysin,233sin,224sin,216sin210yyy245sin2454~660x41x例2已知的函数值见表5-2，求解1）用线性插值计算，因为在之间，故取两点，，则有线性插值的近似值.11264(),226446xxLx0.603553)245(245sin1L23)43)(63()4)(6(22)34)(64()3)(6(21)36)(46()3)(4()(2xxxxxxxL255sin()0.6095772424L)245sin(0.0052)245(245sin1L255sin()0.000822424L2）用过三点的抛物插值计算，有所以【注】因为的近似值为0.6087614，，所以抛物插值比线性插值精确.],[ba)(xLn)(xf)()()(xLxfxRnn5.2.3插值余项与误差估计上用近似，则其截断误差为，也称为插值多项式的余项。若在关于插值余项估计有下面定理.)(xfy],[ban)()(xfn)()1(xfn),(ba)(xLn)(xfnxxx,,,10n],[baxx],[bax)()!1()()()()()1(xwnfxLxfxRxnnnnjjxxxw0)()(在上的阶导数连续，在内存在,是在处的Lagrange插值多项式，则对中每一个点，存在的点使其中【定理2】设函数次，（5.8）依赖于x,,,1,0,nixxiixnixRin,,1,0,0)()()()())()(()(10xwxkxxxxxxxkxRnn)(xkx)(xk)()()()()(twxktLtftnxxxxtn,,,,10)(t2n1[,]nCab证明若是节点，公式（5.8）两边均等于零，结论成立.由于在处于是有其中为与有关的待定函数.，作辅助函数显然都是的零点（共个），且.设为了确定)(t2n)(t)(tn),(ba)()1(tn),(bax0)!1()()()()1()1(nxkfxnxn)()!1()()()()()()()1(xwnfxwxkxLxfxRxnnn由Rolle定理，在这有一个零点.再对应用Rolle定理，则至少有个零点且都在内.依此类推，在内至少有一个零点，使即有个点的每两点间至少n1()()(1)!nnMRxwxn(1)1(,)max()nnxabMfxnx、1nMn()fxn(1)()0nfx()fxn()()nLxfx()1fx0()1nkklx由插值余项（5.8），我们有下面结论.次插值的误差估计为：其中（2）次插值的误差除与、有关外，还与节点有关；是次数不超过的多项式时，由于，因此，的次插值多项式就是它（4）当时，有.（1）；，的位置、个数（3）当自身，即；)245(1L)245(2Lxxfsin)()sin()(xxf)cos()(xxf))((!2)(1021xxxxMxR)(max),(210xfMxxx]4,6[x0.0061)4245)(6245(!24sin)245(1R例2估计例1中与的误差.，有，1）线性插值的误差估计.因为其中，，所以.解由，，))()((!3)(21032xxxxxxMxR)(max),(320xfMxxx]3,6[x25cos6555()()()()243!2462442430.00097R2）抛物插值误差估