第5章弯曲应力.

NortheasternUniversityPAG14123纯弯曲纯弯曲时的正应力弯曲切应力及强度条件横力弯曲时的正应力5提高弯曲强度的措施6本章小结第五章弯曲应力NortheasternUniversityPAG2AFNPITρτFAyFSM内力应力构件变形形式FsM:切应力τ:正应力σ§5-1纯弯曲NortheasternUniversityPAG3梁弯曲变形时,横截面上剪力为零而弯矩为常量,这种弯曲叫做纯弯曲。梁弯曲变形时,横截面上即有弯矩又有剪力,这种弯曲叫做横力弯曲或剪切弯曲。AC段、DB段CD段lABFFFaaaF-++Fs(x)xFCDFs:切应力τM:正应力σM:正应力σ§5-1纯弯曲xM(x)纯弯曲NortheasternUniversityPAG4§5-2纯弯曲时的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力变形的分布规律观察变形提出假设应力的分布规律建立公式变形几何关系物理关系静力关系与分析扭转应力相同的分析思路：NortheasternUniversityPAG5⑴等直梁的纯弯曲实验1、变形几何关系§5-2纯弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG6变形后,横向线(ab、cd)仍为直线,但有转动;纵向线变为曲线,且上缩下伸;变形后,横向线与纵向线仍正交。中性层是梁内一层既不伸长也不缩短,不受拉应力和压应力的纤维层。中性层与横截面的交线为中性轴。纵向对称面中性层中性轴bdacabcdMM§5-2纯弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG7⑵平面假设:梁弯曲变形后,原来的横截面仍为平面,只是绕中性轴转动,且距中性轴等高处变形相等。⑶几何方程纵向纤维AB的纵向线应变ABABBA11（（（（212111OOOOBAρdθρdθdθyρ)(ρy—纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比acbdO1O2AByA1B1O2O1xyOd§5-2纯弯曲时的正应力zy(对称轴)中性轴NortheasternUniversityPAG82、物理关系假设:纵向纤维互不挤压,横截面上各点为单向应力状态在材料的线弹性范围内拉压弹性模量相同横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成比例。σσEρyE||||||||;00maxmaxσyyσy时,时,zy(对称轴)中性轴§5-2纯弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG93、静力学关系MzxyσdAσdA0ΣxF§5-2纯弯曲时的正应力0ΣyMMMzΣNortheasternUniversityPAG10z轴(中性轴)垂直于载荷作用面,并通过截面形心。AxσdAFΣAdAρEyAydAρE0ρESz0zSMzxyσdAσdA考虑平衡条件0ΣxFzASydA—静矩§5-2纯弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG11考虑平衡条件0ΣyMzdAσMAy)(ΣAdAρEyzAyzdAρE0ρEIyzEyMzxyσdAσdA—对称弯曲梁自动满足yzAIyzdA—横截面对y,z轴的惯性积§5-2纯弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG12考虑平衡条件MMzΣydAσMAz)(ΣAdAρEy2AdAyρE2MρEIzEyMzxyσdAσdA2zAIydA—横截面对中性轴的惯性矩zzEIMρ1中性层的曲率—梁的弯曲刚度§5-2纯弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG13ρEyσzzIyM等直梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算各点正应力时,M和y可以代入相应的正负号,结果的正负直接反应各点正应力的正负；M和y也可以代人绝对值,最后由变形判断压力的正负。.,0;,0下压上拉上压下拉MM公式适用于纯弯曲直梁、在材料的比例极限内。§5-2纯弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG14上节回顾平面图形的几何性质静矩：形心：概念：ddddxxAAyyAASSyASSxA等于形心坐标ddyAxAxASxAAyASyAAiiiixAxAyAyAdAxyyxxyNortheasternUniversityPAG15惯性矩：极惯性矩：惯性积：上节回顾AyAxAxIAyIdd222pdAIAxyIIdAxyyxAxyAxyIdNortheasternUniversityPAG16上节回顾简单截面的惯性矩1、矩形2xAIydA3121bh2dyAIxA3121hbxybhC2、圆形2xIydA464yπDI3、圆环xyII)1(64144DyzDdyxDDdNortheasternUniversityPAG17平行移轴定理：上节回顾dAxyyxrabCxCyC2xxCIIbA2yyCIIaAxyxCyCIIabA2ppCII(ab)A典型应用：求组合截面的惯性矩xixI(I)2cixii(IaA)NortheasternUniversityPAG18上节回顾变形的分布规律观察变形提出假设应力的分布规律建立公式变形几何关系物理关系静力关系纯弯曲时梁横截面上的正应力yρEρyEzzMyσIacbdO1O2AByA1B1O2O1xyOdEΣ0FΣ0MabcdMMNortheasternUniversityPAG19横力弯曲时的挠曲线的曲率梁横截面上的正应力在横力弯曲时，由于梁截面上有切应力τ,截面会发生翘曲，平面假设不严格成立。但当梁跨度l与高度h之比大于5(即为细长梁)时，纯弯曲正应力公式近似成立。