第5章图像去噪

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第五章图像去噪在本章,我们考虑(1.1)的二维相似ydxdyxfyyxxkyxg,,),(1010(5.1)在图像重构中,从g的观测估计f被认为是二维图像去噪问题[64]。在第5.1中提出了成像的应用。因为积分算子具有卷积形式,(5.1)也称为二维解耦问题。(5.1)中的核函数k尤其是光滑的,因此从例2.13,对应的积分算子是紧的。因此由定理2.14,这个去噪问题是不适定的,并且必须应用某种正则化形式来从噪声数据精确地重够f。由于从方程(5.1)产生的离散系统可能具有非常多的未知量,数值实现是复杂的,这个复杂性可以通过利用卷积格式来缓解,特别地,(5.1)的某种离散产生了具有Toeplitz块结构的线性系统。这样的系统可以使用带有基于快速Fourier变换)(FFT的预处理条件的共轭梯度法有效的求解。计算方法在第5.2节与第5.3节中详细的描述。5.1图像去噪的数学模型扭曲图像的非常一般的模型[7]是ydxdyxfyyxxkyxgR,,,,),(2(5.2)在光学中,f称为光源或者对象。核函数k称为点扩展函数PSF,并且g称为(扭曲的)连续图像。方程5.2可以用来模拟光从源出发,随着它传播通过诸如大气层的性质时的衍射。[99]它也能模拟由于诸如望眼镜与显微镜的光学设备的不完善而产生的扭曲。其他的应用见[7].连续图像g表示能量密度,具有每个单位面积的能量单位数,或者等价地每个单位面积的光子数。这个图像通常使用称为称为CCD相机的设备来记录,这包括称为像素的不相交的矩阵列ij,10xni,10ynj,光子落在其上,并且被计数,落在单个阵列元素上的能量就给定为dxdyyxggijij,(5.3)由CCD阵列的第ij个像素记录的数据的统计模型以第4章的符号给定为),0()(~2NormalgPoissonDijij(5.4)Possion分量模拟了光子数,而附加的Gauss分布项相当于记录的光电信号中的背景噪声[99]。我们把随机变量ijD的实现记为ijd。分量为ijd的yxnn阵列d称为(噪声的,扭曲的)离散图像,对于每个指标对),(ji,ijd是具有零均值与方差2的Gauss随机变量的实现加上具有零值与方差的Possion随机变量ijg的实现;见例4.13与例4.14。这些随机变量被假设为互相独立,并且与对应其它像素的随机变量无关。完全离散的模型可以通过把(5.2)与(5.3)来得到。假设每个ij具有面积yx,并且令(jiyx,)表示中点。那么quadijvuvnunvjuiijyxyxfyyxxkgxy),(),,,(1010(5.5)其中quadij表示求积误差。综合(5.4)与(5.5),1010,,,,xynnvijvvjiijftd(5.6)其中现在),(,vvyxff,项ji,综合了各种随机误差实现与求积误差,并且yxyyxxktiuivji),,,(2,,,。我们把矩阵t当作离散的PSF。扭曲过程有时被假定为在空间变换下是不变的。这意味着PSF可能表示二变量函数,而不是四个变量,),(),,,(yyxxkyyxxk(5.7)并且方程(52)简化为(5.1)。这个表达式极大地简化了计算。因为(5.1)中的积分然后具有卷积形式,给定源),(yxff与PSF),(yxkk,人们可以原则上使用卷积定理计算连续的图像gkFkFFg1ˆ(5.8)这里dR上(对于二维成像有2d)定义的(可能复值的)函数f的连续Fourier变换给定为dxexfRwfFTxid2ˆ)()(ˆ,dRw(5.9)其中1ˆdefi。连续Fourier逆变换给定为deugdxgFTxiR2ˆ1)()}({ˆdRx(5.10)人们可以从(5.8)正式得到Fourier反演公式,}}{ˆ}{ˆ{ˆ1kFgFFf(5.11)如果}{ˆkF取零值,这个公式不成立,如果它取小的非零值,这个重构的f关于数据g中的扰动是不稳定的。这些情况对应于适定性定义2.7中的条件(ii)与(iii)的违背。离散计算也由表达式(5.7)极大地简化。在方程(5.6)中,离散的PSF可以表达为二维阵列,而不是四维阵列,,,,,,vjivjitt1,0,1,0yxnvjni(5.12)方程(5.6)就简化为:ijvnnvvjiijftdxy,1010,(5.13)其中:yxyjxiktij),((5.14)(5.13)中的离散卷积乘积定义了一个线性算子。连续Fourier变换的离散形式可以用来有效的计算出正则解。细节在5.2中给出。5.1.1二维检验问题二维检验问题出现在大气光学中,在[99]中详细描述的应用。数据一使用地基望远镜观测的位于地球轨道的人造卫星的模拟图像按照模型(5.13)生成。在这个模型中,连续的PSF取形式2ˆ1}{ˆiAeFk(5.15)这里A称为孔径函数,并且为相位。这个相位表示从点源在无穷远处激发的平面波前的扭曲,由于传播通过具有改变的衍射率的光学的材料薄层(在这种情况下是大气层)。孔径函数表示光被采集的平面区域。对于大的反射望远镜,孔径函数尤其是类似物的指示函数。相位与孔径函数的支撑可以在图5.1中的上图中看到。中图说明了对应的PSF。图5.2说明了模拟的光源,伴随着对应的扭曲的噪声图像。这通过把PSF与源卷积化,并且把噪声添加到得到的扭曲图像来得到。图5.1中的下图说明了PSF的频谱2}{ˆkF。几种现象可以从频谱看出。首先,它的支撑(即它的非零区域)是圆盘。