第5章控制系统的频域分析4.

自动控制原理——第5章频域分析法信息控制类专业最重要的专业基础课之一张晓玲信息与计算科学系第5章频域分析法5-1频率特性5-2典型环节的频率特性5-3开环幅相频率特性分析5-4奈奎斯特判据5-5稳定裕度5-6利用开环频率特性分析系统性能5-7闭环系统频率特性分析§5-1频率特性一、频率特性的定义1、频率响应:线性系统对正弦输入信号的稳态响应例：RC电路如图所示，11)(TssGRCT()siniutAt施加正弦输入()?out则输出22sin()iiAuAtUss施加正弦输入()1()1oiUsUsTs2211()()11oiAUsUsTsTss传递函数输出2222()sin()11tToATAutetarctgTTT假设初始状态为零，由拉氏反变换求方程的解指数衰减项稳定的正弦输出:频率响应500.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345线性系统的频率响应：siniuAtt22()sin()1oAuttarctgTT一个稳定的线性定常系统，如果对其输入一个正弦信号，系统的稳态输出(稳态响应)也是同一频率的正弦信号，只是在幅值和相位上发生了变化。11)(TssG6ttuisin)((1)输入为相对输入，输出有相位差，幅度不同7ttui2sin)((2)输入为输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变8ttui3sin)((3)输入为输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定2.频率特性输入：xtXtxsin)(yttYtysin)(稳态输出：()()yxYAX频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输出的稳态分量与输入的复数比。幅频特性相频特性频率特性表达式：幅频特性；相频特性)()(jGA)()(jG---实频特性；---虚频特性)(P)(Q复数式：)()()(jQPjG极坐标式：)()()()()(AjGjGjG指数式：)()()()()(jjGjeAejGjG)()(A)(jG)(P)(Qj)(sin)()()(cos)()(AQAP22()()()()()arctan()APQQP各表达式之间的关系：频率特性本质上就是一种数学模型，那么它与时域和复域数学模型之间什么关系呢？二、频率特性与传递函数的关系设系统的传递函数为12()()()()()()()nYsNsGsXsspspsp假设(1,,)jpjn互不相同且为实数。输入：tXtxsin)())(()(22jsjsXsXsX12()()()()()()()nNsXYsspspspsjsj输出：1212nccnkkkkkspspspsjsj1212()nptptptjtjtnccytkekekekeke假设系统是稳定的，tjctjctssekektyty)(lim)(jXjGjsjsjsXsGkjsc2)()())(()(jXjGjsjsjsXsGkjsc2)()())(()(()()()()jsjGsGjAe因为)()()(2)(2jcjceAjXkeAjXk其中aG(jw)的相角aG(jw)的幅值()YAX()()sjGjGssin()ssyYt()yx所以，频率特性与传递函数的关系为：()sinxtXt()()()()sin()2jtjtsseeyAXAXtj输入为，根据频率特性定义幅频特性相频特性aG(jw)的相角aG(jw)的幅值线性系统微分方程频率特性传递函数j=d/dt时域、复域和频域数学模型之间的关系三频率特性的几种图示方法1、幅相频率特性曲线——奈奎斯特（Nyquist）曲线，或极坐标图2、对数频率特性曲线——伯德（Bode）图3、对数幅相特性曲线——尼柯尔斯（Nichols）曲线1、幅相频率特性曲线（Nyquist曲线）:时，在复平面上的运动轨迹)(jG简称幅相曲线或极坐标图幅频特性、实频特性为ω的偶函数相频特性、虚频特性为ω的奇函数幅相曲线关于实轴对称一般只做时的变化曲线0:)()()()()(jQPeAjGj2211)(TA()tanarcT：01)(A0)(：T1707.0)(A45)(：0)(A90)(例：绘制RC电路的幅相频率特性曲线1()1GjjTj01()A()Gj0)()(1111)(22jQPTjTjTjG幅频特性相频特性2、对数频率特性曲线伯德（Bode）曲线坐标系：半对数坐标系对数相频特性曲线对数幅频特性曲线横坐标按ω的对数线性分度，标以ωlg1210110lglglglg12120.1110ω十倍频或十倍频程，用符号dec表示12)(lg20)(AL均匀分度，单位分贝，符号dB纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度纵坐标对数幅频特性曲线()横坐标按照的对数lg进行线性刻度；对数相频特性曲线-40-30-20-100Magnitude(dB)10-1100101102-90-450Phase(deg)RC网络Bode图Frequency(rad/sec)3、对数幅相特性曲线尼柯尔斯（Nichols）曲线L()[dB]()将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。