一、横力弯曲梁zEIxMx)()(1yIxMxz)()(§5-3横力弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG20二、正应力计算的注意事项：⑴在计算正应力前,必须清楚求的是哪个截面上哪一点的正应力,从而确定该截面上的弯矩、该截面对中性轴的惯性矩及该点到中性轴的距离。⑵要注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律,在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。⑷熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。⑶梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正负(拉或压)可根据点的位置、弯矩的正负判断或杆件梁的变形状态来确定。§5-3横力弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG21三、危险截面与危险点分析危险截面：弯矩绝对值最大的截面。对于等直梁，在弯矩绝对值最大的截面上，距离中性轴距离最远的点有最大正应力。Mσ横截面上的最大正应力Wz—抗弯截面系数(m3,mm3)zIMymaxmaxzmaxMIyzMW§5-3横力弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG22实心圆截面zdyD43642232zzyId/πWWdd/d/)()1(3243DdDWWyz其它(查型钢表)空心圆截面矩形截面zybhC2211266zzyIWbh;Whbh/zyd§5-3横力弯曲时的正应力（1）当中性轴为对称轴时NortheasternUniversityPAG23zy（2）中性轴不是对称轴的横截面ycmaxytmaxM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式求得相应的最大正应力maxtymaxcyzMyIσmaxcσmaxtmaxmaxcczMyσImaxmaxttzMyσI§5-3横力弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG24四、梁的正应力强度条件zWMmaxmax][];[maxmaxccttzWMmaxmax||||等直梁弯曲正应力强度条件抗拉压能力相同：抗拉压能力不同：1、校核强度3、求许可载荷2、设计截面尺寸][maxMWz][maxzWMmax正应力强度条件的三种应用：§5-3横力弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG251mAB1mkNq/60+2m11M解:⑴求截面上的弯矩ab120150zy30)30()22()(2xqxqlxxMmkNMM60)1(1123bhIz453m1083.51218.012.0横截面对中性轴的惯性矩xM(x)maxMmkN.ql56782)2(maxlMM§5-3横力弯曲时的正应力例5-1受均布载荷作用的简支梁如图所示,试求：⑴1-1截面上a、b点的σ及此截面上的σmax；⑵全梁的最大正应力；⑶已知E=200GPa,求1-1截面的曲率半径。NortheasternUniversityPAG26例5-1受均布载荷作用的简支梁如图所示,试求：⑴1-1截面上a、b点的σ及此截面上的σmax；⑵全梁的最大正应力；⑶已知E=200GPa,求1-1截面的曲率半径。.m1083.5;60451zImkNM1-1截面的最大正应力zIyMσmax1max,1a、b两点的正应力zbaIyMσσ15310832.5)06.0(1060MPa.761531083.509.01060MPa.6921mAB1mkNq/60+2m11MxM(x)ab120150zy30maxM§5-3横力弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG27例5-1受均布载荷作用的简支梁如图所示,试求：⑴1-1截面上a、b点的σ及此截面上的σmax；⑵全梁的最大正应力；⑶已知E=200GPa,求1-1截面的曲率半径。⑵求全梁的最大正应力zIyMσmaxmaxmaxMPa.21041083.509.0105.67531mAB1mkNq/60+2m11MxM(x)ab120150zy30.m1083.5;56745maxzImkN.Mm..41941060108351020035911MEIρz⑶求曲率半径maxM§5-3横力弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG2828161448解:⑴确定截面的中性轴位置例5-2已知一低碳钢梁的[σ+]=[σ-]=70MPa,且梁的最大弯矩Mmax=120kN·m,试校核其正应力强度。（单位:cm）AAyyiiC)108(1628)108()19()1628(14Cyyz'Czcm13⑵求梁截面的抗弯截面系数Wz])1314(2816122816[23zI])1319(10812108[23426200cmmaxyIWzz)1328(2620031748cmiiCzAyyAS'§5-3横力弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG29例5-2已知一低碳钢梁的[σ+]=[σ-]=70MPa,且梁的最大弯矩Mmax=120kN·m,试校核其正应力强度。（单位:cm）⑶正应力校核∴结构是安全的3max1748;120cmWmkNMzzWMmaxmax65101748102.1MPa65.68MPa7016281448Cyyz'Cz§5-3横力弯曲时的正应力NortheasternUniversityPAG30ABmkNq/5.02max81qlMl=4m解:⑴求简支梁的最大弯矩mkNqlM1812max][)1(32max43MDWz例5-3一空心圆截面简支梁受力如图,已知[σ+]=[σ-]=12MPa,内外径之比α=d/D=0.8,试按正应力条件选择截面直径D;若外径D增加一倍,比值不变,则载荷q可增加到多大？⑵由强度条件选择截面直径DmMD113.0])[1(3234max