第5章曲线和曲面的表示

5.1三次参数曲线曲线和曲面可以用折线和多边形进行一次线性逼近，为了达到一定精度，需要生成和存储大量的顶点坐标，数据的交互繁琐。所以，一般使用结构更紧凑、更易于控制的分段光滑曲线（曲面）表示－比线性更高次的函数，存储空间更少，更易于控制。高次函数一般有三种表示方法直接将y和z表示成x的显函数y=f(x),z=g(x)f(x,y,z)=0的隐式方程曲线的参数表示x=x(t)，y=y(t),z=z(t)为什么参数曲线次数为3？低于三次的函数控制曲线形状时不够灵活，高于三次的曲线会增加不必要的摆动其增加计算量。三次参数曲线是三维空间中次数最低的非平面曲线。高于3次的曲线还是有应用的5.1.13次参数曲线的基本特征TtztytxtQ)()()()(10232323tdtctbtatzdtctbtatydtctbtatxzzzzyyyyxxxx)()()(zyxzyxzyxzyxdddcccbbbaaaC123tttT令则系数矩阵CTtztytxtQ*)()()()(曲线10232323tdtctbtatzdtctbtatydtctbtatxzzzzyyyyxxxx)()()(写成曲线的导数表示曲线的切向量CttCTdtdtQtQddt*)*()(')(01232曲线段之间的连续性几何连续Gi与参数连续CiG0连续(C0)：两条曲线段拼接成一条曲线。G1连续：两条曲线段拼接点处切向量方向相同。若相等（方向、大小）－C1Gｎ连续：两条曲线段拼接点处切向量的阶导数方向相同。n阶导数相等－Cnp0p2p1Q1Q2Q3Q1、Q2有C1和G1连续，Q1、Q3只有G1连续例2：证明如下的两条三次曲线段达到C2连续，并画出两条曲线段。533,79322231tttttP5333,1793223232ttttttP曲线与约束的关系曲线段可以用端点、切向量和曲线段之间的连续性等约束条件来定义两个端点和两端点处的切向量定义Hermite曲线；两个端点和另外两个控制端点切向量的点定义的Bezier曲线；由四个控制顶点定义的样条曲线。如何确定曲线的约束条件CTtztytxtQ*)()()()(GMC*拆分G为四个元素的几何约束行向量矩阵M为基矩阵zyxzyxzyxzyxggggggggggggGGGGG444333222111432144434241343332312423222114131211mmmmmmmmmmmmmmmmGMTtx**)(展开xxxxgmtmmtmtgmtmmtmtgmtmmtmtgmtmmtmttx44434242143343332321332423222212314131212113)()()()()(zyxzyxzyxzyxggggggggggggGGGGG4443332221114321432144434241343332312423222114131211231GGGGmmmmmmmmmmmmmmmmttttztytxtQ)()()()(曲线是几何矩阵中约束元素的加权和。每个权都是关于的三次多项式，称为调和函数,记为于是tMTB*GBtQ*)(5.1.2Hermite曲线由端点P1、P4和端点处切向量R1、R4的约束确定，其几何矩阵为THRRPPG4141TxHxRRPPG4141仅讨论其x分量HxHHxHxxxxxGMtttGMTCTdtctbtatx*****)(12323约束：、代入，得到其、xxPPt4110HxHxHxHxGMPxGMPx**)(**][)(111111000041HxHGMtttx**0123)('2HxHxHxHxGMRxGMRx**0123)1('**0100)0('41HxHHxxGMGPPPP**01230100111110004321000101001233112201230100111110001HM41412300010100123311221RRPPtttGMTtztytxtQHH***)()()()(423123423123232132RttRtttPttPttGBtQHH)()()()(*)(Hermite曲线完全插值控制点（2个，P1、P4）。切向量对曲线的影响如图两段Hermite连接连续，可以轻易实现连续。P1P4P4点切向量R4，每条曲线的大小方向都相同；P1点的切向量R1的方向相同，大小不同。R1越大，曲线越高两段Hermite曲线连续74744141RkRPPandRRPP1G0k绘图过程给定两个端点和端点处切向量，利用M矩阵,t=0:step:1，计算中间点P，依次连线,构成最后曲线5.1.3Bezier曲线通过给定两个不在曲线上的中间点来间接地确定端点切向量利用Hermite推导Bezier曲线)(3)1(')(3)0('344121PPQRPPQR5.1.3Bezier曲线BHBTHGMPPPPRRPPG*432141213300003310000001TBPPPPG4321)(3)1(')(3)0('344121PPQRPPQR5.1.3Bezier曲线BBBHBHBHBHHHGMTGMMTGMMTGMTtQ***)*(*)*(****)(0001003303631331*HBHBMMM5.1.3Bezier曲线43212300010033036313311PPPPtttGMTtztytxtQBB****)()()()(5.1.3Bezier曲线4332221313131PtPttPttPttQ)()()()(322313131ttttttBB)()()(5.1.3Bezier曲线R1和R4的方向可直观看出，便于控制曲线形状。两段Bezier曲线，当P3-P4=k(P5-P4)时（三点相异且共线），k0端点连接处是连续的。如果k=1,则连续。曲线段一定落在P1、P2、P3、P4定义的凸多边形（凸壳）内。如果调和函数非负且其和为1，且三次曲线对所有控制点做加权求和而定义，凸壳特性对曲线成立。5.1.3Bezier曲线给定四个控制点P1(0,0,0)、P2(1,1,1)、P3(2,-1,-1)、P4(3,0,0)，构造Bezier曲线，并计算t=0,t=1,t=1/3，t=2/3处的值。5.1.4B样条曲线B样条通常用m+1个控制点（P0、P1、…Pm）产生m-2个曲线段(Q3、Q4、…Qm),m=3。B样条曲线一般不过控制点。5.1.4B样条曲线p0p1p3p2t=t3t=t4Q3p0p1p3p2t=t3t=t4Q3p4t=t5结点值5.1.4B样条曲线若要产生封闭曲线，结尾处重复使用P0~P2。即P0P1P2…PmP0P1P2.5.1.4B样条曲线mitttGMTtQiiBsiBsii3,**)(11)()()(23iiiittttttTmiPPPPGiiiiBsi312301410303036313316/1BsM5.1.4均匀B样条曲线101333463161323233123ttttttttBBBBMTBBsoBsBsBsBsBs)(*TtttttttttTiiii11)()()(2323106613336463161312322333112233tPtPtttPttPtPBPBPBPBBGtQiiiiiBsiBsiBsiBsBsBsii)(*****)(5.1.4B样条曲线四点加权求和，调和函数非负且和为1，具有凸壳特性。可证明Qi和Qi+1在连接点处连续，（:）。曲线段三次函数，所以整个曲线具有连续。凸壳的对曲线裁剪十分有用。210CCC、、0C0111||iittittiQQ2C5.1.4B样条曲线2CHermiteBezierB-spine凸壳特性无有有过部分型值点YYN完全过型值点YNN表示的固有连续性C0G0C0G0C2G2易达到的连续性C1G1C1G1C2G2