第5章状态反馈与状态观测器.

第5章状态反馈与状态观测器5.1引言5.2状态反馈与输出反馈5.3反馈控制对能控性与能观测性的影响5.4闭环系统极点配置5.5状态观测器5.6采用状态观测器的状态反馈系统5.7解耦控制5.8MATLAB在闭环极点配置及状态观测器设计中的应用5.9线性控制系统理论的工程应用举例5.1引言本章重点讲述对一个性能不好甚至不稳定的被控系统，如何设计系统的状态反馈控制律，使闭环系统稳定且具有优良的动态响应。状态反馈包含系统全部状态变量信息，是较输出反馈更全面的反馈，这本是状态空间综合法的优点，但并非所有被控系统的全部状态变量都可直接测量，这就提出了状态重构问题，即能否通过可测量的输出及输入重新构造在一定指标下和系统真实状态等价的状态估值？1964年，Luenberger提出的状态观测器理论有效解决了这一问题。状态反馈与状态观测器设计是状态空间综合法的主要内容，故如何设计状态观测器重构出所需状态估值也是本章重点讲述内容之一。5．2状态反馈与输出反馈图5-1为多输入多输出系统的状态反馈结构图。设图5-1虚线框内所示多输入多输出线性定常被控系统的状态空间表达式为)(oDC,B,A,DuCxBuAxxy（5-1）式中，分别为n维,r维和m维列向量；A,B,C,D分别为实数矩阵。y,u,xrmnmrnnn,,,图5-1多输入多输出系统的状态反馈结构对多数实际被控系统，由于输入与输出之间总存在惯性，所以传递矩阵D=0。若被控系统D=0，可简记为，对应的状态空间表达式为)(oCB,A,CxBuAxxy（5-2）图5-1采用线性直接状态反馈（简称状态反馈）构成闭环系统以改善原被控系统的性能，即将被控系统的每一个状态变量乘以相应的反馈增益值，然后反馈到输入端与参考输入v一起组成状态反馈控制律，作为被控系统的控制量u。由图5-1显见，状态反馈控制律（即被控系统的控制量u）为状态变量的线性函数Fxvu（5-3）式中，v为r维参考输入列向量；F为状态反馈增益矩阵，且其为实数阵。nr将式（5-3）代入式（5-1）,可得采用状态反馈构成的闭环系统状态空间表达式为DvxDFCBvxBFAx)()(y（5-4）若D=0，则式（5-4）可简化为式（5-5），即CxBvxBFAxy)(（5-5）式（5-5）可简记为，其对应的传递函数矩阵为)(FCB,BF,ABBFAICW1))(()(ssF（5-6）5.2.2输出反馈输出反馈最常见的形式是用被控系统输出向量的线性反馈构成闭环系统，即如图5-2所示，将被控系统的每一个输出变量乘以相应的反馈增益值，然后反馈到输入端与参考输入v一起组成式（5-7）所示的线性非动态输出反馈（简称输出反馈）控制律，作为被控系统的控制量u，即Hyvu（5-7）式中，v为r维参考输入列向量；y为m维输出列向量；H为维输出反馈实数增益矩阵。mr图5-2多输入多输出系统的输出反馈至参考输入结构若D=0，将式（5-7）代入式（5-2）得被控系统引入输出反馈构成的闭环系统状态空间表达式为)(oCB,A,CxBvxBHCAxy)(（5-8）式（5-8）可简记为，其对应的传递函数矩阵为)(HCB,BHC,ABBHCAICW1))(()(ssH（5-9）在被控系统D=0时，比较两种基本反馈控制律（式（5-3）和式（5-7））所构成的闭环系统状态空间表达式（式（5-5）和式（5-8））可见，只要取的状态反馈即可达到与线性非动态输出反馈H相同的控制效果。但状态反馈F所能达到的控制效果，采用线性非动态输出反馈H却不一定能实现，这是因为一般线性系统的输出只是部分状态变量的线性组合，故线性非动态输出反馈一般可视为一种部分状态反馈，其不能象全状态反馈那样任意配置反馈系统的极点。HCFCxy5.3反馈控制对能控性与能观测性的影响定理5-1状态反馈不改变被控系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。)(oCB,A,证明先从系统能控性的PBH秩判据出发证明状态反馈不改变被控系统的能控性。)(oCB,A,显然，对复数域C上的所有s,下式成立，即BBFAIBAI)(ssrnIF0I（5-10）由于式（5-10）中的为非奇异方阵，故有rnIF0IBBFAIBAI)(rankrankss，Cs5-11）由能控性的PBH秩判据，式（5-11）表明状态反馈不改变系统的能控性，即1）当且仅当被控系统能控时，状态反馈系统能控；2）若不能控，其不能控模态及相应的特征值也是的不能控模态及相应的特征值。)(oCB,A,te)(FCB,BF,A)(oCB,A,)(FCB,BF,A关于状态反馈有可能改变系统的能观性，以单输入单输出系统为例解释如下：被控系统的传递函数)(oCB,A,)()()()()()()()()()(1osDsNsDssUsssUsYsGgCXCBAIC（5-12）引入状态反馈后的闭环系统的传递函数可通过结构图等效变换求出，即)(FCB,BF,A)()()()()()()(1)(/)()()()()(1FsDsNssDssDssDsssVsYsGFFggCgFgCBBFAIC（5-13）比较式（5-12）和式（5-13）可见，引入状态反馈后传递函数的分子多项式不变，而分母多项式可通过选择状态反馈增益向量F而改变，即状态反馈只改变传递函数的极点而保持零点不变，若闭环系统的极点被配置到与的零点相等时，将使发生零极点对消而破坏的能观性。)(sN)(FCB,BF,A)(oCB,A,)(FsG)(oCB,A,定理5-2输出反馈不改变被控系统的能控性与能观性。)