第5章多元函数积分学及其应用

第5章多元函数积分学及其应用5.1二重积分5.1.1二重积分的概念1.引例设一立体,它的底是xOy面上的有界闭区域D,侧面是以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面,顶是二元非连续函数),(yxfz所表示的曲面,称该立体为曲顶柱体.求这一曲顶柱体的体积.考虑如何求曲顶柱体的体积V的问题,如果曲顶柱体的高度不变,即为平顶柱体时,它的体积=底面积×高,但曲面柱体的顶是曲面,即当点(x,y)在D上变动时,其高度),(yxfz是连续变化的,因此不能直接用上述方法求其体积.下面,我们采用与计算曲边梯形的面积相类似的方法来处理这个问题.第一步:由若干条曲线将闭区域D作任意的分割,分成n个小的闭区域,记为n21,，它们既表示小区域,也表示小区域的面积,如图5-1所示,以每个小区域的边界线为准线作母线平行于z轴的柱面,它们将大曲顶住体分割成n个小曲顶柱体.第二步:在每个小区域i上任取一点),(ii，以),(iif作为小曲顶柱体的高,其体积近似为),2,1(),(nifViiii第三步这些小体积近似值的累加等于大曲顶柱体体积的近似值,即V=ni1iΔViiniif),(1第四步:令λ表示n个小区域直径的最大值区域的直径（是指区域内任一两点间距离的最大值),当λ→0时,有iiniifV),(lim10从上例中抛开它的实际含义抽象出解决问题的思想方法得到如下二重积分的概念.2.二重积分的概念定义5-1设二元函数),(yxf是定义在有界闭区域D上的有界函数,将D任一分割成n个小区域),2,1(nii,i也表示该小闭区域的面积,在每个小闭区域上任取一点)2,1(),(niiii，作乘积iiif),(,将这些乘积取和iiniif),(1,令n个小闭区域直径的最大值λ→0,如果极限iiniif),(lim10存在,则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分,记作Ddyxf),(，即Ddyxf),(=iiniif),(lim10其中,),(yxf称为被积函数,称为面积元素,yx,称为积分变量,D称为积分区域.二重积分存在的充分条件:若),(yxf在积分区域D上连续,则二重积分一定存在.这时,我们也称),(yxf在积分区域D上可积.例如,曲顶柱体的体积为图51dyxf),(.3.二重积分的几何意义如果0),(yxf，则二重积分Ddyxf),(就是以),(yxfz所确定的曲面为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积,若0),(yxf，柱体就是在xoy面的下方，二重积分的绝对值仍表示柱体的体积.5.1.2二重积分的性质二重积分也有与定积分相类似的性质,现叙述如下(假设性质中所有二重积分都存在).性质5-1设,为常数,则dyxfdyxfdyxfyxfDDD),(),(),(),(.性质5-2若积分区域D被有限条曲线划分为若干区域，如D被分为1D和2D,则Ddyxf),(=1),(Ddyxf+2),(Ddyxf称这条性质为二重积分对于积分区域具有可加性.性质5-3若在积分区域D上,1),(yxf,是D的面积,则Ddyxf),(=Dd性质5-4(比较性质)若在积分区域D上,),(),(yxgyxf,则Ddyxf),(Ddyxg),(推论5-1：DDdyxfdyxf),(),(性质5-5(估值性质)若),(yxf在D上有最大值为M,最小值为m,则MdyxfmD),((为D的面积).性质5-6(二重积分中值定理)若),(yxf在有界闭区域D上连续,则在D上至少存在一点),(，使得Ddyxf),(=),(f(σ为D的面积)例5-1比较二重积分Ddyx2)(与Ddyx3)(的大小,其中D由圆2)1()2(22yx围成.解，直线1yx是圆周2)1()2(22yx在点)0,1(处的切线，如图5-2所示，显然，对于任何点Dyx,，都有1yx，从而有32)()(yxyx，于是由性质5-4,得Ddyx2)(Ddyx3)(.例5-2估计二重积分Ddyxxy)(的值,其中10,10),(yxyxD解如图5-3所示,在D上,10,10yx,所以20,10yxxy从而2)(0yxxyD的面积σ=1,于是,2)(0Ddyxxy即2)(0Ddyxxy.5.2二重积分的计算5.2.1直角坐标系下二重积分的计算1.积分区域的分类在直角坐标系下,二重积分Ddyxf),(的计算取决于D,具体地,D的类型分成三种,即x型区域,y型区域,杂合性区域.(1)x型区域如图5-4所示的D称为x型区域,D可表示为D:)()(21xyxbxa.例5-3直线1,xxy及x轴所围成的区域,它就是x型区域,可表示为D:xyx010，如图5-5所示.(2)y型区域如图5-6所示的D,称之为y型区域,D:)()(21yxydyc.例5-4，抛物线2xy,直线xy2及x轴所围成的区域就是y型区域,D:yxyy210如图5-6所示.(3)杂合型区域所谓杂合型,就是通过分割,将D分成若干个x型区域和y型区域就是杂合型.例5-5曲线xysin,xycos,直线2x及y轴所围成的区域就是杂合型,如图5-7所示.xyxxDcossin40:1,xyxxDsincos40:2图55图56以上就是D的三种类型,而各种类型是可以相互转化的,例如,例5-3中的D也可以表示为y型,即yxy010,例5-4中D也可以表示为杂合型区域,21010:xyxD,xyxD2021:2而D=D1∪D2.