第5章误差理论

491§5-1测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性492一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素：仪器原因—仪器精度的局限性,轴系残余误差等；人的原因—判断力和分辨力的限制,经验缺乏等；外界影响—气象因素如温度变化,风力,大气折光等。结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件—上述三大因素总称为观测条件观测精度—在观测条件基本相同的情况下进行的观测，称为“等精度观测”；否则，称为“不等精度观测”。493二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。495钢尺尺长误差Dk钢尺检定,尺长改正钢尺温度误差Dt钢尺检定,温度改正水准仪视准轴误差i中间法水准,前后视等距经纬仪视准轴误差C盘左盘右观测,取平均值对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）粗差由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。496（二）偶然误差（四）误差处理原则497粗差—细心观测，用多余观测和几何条来件来发现，将含有粗差的观测值剔除。系统误差—找出发生规律，用观测方法和加改正值等方法抵消。偶然误差—用多余观测减少其影响，利用几何条件检核，用“限差”来限制。三、偶然误差的特性偶然误差的定义设某一量的真值为X，对该量进行n次观测，得n个观测值，产生n个真误iilX498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为180°(真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形角度闭合差)。多次观测中寻找偶然误差的规律：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和(i+i+i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：i=180°–(i+i+i)观测数据统计结果列于表5-1,据此分析三角形内角和的真误差i的分布规律。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。499表5-1偶然误差的统计4910误差区间dΔ负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然误差的特性1.有界性：在有限次观测中，偶然误差不超过一定数值；2.趋向性：误差绝对值小的出现的频率大，误差绝对值大的出现的频率小；3.对称性：绝对值相等的正负误差频率大致相等；4.抵偿性：当观测次数无限增大时，由于正负相消，偶然误差的平均值趋近于零。用公式表示为：4911三角形闭合差的频率直方图0][limlimn21nΔnΔΔΔnn特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图6-1误差统计直方图正态分布曲线以及标准差和方差4913222π21)(eΔfσnΔΔnΔnn][][limlim2nΔnΔΔΔnnn][2222212limlim在统计理论上如果观测次数无限增多(n→∞)，而误差区间dΔ又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线”,其数学方程式为：式中参数σ称为“标准差”,其平方σ2称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：标准差的计算式：§5-2评定测量精度的标准一、中误差4914用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为“中误差”，其计算式为：nΔΔnΔΔΔm][2n2221选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合差，分别按上式在表5-2中计算中误差，得到：第1组:m1=±2.7″第2组:m2=±3.6″可见第1组的观测精度高于第2组。按观测值的改正值计算中误差次序第一组观测第二组观测观测值lΔΔ2观测值lΔΔ21180°00ˊ03-39180°00ˊ00002180°00ˊ02-24159°59ˊ59+113179°59ˊ58+24180°00ˊ07-7494179°59ˊ56+416180°00ˊ02-245180°00ˊ01-11180°00ˊ01-116180°00ˊ0000179°59ˊ59+117180°00ˊ04-416179°59ˊ52+8648179°59ˊ57+39180°00ˊ00009179°59ˊ58+24179°59ˊ57+3910180°00ˊ03-39180°00ˊ01-11Σ||247224130中误差7.221nm6.322nm4915表5-2m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1=2.7m2=3.6=xΔy　=f(Δ)(Δ)f(Δ)fm1m1m2m212m1m2++--π√22√π114916不同中误差的正态分布曲线二、相对中误差——误差绝对值与观测量之比。用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。K2K1，所以距离S2精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。0.0210.021K1=——=——；K2=——=——100500020010000解：三、极限误差根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：demdfPm22221)()(误差出现在K倍中误差区间内的概率为：kmkmmdemkmP22221)(将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|4919§5-3观测值的算术平均值及改正值一、算术平均值nlnlllnlniix][n211在相同的观测条件下，对某一量进行n次观测，观测值为li(i=1～n),取其算术平均值作为该量的最可靠的数值（故也称“最或然值”）：x算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差的特性来证明：证明算术平均值是最或然值nn2211lXlXlX4920X][lim0][lim][][nlnnnnlXn根据偶然误差特性：X][nlx按真值计算各个观测值的真误差：将上列等式相加，并除以n,得到：故算术平均值比较接近于真值，而成为最可靠的数值：二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值)v:4921n)1(～ilxvii对［vv]求极小值：0][][lxnvvi算术平均值符合最小二乘法原理min])[(][2lxvvnlxlx][,0)][(取改正值总和：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。0)][(2][lxxdxvvd§5-4观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行n次观测，求得算术平均值及观测值的各个改正值v，据此计算观测值的中误差：4922对比按真误差Δ计算中误差的公式：两者差别仅在于以（n－1）代替n，以代替真值X：1][112nvvnvmniinΔΔm][xiiiilxvlX,两式取总和并顾及偶然误差的相消性，可以证明：1][][nvvnΔΔ因此1][nvvm可以按观测值的改正值计算中误差算术平均值计算的实用公式由于各个观测值相差很小，为计算方便令其数值的相同部分为l0,差异部份为Δl，即li=l0+Δli,算术平均值的实用公式：4923nllx][01][nvvm按各个观测值的改正值计算观测值中误差的公式：按观测值的改正值计算中误差的算例（一段水平距离的多次观测）4924次序观测值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv(cm2)算术平均值及观测值中误差1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017(m)观测值中误差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26nllx][01][nvvm计算算术平均值及其中误差的小结：一、已知真值X,进行n次观测，则计算观测值的真误差与中误差。二、真值不知,则进行n次观测，计算算术平均值、改正值及其中误差。4925iilXnΔΔm][ilxivnlolx][1][nvvm中误差：真误差：中误差：改正值：算术平均值：解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VVV备注17642492764240376424247642465764248平均98315601.nVVm-4+5+3-1-3764245[V]=01625919[VV]=60距离丈量精度计算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；xxm§5-5误差传播定律4928n21dddD一、观测值的函数测量所采集的数据(量)并非都是直接观测值，而是观测值的函数。观测值的误差使其函数也具有一定的误差。例如：和差函数—...),(21xxfydD1000nlnlnlnx11121cosSD例如算术平均值例如斜距改平例如分段量距相