(oCB,A,证明5.2节已说明，输出反馈H可等效为的状态反馈，又由定理5-1知，状态反馈不改变被控系统的能控性，故输出反馈不改变被控系统的能控性。HCF可从系统能观性的PBH秩判据出发证明输出反馈不改变被控系统的能观性。显然，对复数域C上的所有s,下式成立，即)(oCB,A,CBHCAII0BHICAIn)(ssm（5-14）由于式（5-14）中的为非奇异方阵，故有mI0BHInCBHCAICAI)(rankrankss，Cs（5-15）由能观性的PBH秩判据，式（5-15）表明和的状态能观性是一致的，即输出反馈不改变被控系统的能观性。)(oCB,A,)(HCB,BHC,A5.4闭环系统极点配置本节主要讨论两方面的问题：其一，闭环极点可任意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输入单输出系统。5.4.1采用状态反馈配置闭环系统极点1.采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件定理5-3采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统状态完全能控。)(oCB,A,证明先证必要性。由定理5-1知，若不能控，则其不能控极点及其对应的不能控模态不能通过状态反馈改变。证毕。)(oCB,A,再证充分性。以下充分性证明过程实际上给出了单输入单输出系统设计反馈增益矩阵的规范算法。(1)若被控系统状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为)(oCB,A,CxBuAxxynnnnasasasssf111odet)(AI（5-16）nnnnnnnnasasasbsbsbsbssG111122111o)()(BAIC（5-17）可通过如下变换（设为能控标准型变换矩阵）cTxTxc（5-18）将化为能控标准型，即)(oCB,A,__o)(C,B,AxCuBxAxy（5-19）式中，121c1c121c1c1000,100001000010bbbbaaaannnnnCTCBTBATTA（5-20）(2)针对能控标准型引入状态反馈__o)(C,B,AxFvu（5-21）式中，，可求得对的闭环系统的状态空间表达式仍为能控标准型，即nffff321Fx__F)(C,B,FBAxCBxFBAxyv)(（5-22）式中，)()()()(100001000010132211nnnnfafafafaFBA（5-23）则闭环系统的特征多项式和传递函数分别为__F)(C,B,FBA)()()()(det)(12111FfasfasfassspnnnnnFBAI（5-24）)()()()]([)(12111122111FfasfasfasbsbsbsbssGnnnnnnnnnBFBAIC（5-25）式（5-24）、（5-25）表明，的n阶特征多项式的n个系数可通过__F)(C,B,FBAnffff,,,,321即的特征值可任选。)(FBA独立设置，)(det)(det)(FBFAIFBAIsssf故若被控系统能控，则其状态反馈系统极点可任意配置。)(oCB,A,又(3)事实上，由给定的期望闭环极点组，可写出期望闭环特征多项式),,2,1(niinnnnniiasasasssp1111)()(（5-26）令式（5-24）与式（5-26）相等，可解出能控标准型使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为__o)(C,B,A111121aaaaaafffnnnnnF（5-27）(4)将式（5-18）代入式（5-21）得xFxTFxFvvvu1c（5-28）则原被控系统即对应于状态x引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为)(oCB,A,1cTFF（5-29）2.采用状态反馈配置闭环极点的方法方法一规范算法对状态完全能控的单输入单输出被控系统,可采用以上状态反馈任意配置极点充分条件证明过程所给出的规范算法确定实现闭环极点配置目标的反馈增益矩阵F，即在根据式（5-16）、（5-26）分别确定开环系统特征多项式和期望闭环特征多项式系数的基础上，先用式（5-27）求出能控标准型对应的下的状态反馈增益矩阵；然后再根据式（5-29）将变换为原状态x下的状态反馈增益阵F，即)(oCB,A,)(oCB,A,__o)(C,B,AxFF11111cnnnnaaaaaaTF(5-30)式中,为按式（5-18）将化为能控标准型的变换矩阵的逆矩阵，即1cT)(oCB,A,__o)(C,B,AcTc1cc1c;;CTCBTBATTA111111111aaanncBAABBT（5-31）方法二解联立方程设状态反馈增益阵，则闭环系统的特征多项式为nfff21F)(FCB,BF,AnnnnnFsssfffspssp11121F),,,,()(det)(BFAI（5-34）而由给定的期望闭环极点组，可确定如式（5-26）所示的期望闭环特征多项式。为将闭环极点配置在期望位置，应令式（5-34）与式（5-26）相等，即令，由两个n阶特征多项式对应项系数相等，可得n个关于的联立代数方程，若能控，解联立方程可求出唯一解。),,2,1(nii)()(spspFnfff21)(oCB,A,nfff21【例5-2】被控系统的状态空间表达式为试设计状态反馈增益矩阵F，使