一般而言,各类型的转化,首先必须画出D的形状,以此图为依据,表示成x型和y型或杂合型.2.化二重积分为二次积分二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积,依此,可利用定积分来计算二重积分.设D为x型区域,即D:)()(21xyxbxa,在x轴上取一点)(bxax,过x点,作垂直于x轴的平面,截曲顶柱体得一曲边梯形,如图5-8阴影部分所示,显然,该曲边梯形的两条平行直线分别是)(1xy和)(2xy,曲边就是),(yxfz,因此,该曲边梯形的面积)()((21),()(xxdyyxfxA的函数,而bax,.再根据已知平行截面面积求体积的定积分应用,)(xA恰好是平行截面的截面积,因此,该曲顶柱面的体积是：badxxAV)(，所以Ddxdyyxf),(badxxA)(=baxxdxdyyxf)()((21),(显然,此处进行了二次定积分,故称此为二次定积分,以上的二次积分,是先y后x的二次积分,即二次积分是有序的,为了书写方便,先y后x的二次积分也可表示为:Ddxdyyxf),(baxxdxdyyxf)()((21),(=)()((21),(xxbadyyxfdx例5-6计算二重积分Ddxdyyx)12(,其中D为xyx010.解积分区域为x型,故可以写成Ddxdyyx)12(=xdyyxdx010)12(=61)2(102dxxx同样的道理,y型区域可化成先x后y的二次积分,而杂合型区域必须分成若干个x型或y型区域来计算.例5-7计算二重积分Dxydxdy，其中D:yxyy210.解原式=yyxydxdy210=1023)22521(dyyyy=247例5-8将Dxydxdy化为二次积分,其中1D:0,2122yyx.解将D分成三个区域,如图5-9所示：212012:xyxD222011:xyxD232021:xyxD所以,原式=22012),(ydyyxfdx+22011),(ydyyxfdx+22021),(ydyyxfdx3.改变积分次序改变积分次序就是将二次积分的次序交换.由积分区城的类型决定积分次序,故要改变积分次序,首先就要改变积分区域的类型,一般的步骤是画图→改变类型→改变积分次序.例5-9，改变积分xdyyxfdx010),(的次序.解，如图5-10，即0,1,0,xxyxy，D也可表示为:1,10xyy，∴原式=ydxyxfdy010),(例5-10，改变积分次序xxdyyxfdx2),(10.解：如图5-11，即0,1,,2xxxyxy，D也可表示为yxyy2,10，于是，原式=yydxyxfdy2),(10.例5-11，改变积分次序xxdyyxfdx510),(.解:画图,即0,1,5,xxxyxy.该区域不能直接改变为y型,可以先将D分割成21DD.yxyyD5,10:1，15,51:2xyyD因此,原式=1551510),(),(yyydxyxfdydxyxfdy5.2.2利用极坐标计算二重积分在计算二重积分时,有时利用极坐标替换sin,cosryrx比较方便.用为常数所画出的射线与r为常数的同心圆将区域D分割成若干块,出去靠近边界,drdrr2221)(21=drdrdrd，这里rdrd是的主要部分,当分割无细密时，rdrdd,于是,当),(yxf在有界闭区域D上连续时,有下面公式.Ddyxf),(=Drdrdrrf)sin,cos(一般来说，区域)(),(:2)(1rrrD,则Ddyxf),(=ddrrrfrr)()(21)sin,cos(例5-12求Ddxdyyx)94(22，4:22yxD。解:利用函数的奇偶性与积分域的对称性,有Ddxdyyx)94(22图511=DDdxdydxdyyx9)(2522=292520203drrd=56例5-13设a0,axyx22，求Ddyx)(22.解：Ddyx)(22=drrda20cos032=da2042cos42=4323a5.2.3二重积分的换元法上面得到的二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式,是二重积分换元法的一种特殊情形.在那里,我们把平面上同一个点),(r,既用直角坐标),(yx表示,又用极坐标),(r表示,它们间的关系为sincosryrx(5-1)也就是说,由(5-1)式联系的点),(yx和点),(r看成是同一个平面上的同一个点,只是采用不同的坐标罢了.现在,我们采用另一种观点来加以解释,把(5-1)式看成是从极坐标平面ro到直角坐标平面xoy的一种变换,即对于平面ro上的一点),(M,通过变换(5-1),变成xoy平面上的一点),(yxM.在两个平面各自限定的某个范围内,这种变换还是一对一的(即是一一映射).下面就采用这种观点来讨论二重积分换元法的一般情形.定理设),(yxf在xoy平面上的闭区域D上连续,若变换),(),,(:vuyyvuyxT,将uov平面上的闭区域D变为xoy平面上的D,且满足(1)),(),,(vuyvux在D上具有一阶连续偏导数;(2)在D上雅可比式0),(),(),(vuyxvuJ(3)变换DDT:是一对一的,则有Ddxdyyxf),(=DdudvvuJvuyvux),(