第5章插值与逼近.

第五章插值与逼近引言：我们可用插值或逼近的方法解决这类问题。而不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。y1,…,yn；或者f(x)的函数表达式是已知的,但却很复杂其在[ab]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn处的函数值y0,[ab]上是存在的。但是只能通过观察、测量或试验得到在实际问题中常遇到这样的函数f(x)=y,它在某个区间插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定条件下在某个范围内近似代替另一个较复杂的函数或解析表达式未能给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。§5.1代数插值§5.1.1一元函数插值一、基本概念01(),(),,()nxxxn设是次数不超过的多项式函数01,,,1nxxxn组，是个互不相同的实数，若向量组T01(),(),,(),0,1,2,,kkkknxxxkn线性无关，则称0101(),(),,(),,,nnxxxxxx在点集上线性无关。代数插值问题：0,1(),,(),0,1,,inifxxxxfxyin若已知函数在处的值。在次数不超过n的多项式集合01(),(),,()nnSpanxxxD0()()()nnniiipxpxcx()(),0,1,,(5.1.1)nkkpxfxkn中寻求满足插值条件:0()()(5.1.2)nniiixnpxc次插值多项式：的这类问题称为一元函数的代数插值问题。称为插值结点，f(x)称为被插函数，称为插值基函数。0,1,,nxxx01(),(),,()nxxx5.11knx在个互异结点处满定理足插值条件()()(0,1,2,...,)nkkpxfxkn0()()nnkkknpxcx的次数不超过的多项式存在且唯一。T01=(),(),,()0,1,,kkkknxxxkn证令,明1(5.1.3)nc为的矩阵，所以方程组存在唯一的解向量。0101=,,,,,,,nn其中由于线性无关，是秩(5.1.3)cy则插值条件可表示为TT0101,,,,(),(),,();nnccccyfxfxfx插值多项式的存在唯一性二、Lagrange插值方法011011()()()()()()()()()(5.1.4)(0,1,2,...,)nkkkkkkknkkxxxxxxxxlxxxxxxxxxknLagrange插值基函数o1()01kiiklxik性质10,1,,nkn维单位坐标向量，。T01o1=(),(),,()kkkknkklxlxlxeek其中性质为第2个Lagrange插值多项式000()()()()(5.1.5)nnnjnkkkkkjkjjkxxpxlxfxfxxx三、插值余项与截断误差估计()(,)1fxabn数在区间上具有阶导数，则对任意的[,],()nxabnpx次插值多项式的余项(1)1()()()()()(5.1.6)(1)!nnnnfRxfxpxxn1010()()()()()nnknkxxxxxxxxx其中(,)ab01,,,[5.2,]nxxxab设是闭区间中互异定理的实数，实函说明：(1)1o1(,)max(),1nnnxabMfxM若已知常数满足则余项的估11()()(5.1.7)(1)!nnnMRxxn计式为o)2(fxn当是次数不超过的多项式时，无论插值结点如何()()()nfxnpxfx选取，的次插值多项式就是本身，此时()0;Rx插值余项0o11,,,Lage3rangnnxxx由任意的个插值结点形成的(),0,1,,klxkn插值基函数。有()1,klxnk=0()0mkklxxxnk=0(),mmkklxxxnk=01,2,,mn1,2,,mn例5.1()1,2,35.1xfxex已例知在的值如下-x123e0.3678794410.1353352830.049787068x-2.12Lagrange()epx试用二次插值公式求的近似值，并进行误差估计。2Lagrangen：的插解值多项式-1-2-32(2)(3)(1)(3)(1)(2)()eee(12)(13)(21)(23)(31)(32)xxxxxxpx20.073497971-0.4530380710.747419539xx11313max()max,xxxfxee因故有误差估计1(2.11)(2.12)(2.13)3!e0.00607001-2.12f(2.1)=e(2.1)0.120165644132p-2.12(2.1)(2.1)Rep-2.12(2.1)0.00229078412ep实际绝对误差：=e四、Newton插值方法若取插值基函数10100()1,(),,(),1,2,,kkjjxxxxxxxkn01(),(),,()nxxxn则函数组是次数不超过的多项式1,,,nxx0组，且在点集x上线性无关。