第5章离散傅立叶变换.

第5章离散傅立叶变换自动化与电气工程学院自动化系5.1有限长序列的离散傅立叶变换（DFT）•计算机处理数据的特点：离散、有限长•几种不同类型信号的傅立叶变换–非周期连续信号EO()tft2t2t-()FtEtπ2Otπ4tπ2-•周期连续信号21T-)(tf2t-t1T1T-E2tO21T……113nc0A1A3AOAn时域的周期性导致于频域的离散性，离散点间隔为ω1•非周期离散信号()(())()jjnnXeDTFTxnxne--024600.51nTSx(n)-3π-2π-π0π2π3π0246()jXeΩ时域的离散性导致频域的周期性,周期为2π•对x(n)进行周期拓展，得到周期性的离散信号，其频域信号应具备离散性和周期性-50510024)(~)(~rNnxnx周期为N，12Nx(n)为的主值序列()xn序列在时域的周期性其傅立叶变换在频域的离散性12kkN1357911131505102π/N2π/N5.1.2DFT变换的定义210()DFT[()](),0,1,...,1NjnkNnXkxnxnekN---jIm[z]Re[z]0|z|=12,(0,1,...,1)kkNN-2jNNWe-定义旋转因子：10()DFT[()]()NnkNnXkxnxnW-101()IDFT[()]()NknNkxnXkXkWN--kNW——单位圆上顺时针方向的第k个点X(k)的长度与x(n)相同旋转因子的性质1.共轭对称性()*kkNNWW-2.周期性kkmNNNWW3.可约性/,mkkmkkNNmNmNDFT的矩阵形式-------)1()1()0()1()1()0()1)(1()1(2)1(101)1(121100000Nxxx10()DFT[()](),0,1,...,1NnkNnXkxnxnWkN--IDFT的矩阵形式101()IDFT[()](),0,1,...,1NknNkxnXkXkWnNN----------------)1()1()0(1)1()1()0()1)(1(2)1(1)1(0)1(1211100000NXXX例1利用矩阵表示式求矩形序列R4(n)={1,1,1,1}的DFT例2求矩形序列x(n)={1,1,1,1,0}的DFT注意：当序列长度不同时，由于其DFT在单位圆上的采样点不同，因而导致DFT的形式完全不同DFT[()]()NRnNk举例：手工计算DFT三种离散序列变换的关系10()()NnnXzxnz--jIm[z]Re[z]0X(z)的收敛域|z|=110()()NjjnnXexne--z=ejΩ10()()NknnXkxnW-kNπΩ2jIm[z]Re[z]0|z|=1,(0~2)jzejIm[z]Re[z]0|z|=12,(0,1,...,1)kkNN-5.2离散傅立叶变换的性质•1.线性性质312()()()xnaxnbxn312()()()XkaXkbXk•注意：两个序列的点数必须相同•2.圆周移位特性–圆周移位的概念（注意与线性平移的区别）()(())Nxnxn=对N点有限长序列进行周期拓展，得到周期为N的周期序列()xn对平移M个点后，取其主值序列（n=0～N-1）()xn(())()NNxnMRn-序列线性平移序列圆周移位024600.51024600.51024600.51024600.51序列在圆周上按逆时针顺序排序圆周右移：圆周做逆时针转动圆周左移：圆周做顺时针转动•2.圆周移位性质【例】已知4点序列x(n)={2,1+j,1-j,3}的DFT为X(k)={7,2+3j,-1-2j,-j}，求对x(n)向右圆周移位2个单位的序列，并计算移位后的DFT。DFT[()]()xnXk()(())()NNynxnMRn-若则DFT[()]()MkNynWXk时移性质：DFT[()]()XnXk()(())()NNYkXkLRk-IDFT[()]()LnNYkWxn-若则频移性质：•3.圆周卷积定理–圆卷积定义112120()()()(())()NNNmxnxnxmxnmRn--N()()2222()()()(())()NNNNxnxmxmxmnRn---变量替换序列做周期反褶对反褶序列圆周移位n注意与线卷积的区别：1212()*()()()mxnxnxmxnm--注意：做圆卷积时两个序列长度必须一致，若序列长度不一致，则需对短序列补零点，使之与长序列长度一致；圆卷积的长度与两个序列长度相等【例1】对于两个有限长序列x1(n)={1,0,1,0}，x2={4,3,2,1}，求圆卷积。12()()()ynxnxny(0)y(1)Ny(2)y(3)•时域圆周卷积定理：1212DFT()()()()xnxnXkXkN•频域圆周卷积定理：12121DFT()()()()xnxnXkXkNN【例2】求4点矩形脉冲R4(N)和自己的线卷积与圆卷积。计算圆卷积的DFT。在R4(N)后面添加3个零点，将它扩展成长度为7的序列后再计算它和自己的圆卷积。结论：任意两个序列x1(n)和x2(n)，通过补零将这两个序列扩展为长度L，且满足L≥N1+N2-1，则扩展后两个序列的圆卷积与它们的线卷积相等。利用DFT计算两个序列的线卷积计算y(n)=x(n)*h(n)DFTDFTIDFT4.共轭对称性DFT[*()]*(-)0-1()(0)xnXNkkNXNX≤≤DFT[*()]*()xNnXk-对X(k)做圆周反褶后再取其共轭推论1：若有限长序列x(n)均为实数，则X(k)=DFT[x(n)]有如下特性：X(0)为实数，X(k)=(X(N-k))*，k=1…N-1推论2：若有限长序列x(n)均为虚数，则X(k)=DFT[x(n)]有如下特性：X(0)为虚数，X(k)=-(X(N-k))*，k=1…N-1•例：已知有限长序列，则DFT[x(n)]为（）A{21，-8.4-4.9i，1.8+3.8i，-0.4-3.7i，-0.4+3.7i，1.8-3.8i，-8.4+4.9i}B{21j，8.4-4.9i，-1.8-3.8i，0.4+3.7i，-0.4+3.7i，1.8-3.8i，-8.4-4.9i}C{21j，-8.4-4.9i，1.8+3.8i，-0.4-3.7i，-0.4+3.7i，1.8-3.8i，-8.4+4.9i}D{21，8.4-4.9i，-1.8-3.8i，0.4+3.7i，-0.4+3.7i，1.8-3.8i，-8.4-4.9i}(){1,2,4,8,3,2,1}xn5.4频域抽样理论应满足时域抽样理论M个抽样点对时间序列进行周期性拓展，问题：当频域抽样满足什么条件时，可以保证周期序列的主值序列与原序列相等？0.20.40.60.81kN个抽样点00.511.520.20.40.60.81tx(t)-4-20240.20.40.60.81ωX(ω)n00.511.5200.51x(nTS)0.20.40.60.81ΩX(ejΩ)00.5100.5100.51NMNMN=M频域抽样理论：x(n)长度为M，其傅里叶变换X(ejΩ)在频域上一个周期内进行N点抽样，得到离散频谱X(k)，则当N≥M时，可以通过IDFT[X(k)]无失真地还原出原始频谱x(n)，此时x(n)为周期序列的主值序列，()xn