第5章边界层理论及其近似

EXIT1/67第5章边界层理论及其近似5.1边界层近似及其特征5.2平面不可压缩流体层流边界层方程5.3平板层流边界层的数值解5.4边界层动量积分方程5.5边界层的分离现象与速度分布特征EXIT2/675.1边界层近似及其特征1、边界层概念的提出我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:•惯性力：•粘性力：•惯性力/粘性力：因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。223VLtVLdtdVmFJVLAdydVFRe22LVVLVLFFJEXIT3/675.1边界层近似及其特征理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一个典型的例子。（D’Alembert，法国力学家，1717-1783）那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力学大师德国学者L.Prandtl通过大量实验发现：虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundarylayer）。EXIT4/675.1、边界层近似及其特征Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论，因此称其为近代流体力学的奠基人。对整个流场提出的基本分区是：（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或位流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按位势流理论处理。（3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。位流区粘流区EXIT5/675.1、边界层近似及其特征（2）边界层的有涡性粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：ozyuyuxv2、边界层的特征（1）边界层厚度定义严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用δ表示。位流区粘流区δEXIT6/675.1、边界层近似及其特征（3）边界层厚度的量级估计根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界层厚度为。惯性力：粘性力：由边界层内惯性力与粘性力同量级得到由此可见在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。22ULtULdtdVmFJ2LUAdydVFRe122LLUULFFJEXIT7/67而在的范围内，以外流的理想速度流动的理想流量是：其中，为边界层外缘速度。5.1、边界层近似及其特征（4）边界层各种厚度定义（a）边界层位移厚度假设某点P处的边界层厚度是，实际流体通过的质量流量为:eudyuueeee0eudyu0euu上述两部份流量之差是：dyuuee)(0此处u是边界层中距物面为y处的流速。EXIT8/67这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的，称为排移厚度或位移厚度，作理想流场模型的外形修正时，应该加上这一位移厚度。5.1、边界层近似及其特征01dyuuueeee011dyuuee这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值,这些多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度，其流量写为，从而11eeuEXIT9/675.1、边界层近似及其特征（b）边界层动量损失厚度在边界层内，实际流体通过的动量为：0udyue022dyuuuuueee021dyuuuueee上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部用理想的外流速度ue流动时折算的动量损失厚度δ2为：在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度ue通过的动量为：02dyuEXIT10/67（c）边界层能量损失厚度边界层内实际流体通过的动能为：在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度ue通过的动能为：0221udyue0221udyu上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部用理想的外流速度ue流动时折算的动能损失厚度δ3为:032322121dyuuuuueeee02231dyuuuueeeEXIT11/675.1、边界层近似及其特征对于不可压缩流体而言，上述各种厚度的计算公式变为:011dyuue021dyuuuuee02231dyuuuueeEXIT12/675.1、边界层近似及其特征（5）几点说明（a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被流体所通过的，允许流体穿过边界层边界线流动。相对于物面而言，流线是向外偏的，相对于边界层边界来说流线是向内偏的。此外在许多情况下对于ue和U∞往往不加以严格区别（b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，也适用于湍流。（c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。但各厚度的大小依次是:δδ1δ2U∞ueδuEXIT13/67附件LudwigPrandtl介绍Prandtl简介：1894年入Munich大学深造，1900年获博士学位，博士论文方向是弯曲变形下的不稳定弹性平衡问题研究。毕业后负责为一家新工厂设计吸尘器设备时，通过实验解决了管道流动中一些基本的流体力学问题，他所设计的吸尘器仅需要原设计功率的1/3，从此对流体力学感兴趣。LudwigPrandtl1875年2月4日出生于德国弗赖津（Freising）。其父亲是一位在Freising附近农业大学的测量学与工程教授，母亲常年有病在家。从小受父亲的影响，他对物理学、机械和仪器特别感兴趣。EXIT14/67LudwigPrandtl介绍1901年Prandtl担任汉诺威（Hanover)科技大学数学工程系的力学教授，在这里他提出边界层理论（Boundarylayertheory）并开始研究通过喷管的超音速流动问题。1904年Prandtl在德国海德堡（idelberg）第三次国际数学年会上发表了著名的关于边界层概念的论文，这一理论为流体力学中物面摩擦阻力、热传导、流动分离的计算奠定了基础，是现代流体力学的里程碑论文，从此Prandtl成为流体力学界的知名学者。此后他出任德国著名的哥廷根（Gottingen）大学应用力学系主任、教授，在这里他建造了1904-1930年期间世界上最大的空气动力学研究中心。在1905-1908年期间，Prandtl进行了大量的喷管中超音速流动问题研究，发展了斜激波（obliqueshockwave)和膨胀波（expansionwave）理论。EXIT15/67LudwigPrandtl介绍在1910年-1920年期间，其主要精力转到低速翼型和机翼绕流问题，提出著名的有限展长机翼的升力线理论（liftinglinetheory）和升力面理论；从1920年以后,Prandtl再次研究高速流动问题（highspeedflows），提出著名的Prandtl-Glauert压缩性修正准则(compressibilitycorrectionrule）。1930年以后，Prandtl被认为是国际著名的流体力学大师，1953年在哥廷根病故。Prandtl毕生在流体力学和空气动力学中的贡献是瞩目的，被认为是现代流体力学之父（thefatherofmodernfluidmechanics）,他对流体力学的贡献是可获Nobel奖的。在第二次世界大战期间（1939年9月1日-1945年9月2日），Prandtl一直在哥廷根工作，Nazi德国空军为Prandtl实验室提供了新的实验设备和财政资助。EXIT16/67LudwigPrandtl介绍普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。”普朗特指导过81名博士生，著名学者Blasius、VonKarman是其学生之一。我国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，1911–1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。陆士嘉EXIT17/67边界层位流区1.边界层流动图画粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复杂，对很多实际问题不能不作一些近似简化假设，为此考察空气流过翼型的物理图画：5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程流动分为三个区域：1.边界层：N－S化简为边界层方程2.尾迹区：N－S方程3.位流区：理想流Euler方程EXIT18/675.2、平面不可压缩流体层流边界层方程2.平壁面上边界层方程对于二维不可压缩流动，连续方程和N-S方程为：通过量级比较进行简化，可得到边界层近似方程。选取长度尺度L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定在边界层内满足下列关系：0yvxu22221yuxuxpfyuvxuutux22221yvxvypfyvvxvutvyLueEXIT19/675.2、平面不可压缩流体层流边界层方程（1）法向尺度远小于纵向尺度，纵向导数远小于横向导数（2）法向速度远远小于纵向速度（3）压强与外流速度的平方成正比将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到yxyLxLL,1,1,,Re1Re1,/,,eeeeuvuLuLtvuvutLu2eupEXIT20/675.2、平面不可压缩流体层流边界层方程N-S方程组各项量级比较:LuLuLuyvxueee1022222222221eeeeeeeexuLuLuLuuuLLuLuyuxuxpfyuvxuutu132222222222LuLuLuLuLuyvxvypfyvvxvutveeeeey两项为同一量级边界层内粘性力与惯性力同量级不可忽略，故ν的量级为:22e2,LuLuuee即：考虑到ν的量级为δ2，因此右端的最大量级为δ右括号中第一项比第二项低2个量级可略。EXIT21/675.2、平面不可压缩流体层流边界层方程在高Re数情况下δ较小可以忽略，同时忽略质量力，Prandtl边界层方程变为：0yvxu221yuxpyuvxuutu0yp)(000Uuuyvuye或边界条件：第