第5章空间问题的有限单元法√

第４章空间问题的有限单元法1.常应变四面体单元2.空间8节点等参单元3.空间20节点等参单元4.子结构法4.1常应变四面体单元１位移模式在空间问题中，任一点位移为Twvud}{}{),,,(}{}{srjiwvuδTiiii，Tsssrrrjjjiiiiwvuwvuwvuwvu}{}{(1)121110987654321zyxvzyxvzyxu对于每一个节点的位移单元的节点位移位移函数将节点坐标分别代入第1式ssssrrrrjjjjiiiizyxuzyxuzyxuzyxu43214321432143214321,,,ssrrjjiiuNuNuNuNu),,,()(61srjizdycxbaVNiiiii),,,(111111111srjiyxyxyxdzxzxzxczyzyzybzyxzyxzyxassrrjjissrrjjissrrjjisssrrrjjji求出，代回(１)式其中同样地，位移v,w表为sssrrrjjjiiizyxzyxzyxzyxV11116ssrrjjiissrrjjiiwNwNwNwNwvNvNvNvNv(2)}]{[}{}{}{eesrjiTNININININwvud通过上述推导，得出位移函数为２应变、应力和单元刚度矩阵将表达式(2)代入几何关系式，经过微分运算，可以得到单元内应变为(4))(00000000061][i,j,r,slbdcdbcdcbVBllllllllll(3)}{][}]{[}{TsrjiTBBBBB可见，这里[Bl]的每项元素都是由节点坐标决定的常数。因而四面体单元内，各点应变都是一样的，这是一种常应变单元。这与平面问题简单三角形单元是相似的。由于单元位移都假定为线性变化，因而由位移一阶导数组成的应变自然就是常值。其中应变矩阵[B]是形函数矩阵，[B]中任一个子矩阵[Bl]的显式应为TsrjiTTSSSSSBD}{]][][][][[}]{[}]{][[}{单元应变能d]][[][21(5)d]][[][21d}]{[}{21d}{}{21TTeVTeTVeTeTVVeVBDBVBDBVDVU(6)]][[][d]][[][][BDBVVBDBKTeVTee其中单元刚度矩阵单元内应力为按节点分块，单元刚阵可以表示为(8))(]][[][][T33i,j,r,sm,nBDBVknmeemn其中任一个子矩阵为(7)][sssrsjsirsrrrjrijsjrjjjiisirijiiekkkkkkkkkkkkkkkkK3节点荷载向量三维弹性体内如受有均布的体积力(加重力)作用，对于常应变四面体单元，可以计算出单元的全部体积力，再平均分配到四个节点上,即每个节点分配1/4的单元体积力。如果单元的某个表面作用有均布的面积力（如气体压力），也可将此面上的全部面积力平均分配到相应的三个节点上，即每个节点分配到三角面上面积力总和的1/3。如果体积力、面积力不是均布的,则不应该平均分配，而应按做功等效的原则进行分配。即(9)d}{][}{d}{][}{sqNQVpNPeesTeVTe其中，{P}e,{Q}e为单元内分布体积力和分布面积力分配到单元节点的载荷，[N]为形函数矩阵，{p},{q}分别为单位体积力和单位面积力，Ve,se则为受有分布力的单元体积和面积。4.2空间8节点等参单元在空间问题中，通常可取四面体单元、六面体单元等．本节讨论八节点六面体单元．选择形函数为如下形式：242322212019181716151413121110987654321wvu位移场用插值函数表示这里，插值函数可用体积坐标法或Serendipity法形成。818181,,iiiiiiiiiwNwvNvuNueNd}]{[}{818181,,iiiiiiiiizNzyNyxNx)8,,2,1(,)1)(1)(1(81iNiiii将上式写成单元内一点的坐标同样可表成其中形函数为应变为eeBNxzyzxyzyxwvuxzyzxyzyx}{}{000000000000000000}{其中，应变矩阵应变矩阵的子块][][][][][][][][][87654321BBBBBBBBB)8,,2,1(,000000000][ixNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiiii由复合函数求导法则zNyNxNJzNyNxNzyxzyxzyxNNNiiiiiiiiiddddddddddd,ddddddddJVkzjyixkzjyixkzjyix，，由微分几何可知单元刚度矩阵为111111ddd]][[][d]][[][][JBDBVBDBKTVTee4.3空间20节点六面体单元用有限元法求解空间问题时，经常会选用二十节点六面体等参数单元，这种单元不但具有较高的精度，而且能适应曲面边界。