第5章连续时间系统的复频域分析2010

第五章、连续时间系统的复频域分析§5.1引言傅里叶级数、傅里叶变换和频域分析法引入了信号频谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理意义。但频域分析有其局限性，表现在：1、要求函数绝对可积。2、要求系统是稳定系统。3、运算复杂主要内容:拉普拉斯变换与反变换线性系统的拉斯变换分析法线性系统的模拟(方框图)信号流图与梅森公式§5.2拉普拉斯变换拉普拉斯变换在数学中是直接从积分变换的观点定义的，我们将从信号分析的角度出发，由傅里叶变换推广到拉普拉斯变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换函数f(t)不满足绝对可积条件往往是由于当︱t︱→∞时f(t)不衰减造成的，因此若人为乘上一个衰减因子e-σt，则就可能符合绝对可积条件，因而其傅里叶变换存在。dtetfdteetfetftjtjtt)()(])([])([FdtetfsFts)()(为：的函数，所以上式表示则积分结果为令sjsdesFsFetftjt)(21)]([)(1F反之：jjsttjdsesFjtfdsjdjsdesFtf)(21)(1)(21)()(双边拉普拉斯变换更常用的是单边拉普拉斯变换，定义为：dtetfsFstD)()(jjstdsesFjtf)(21)(dtetftfsFst0)()]([)(L)(])(21[)]([)(1tdsesFjsFtfjjstL与傅里叶变换一样有时也记为)()(sFtf表示它们是一对拉普拉斯变换对，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数。2、拉普拉斯变换的物理意义F:是将信号分解为无穷多个分量，每个分量的幅度为L:是将信号分解为无穷多个分量，每个分量的幅度为dejFtftj)(21)(tjedjF)(21jjstdsesFjtf)(21)(stedssFj)(21这里的s与傅里叶变换中的jω相对应，常称s为复频率，因此，拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法。在傅里叶变换中一对合成一个实信号，代表的是一个正弦分量；在拉普拉斯变换中的一对也应合成一个实信号。那么，它代表的是一个什么分量呢？tjtjee,ststee,3、的含义steA1A2B1B2C1C1*C2C2*对est有了以上认识后，再来看看拉普拉斯变换的意义。拉普拉斯变换：将f(t)沿σ-j∞→σ+j∞分解为无穷多个est分量。拉普拉斯反变换：沿σ-j∞→σ+j∞积分路径，将无穷多个est分量迭加得f(t)。傅里叶变换：则是沿路径-j∞→+j∞即虚轴的分解与迭加，因此它是拉普拉斯变换的特例§5.3拉普拉斯变换的收敛域当f(t)乘上一个因子e-σt后，f(t)e-σt有可能收敛，到底是否敛域还取决于σ的取值，这就是拉普拉斯变换的收敛域问题。仍不满足绝对可积条件满足绝对可积条件可见仍不满足绝对可积条件则若取绝对可积则若取不满足绝对可积条件例如：3;3)()(2)()(4)()(243teetfteetftetfttttt1、定义：能使f(t)e-σt满足绝对可积条件的σ的取值范围称拉普拉斯变换的收敛域在收敛域内f(t)的拉普拉斯变换F(s)存在，在收敛域外则不存在。F(s)的所有极点必须在收敛域外。2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法的收敛域。即为存在，绝对可积则时若)()()(0)(lim00sFsFetfetfttt在s平面上以σ=σ0为界将s平面分为两个区域。σ=σ0称收敛轴（边界），称σ0为收坐标，而σσ0为收敛域（不包含边界），2、常用单边拉普拉斯变换的收敛域下面将通过一些例子来总结有关单边拉普拉斯变换收敛域的一些结论。（1）、持续时间有限的单个脉冲信号对于这种信号能量有限，因此不管σ取何值总是满足，收敛域为整个s平面，拉斯变换无条件存在。0)(limttetf所以，收敛域为不包含虚轴的右半平面。)(2t）、单位阶跃信号（00)(lim只要容易看出，要tett)(3tet）、单边指数函数（只要要0lim)(lim)(ttttteete)(4tt）、单边斜变函数（相同。信号所以收敛域与单位阶跃只要容易看出，要)(00)(limtttett结论：1、在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶函数，单边拉普拉斯变换存在，有收敛域。2、能量有限的信号，单边拉普拉斯变换的收敛域为整个复平面。3、有始无终的单边函数，单边拉普拉斯变换的收敛域总是在某一收敛轴的右边。4、在收敛域中不包含极点。5、凡符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换，收敛域必定包含虚轴；反之，凡不符合绝对可积条件的函数，收敛域必不包含虚轴，傅里叶变换不一定存在。§5.4常用函数的拉普拉斯变换为常数、指数函数)(1tetsdtedteedtetfsFtssttst1)()(0)(00stet1)(s=α为极点，所以收敛域为σRe(α)stet1)(同理有了指数函数这个基本变换对，我们就可以派生出许多其他变换对。