常用频率特性曲线比较名称幅相频率特性曲线对数频率特性曲线对数幅相特性曲线常用名奈奎斯特图伯德图尼柯尔斯图坐标系极坐标半对数坐标对数幅相坐标sjjjijjjiesTsTsTssssKsG)12()1()12()1()(2222Ks1s11Ts)12(22ss)1(s12122TssTse比例环节延迟环节微分环节一阶微分环节二阶微分环节惯性环节振荡环节积分环节§5-2典型环节的频率特性一、比例环节传递函数：ksG)(频率特性：kjG)(1、幅相频率特性kA)(0)(kP)(0)(Q2、对数频率特性kALlg20)(lg20)(0)(二、积分环节传递函数：ssG1)(11)(jjjG频率特性：1、幅相频率特性1)(A90)(0)(P1)(Q2、对数频率特性lg201lg20)(L90)(三、微分环节传递函数：ssG)(jjG)(频率特性：1、幅相频率特性)(A90)(0)(P)(Q2、对数频率特性lg20)(L90)(四、惯性环节传递函数：11)(TssG频率特性：221111)(TjTjTjG1、幅相频率特性2211)(TA()arctanT2211)(TP221)(TTQ惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下：TPQ)()(2211PQPPQP22412122QP2、对数频率特性22221lg2011lg20)(TTL()arctanT采用分段直线（渐近线）近似：：即11TT0)(L——低频渐近线：即11TTlg20lg20lg20)(TTL——高频渐近线最大误差：dBL32lg20)(BodeDiagramofG(jw)=1/(jwT+1)T=0.1Frequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-25-20-15-10-50100101102-90-450()arctan()T][log20dBT)(0dB最大误差10-1100101-3-2.5-2-1.5-1-0.50惯性环节的对数幅频特性曲线以渐近线表示时引起的误差五、一阶微分环节传递函数：ssG1)(jjG1)(频率特性：1、幅相频率特性221)(A()arctan1)(P)(Q2、对数频率特性221lg20)(L()arctan低频渐近线：：即110)(L：即11lg20lg20lg20)(L高频渐近线：BodeDiagramofG(jw)=jwT+1)T=0.1Frequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)051015202510010110204590()arctan()T20log()dB)(0dB六、振荡环节传递函数：222222121)(nnnssTssTsGTn1频率特性：nnnjTjTjG2211)(222221、幅相频率特性2222222211211)(nnTTA22222()arctanarctan11nnTT：01)(A0)(：Tn121)(A90)(：0)(A180)(谐振峰值：值较小时幅频特性的极大值。令0)(ddA得：2211Tr——谐振频率2202121)(rrAM——谐振峰值2212121rnrAonnA90)(21)(0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1AB2222)(nnnsssG振荡环节2、对数频率特性222222221lg2021lg20)(nnTTL：Tn1低频段0)(L高频段：Tn1lg40lg40lg20)(22TTL221n=r振荡环节0dBL(ω)dBωn21lg20r2121lg20(0＜＜0.707)[-40](n)=-90o2nn22nS2S(s)G3910-1100101-6-4-202468101214dB1.02.03.05.07.00.1振荡环节的对数幅频特性曲线以渐近线表示时引起的误差七二阶微分环节2)()(21)(nnsssG2)()(21)(nnjjjG2222)2()1()(nnA22()arctan1nn)(2)(1)(2nnjjG2)(1)(nP)(2)(nQ2)(rAIm[G(j)]Re[G(j)]1onnA90)(2)(221221rnrA0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω1ss25.0)s(G2o90o00.1110100o180[40]212lg20)2lg(20二阶微分二阶微分环节)10,0(12)(22nnnss