取母单元与实单元如图所示，除了8个顶点节点外，每个边的中点增加一个节点。设位移函数为2202192181721621521421321221110982726254321u位移场的选取如下图所示，取完全三次多项式后，再对称地取四次多项式。按照前述的推导过程，得出形函数为以下的有限元推导过程同上面的方法一致，不再赘述。4/)1()1)(1)(1(4/)1()1)(1)(1(4/)1)(1)(1)(1(8/)2)(1)(1)(1(222222222222222iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiN)20~1(i4.4子结构法子结构方法不只适用于空间问题，同样也适用于平面问题和板壳问题。因比本节在讲述用子结构方法处理问题的一般原理时，并不特指具体结构和单元的形状。用有限元法解弹性力学问题时，可以把一个规模较大的结构划分为若干个规模较小的结构，每个较小结构称为一个子结构。对每个子结构单独进行分析，然后把它们连接起来，这就是子结构方法。设如图5所示的结构，将其分为三个子结构Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，每一个子结构的范围如红线所示。对每一个子结构，例如对子结构Ⅰ而言，它的全部节点可分为边界节点（位于粗黑线EAF上和红线EF上）和内部节点（位于细实线上）。边界节点的一部分（如EF上的节点）和其它子结构共用，另一部分则位于整体结构的边界上。设第i个子结构的边界节点的位移列阵为{δa}i，内部节点的位移列阵为{δb}i，相应于该子结构的网格和所受外部载荷的情况，可以建立它们的有限元方程组(15)III)II,I,(}{}{}{][iRKiibiai式中，[K]i，{R}i分别为i子结构的刚度矩阵和荷载向量。将（15）式写成分块矩阵形式(16)III)II,I,(,}{}{iRRKKKKibaibiaibbbaabaa为了将(16)式中的内部节点的位移列阵{δb}i从式中消去，首先将上式展开)(16'III)II,I,(,}{}{][}{][}{}{][}{][iRKKRKKibibibbiaibaiaibiabiaiaa由第二式)}{][}({)]([}{}{][}{}{][1iaibaibibbibiaibaibibibbKRKKRK)(16'III)II,I,(,}{}{][}{][}{}{][}{][iRKKRKKibibibbiaibaiaibiabiaiaa代入第一式，并进行整理)}{][}({)]([][}{}{][}{)}{][}({)]([][}{][11iaibaibibbiabiaiaiaaiaiaibaibibbiabiaiaaKRKKRKRKRKKKibibbiabiaiaibaibbiabiaaibibbiabiaiaibaibbiabiaiaaiaibaibbiabibibbiabiaiaiaaRKKRKKKKRKKRKKKKKKKRKKRK}{)]([][}{}{][)]([][][}{)]([][}{}{][)]([][}{][}{][)]([][}{)]([][}{}{][111111ibibbabiaiaibabbabaaiaaRKKRRKKKKK}{)]][([}({}{])[]][[]([][1*1*简记为(18)}{}{][**iaiaiaaRK其中分别为i子结构的边界刚度矩阵和边界荷载列阵。按照前面所述单元刚度方程组装成整体刚度方程完全一样的方法，将(18)式组成结构刚度方程(19)}{}{][**iiaiiaiaaRK求解方程组(19)之后，可以得到各子结构的边界节点位移{δa}i，将其各自分别代入(17)式，即可得到各子结构的内部节点位移{δb}i，也就可以计算结构中各单元的应力了。综上所述，所谓子结构方法，就有限元法理论而言，没有任何新内容，但由于一次求解的方程组阶数显著降低，因此，可以用较小容量的计算机解决计算量较大的问题。一般说来，采用子结构方法，对实际需要完成的全部计算工作量影响不大，但是，若一个结构可以划分出若干个几何形状相同的子结构时，这些相同子结构的边界刚度矩阵可以一次形成，避免了重复计算，也会收到减少计算量的效果。