例如：（1）、ε(t))(tets1)(0ts10（2）、单边正弦函数sinω0tε(t)2020000]11[21]}[][{21]}[21{)]([sin0000sjsjsjeejeejtttjtjtjtjLLLL20200)(sinstt2020)(cossstt同理可得0收敛域为另外，衰减的正弦、余弦、双曲函数等都可用同样的方法求出。2、t的正幂函数tnε(t)（n为正整数）0011001[()]1[][()]nnstnstnstnstntttedttdesntentedtttssLL121!)]([1)]([)]([nnnnsnttsnsnttsnttLLL1!)(nnsntt等等。由此可得：3222)(,1)(sttstt3、单位冲激函数δ(t)1)(1)()]([0tdtettst即L另外，符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变换和拉普拉斯变换可以相互转化。)()(sFjFsjsj对不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。§5.6拉普拉斯变换的性质和傅里叶变换一样，拉普拉斯变换也有一些重要的性质，掌握它很重要。一方面对变换的本身可有一个深入的了解，另一方面在求拉普拉斯正变换以及拉普拉斯反变换时可简化我们的运算。两种变换的性质有些是相似的，而有些是有区别的，要注意它们的相似之处和不同之处不要混淆。还要注意的是这些性质都是针对单边拉普拉斯变换的。)()(,)()(2211sFtfsFtf为常数2122112211,)()()()(aasFasFatfatfa2、尺度变换)()(sFtf的常数为大于0)(1)(aasFaatf若：则：1、线性若：则：3、时间平移若：)()()(sFttf则：0)()()(00stesFttttf例1：f(t)如图求F(s)。解：)()()(Ttttf)1(111)]([)]([)(sTsTesessTttsFLL例2:如图有始周期函数f(t)，若其第一个周期的函数记为f1(t)，且)()(11sFtf求F(s)。解：)2()()()(111TtfTtftftf01121111)()()()()()(nsTnsTsTsTesFesFesFesFsFsF由这个例子我们可以得出二个结论：1、对于周期为T的有始周期函数，求其拉普拉斯变换只要求其第一个周期的变换，然后再乘以。sTe112、反之若见到象函数的分母含有因子sTe1就应想到其原函数为有始周期函数，所以做反变换时也只要做第一个周期的反变换，然后再以T为周期延拓。例3：已知sTesF11)(求f(t)。sTsTsTeeesF21111)(解：令sTesF1)(1)()()(1Ttttf从而：01)2()(nnTtftff1(t),f(t)如图：由图我们可以写出f(t)更简洁的形式：0)()1()(nnnTttf4、复频域平移若：)()()()(00ssFetfsFtfts则例如：由200202002)()cos()()sin(ssttstt可得：202020200)()()cos()()()sin(ssttesttett又如由21)(stt可得2)(1)(sttet5、时域微分若：)0()()()()(fssFdttdfsFtf则证明：0000)0()()()()()(])([fssFdtetfsetftdfedtedttdfdttdfststststL本性质可推广到n阶导数，即：)0()0()0()0()0()()()1()2(//3/21nnnnnnnnfsffsfsfssFsdttfd(0),(0)ff()ft000()ft0000说明：这里的是指函数及其各阶导数在时刻的值，如果都取时刻的值也是可以的，这常称为系统。当及其它的各界导数在和它们的拉普拉斯变换是不同的，但本性质还是因此本书采用系统。的值不同时，适用的。由于在分析系统时用系统比较方便，6、时域积分tssFdfsFtf0)()()()(则若：ssFdtetfsdfesdedfsdtedfdfsttststtsttt)()(1)(1])([1])([])([00000000L证明：本性质也可推广到多重积分的情况。sdxxFttfsFtf)()()()(则若：积分sstsxtsxtsdxxFttfdtettfdtdxetfdxdtetfdxxF)()()(])[(])([)()(:000积分证明7、复频域微分与积分dssdFttfsFtf)()()()(则若：微分8、对参变量的微分与积分2121),(),(),(),(),(),(aaaadsFdtfsFtfsFtf则：为参变量其中若：)()()(sFttetft求已知例：stet1)(解：222)(1)()(1]1[)()]([)2()(1]1[)()()1(ssFssttetessdsdttetfttt使用参变量微分性质：、、使用微分性质：9、初值定理：若函数f(t)存在导数f/(t)，且f(t)↔F(s)，f/(t)存在拉普拉斯变换。)(lim)0(ssFfs则：00000()()(0)()()()()(0)()(0)(0)lim()(0)ststststsdftsFsfdtdftdftdftsFsfedtedtedtdtdtdtdftffedtdtsFsf证明：由时域微分性质即：两边求极限得如果f(t)在t=0处有冲激及其导数存在，则F(s)为假分式，可分解为s的多项式与真分式之和：)()