由于这个原因,PSF称为有限带宽的,或者有限衍射的。更多了解见练习5.3.圆盘的外部对应于(5.1)中的卷积积分算子的零空间,并且图像去噪问题违背了定义2.7中的适定性的唯一性条件(ii)。在这个算子零空间中的函数是高度振荡的。因而关于源(真实数据)的高频信息。没有出现在图像数据中。其次,在圆盘的边缘附近,频谱取得非常小,但是非零值。这暗示了定义2.7的稳定性条件(iii)不成立。[图5.1大气层图像扭曲算子,上图是孔径函数A与相位的分段分量乘积A的灰度图;图中说明了对应的PSF,2ˆ1}{ˆiAeFk。下图说明了PSF的频谱的对数形式量化的灰度图。][图5.2大气层的图像数据。上图为源或者对象的灰度图。下图说明了扭曲的噪声数据的灰度图。]5.2Toeplitz系统的计算方法带有块状Toeplitz结构的线性系统从方程(5.13)中的离散卷积乘积出现。我们接下来讨论有效的求解这样的系统的计算技巧。符号nC表示具有n个复分量的向量集合。这里基因向量nCf的分量指标将从0到1n改变,即10,,nfff。nC为Euclide内积与诱导范数下的Hilbert空间:10210,,njinjiiffgfgf(5.16)给定Cizˆ,izˆ表示复共轭,并且22z表示模。我们以yxnnC表示复值的yxnn阵列集合。基因阵列yxnnCf将指示为ijf,,1,,0xni1,,0ynj。5.2.1离散的Fourier交换与卷积接下来是连续的Fourier变换(5.9)的离散类似物。[定义5.1]离散的Fourier变换DFT是由,1}]{ˆ[2ˆ10njiinniqefnfF1,,1,0ni(5.17)给出的nC上的映射。如同在(5.9)中,1ˆi,我们可以把DFT表示为矩阵向量的乘积。FffF}{ˆ,其中nnCF为Fourier矩阵。它具有分量neFnijiij2ˆ,1,0nji(5.18)离散Fourier逆变换给定为inijinjiigFegngF*2ˆ1011}}{ˆ{,1,0nji(5.19)这从Fourier矩阵F是酉矩阵(见习题5.5)的事实得到。即IFF*这里上标*表示共轭转置。[评注5.2]我们的DFT与它的逆的定义稍微不标准。典型的,DFT定义而没有(5.17)中的因子n1。这与在第5.2.2节中给出的函数fft与ifft一致。我们选取我们定义,以便DFT与它的逆都保持了Euclide内积与范数(见习题5.6)。[定义5.3]向量1101,,,,,nnttttt与nCf的离散卷积给定为,*10jnjjiiftft1,,0ni(5.20)[定义5.4]离散向量t称为n周期的,如果jitt,当njimod(5.21)给定nnCttt11,,,由规模为12n的t的周期存在性。我们意味着周期向量n),,,,,(1101extnextextextnexttttctt满足iittexp,1,,0ni[定义5.5]我们对于向量的分量形式乘法与分量形式除法采用下面的符号。对于nCgf,,0,,*iiiiiiiggfgfgfgf(5.22)这个符号以明显的形式推广到二维阵列。下一个命题把离散的Fourier变换与离散的卷积联系了起来。[命题5.6]如果ncft,,并且extt是t的规模为12n的周期推广,那么fFtFFftnextˆˆˆ11(5.23)[证明]令)2ˆexp(niw。那么由(5.18),ijijwFn。因此,tFnfFnwtwfwefwtfwftftextFnlkjnjlextlnjjkjjnjlkjlextlnjjikniextjinjjiknijnjextjikˆˆ)()()(ˆ1101)(1010101010最后的等式从extt与jkw的n一周期性得到。命题5.6可以推广到计算二维的离散卷积。[定义5.7]二维DFT是yxnnC上的映射,给定为)(2100,1ˆyxxynjjniiininjjiyxijefnnfF(5.24)10,10yxnjni。二维;离散Fourier逆变换通过左方程(5.24)中把一iˆ替换为iˆ得到。[定义5.8]具有分量ijt,11,11yyxnjnnin的阵列t与阵列yxnnCf的(二维)离散卷积给定为10,10,,1010,jxxynjnijininjjjiiijftft(5.25)[定义5.9]二维阵列t称为),(yxnn一周期的,如果当xniimodjijitt,,当ynjjmod,令yxnnCt。由t的规模为)12()12(yxnn的周期延拓,我们意味着分量为ijextijtt,当11,11yyxnjnnin的),(yxnn一周期的阵列extt,使得ijexttt,当10,10yxnjni。[命题5.10]如果,并且exte为t的规模为)12()12(yxnn的周期延拓,那么fFtFFftnnextyxˆˆˆ11(5.26)5.5.5快速Fourier变换)(FFT算法如果一维DFT(5.17)使用约定的矩阵一向量乘积实现,那么它的计算量将是)(2nO的,其中n为要被变换的向量的长度。FFT算法把这个计算简化到)log(nnO。最先由Cooley与Turkey发现[26],这种算法被用于除了图像处理的大范围应用中,遍及时间序列分析到数值求解微分方程。为了得到FFT算法,首先定义FnnFˆ,其中F为nxn的Fourier矩阵(见5.18))。Fˆ的分量为ijn,满足nine2在接下来的计算中,我们假设n为偶数,并且我们令2nm并且)2ˆexp(2mi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