()nnpx则次插值多项式可表示为010201()()()()npxccxxcxxxx011()()()nncxxxxxx(5.1.7)01()()(0,1,,)(5.1.7),,,nkknpxfxknccc将插值条件代入得关于系数的线性代数方程组00010110120120220212010011()()()()()()()()()()()()()()()()(5.1.8)nnnnnnnnnnnnpxcfxpxccxxfxpxccxxcxxxxfxpxccxxcxxxxxxfx01,,,nccc由此可解出系数，其结果如下差商00()cfx10110()()fxfxcxx2012022021()()()()()fxfxcxxcxxxx020121[,][,]fxxfxxxx0120111[,,,,][,,,]kkkkkkfxxxxfxxxcxx01[,,,]kfxxx2012021()()fxfxcxxxx012[,,]fxxx2,3,,kn01(),fxxx称为关于结点的一阶差商。012(),fxxxx称为关于结点,的二阶差商。01(),kfxxxxk称为关于结点,,的阶差商。01[,]fxxNewton插值公式将以上结果代入(5.1.7)得到Newton插值公式001001201()()[,]()[,,]()()npxfxfxxxxfxxxxxxx01011[,,,]()()()(5.1.9)nnfxxxxxxxxx说明oLagrange(5.1.5)Newton(5.1.91)插值多项式与插值多项式01,,,nxxx是同一个多项式。任意交换结点的顺序所oNewton(5.1.28)x由插值公式的构造及方程组知，若异于01,,,1,2,,nxxxkn的实数，则对，有0101()()[,,,,]()()()nnnfxpxfxxxxxxxxxxNewtonn得到的各个次插值多项式都是同一个多项式。0o101()[,,,,]()()(3)nknRxfxxxxxxxxxx余项差商的性质0101().,,,()'()1kjjkjkjfxfxxxfxx性质可表为值的线性组合形式。（证略，归纳法）,,,,,,,,2.,ijjifxxfxx性质　与结点排序无关（对称性）000000()(),')3.(,limlimfxfxfxxfxxxxxxx性质　这表明差商是微商的离散形式()01()[,,]4.,!nnffxxxn性质　差商表0011223311()()()()()()()nnnnxfxnxfxxfxxfxxfxxfxxfx一阶差商二阶差商三阶差商阶差商011223211[,][,][,][,][,]nnnnfxxfxxfxxfxxfxx01212321[,,][,,][,,]nnnfxxxfxxxfxxx012321[,,,][,,]nnnfxxxxfxxx01[,,,]nfxxx001001201()()[,]()[,,]()()npxfxfxxxxfxxxxxxx01011[,,,]()()()nnfxxxxxxxxx例5.2()sinh()0.400.550.650.800.90()0.410750.578150.696750.888111.02652Newton(0.5926)5.kkfxxxfxf已知的数值表如下：用例插值公式求的近似值。解：先造差商表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.400.410750.550.578150.650.696750.800.888110.901.02652()kkxfx1.11601.18601.26571.38410.28000.35880.43660.19700.21370.03444(0.596)(0.596)0.63192fp由Newton公式得四次插值多项式为：4()0.410751.1160(0.40)0.2800(0.40)(0.55)0.197(0.40)(0.55)(0.65)0.034(0.40)(0.55)(0.65)(0.80)xxxxxxxxxxxp0.596x将代入得：定理5.2证明001,01(1)(1)(1)()0(0,1,,),()()()()()()()()()()(),(),,,Rolle()(,),()0()()(1)!0()()(innnnnnnRxinRxkxxxxxtftptkxtxtxtxtxxxxabfkxnfkxn证：因　故有形式设　则在为零。故由定理反复使用有使，即故(1)1()()=()1)!(1)!nnfRxxn，所以，§5.2Hermite插值前面所讨论的代数插值问题只要求插值多项式pn(x)满足插值条件：()(),0,1,,nkkpxfxkn如果在插值条件中再增加对结点处导数的限制，则构造的多项式函数能在光滑性上于结点处与原函数保持一致从而使构造出的函数能更好地逼近原来的函数()fx。引言Hermite插值问题在次数不超过n+m+1的多项式集合1110()()nmjnmnmjjHxHxaxD插值中求满足条件:寻Hermite此问题称为插值问题，11()()0,1,,()()0,1,,kkknmiiinmiiiHxfxyinHxfxykm问题。或称为带导数条件的插值的Hermite插值多项式1()nmHx。存在性定理011,5.2.,,1nnxxx定理设个结点互异，则在多项式集1Hermitenm合中，唯一地存在多项式D110()(5.2.1)nmjnmjjHxax满足11()()0,1,,(5.2.2)()()0,1,,kkknmiiinmiiiHxfxyinHxfxykm误差估计01,,,[,5.2.]21nxxxabn设是区间上的个定理互异的结点,1()2()nmftnmHx函数在区间(a,b)上具有阶导数，是[,]xab满足插值条件(5.2.1)的Hermite多项式，则对，有1()()()nmRxfxHx(2)00()()()(2)!kmnnmiiikfxxxxmn(5.2.3)例5.2.1例5.2.