第5讲常微分方程数值解

常微分方程数值解《数值分析》第五讲第五章：常微分方程数值解§5.1引言1、常微分方程与解为n阶常微分方程。0),,'',',,()(nyyyyxF如果函数在区间[a,b]内n阶可导，称方程)(xyy)(xyy满足方程的函数称为微分方程的解。则如为任意常数）xy2'CCxy(,2为方程的解,一般称为方程的通解。12xy如果则有1)0(y为方程满足定解条件的解。第五章：常微分方程数值解CCxy1212xy方程的通解满足定解条件的解微分关系（方程）解的图示第五章：常微分方程数值解本教材重点讨论定解问题(初值问题）定解条件（初始条件）00)(),('yxyyxfy),(yxf是否能够找到定解问题的解取决于仅有极少数的方程可以通过“常数变易法”、“可分离变量法”等特殊方法求得初等函数形式的解，绝大部分方程至今无法理论求解。如xyxyeyxyxyy2',1'),sin('sin2等等2、数值解的思想第五章：常微分方程数值解（1）将连续变量离散为],[baxbxxxxank10nkxyykk,,2,1)(（2）用代数的方法求出解函数在点的近似值)(xyykx)(kxy*ky)(xyy数学界关注工程师关注如果找不到解函数数学界还关注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振动性解的周期性解的稳定性解的混沌性解的分岔性……§5.2Euler方法kp1p1npnpkx0x1x1nxnx第五章：常微分方程数值解第一步：连续变量离散化,,,,,10nkxxxxx第二步：用直线步进·····1、Euler格式))((')()())((')(01001000xxxyxyxYxXxyxyY作直线：))((')())(('12112111xxxyyxYxXxyyY同理，01000111xxhyxhfxyxYyxy),,()()()(令：12111222xxhyxhfyxYyxy),,()()(令：)))((,()()(010001xxxyxfxyxY0p))(,(00xyx)))((,()(121112xxxyxfyxY))((')())(('nnnnnnnnxxxyyxYxXxyyY11同理，nnnnnnnnxxhyxhfyxYyxy1111),,()()(解得：Euler格式例P106第五章：常微分方程数值解10102)(/'yxyxyy初值问题Bernoulli型方程nyxQyxPdxdy)()(非线性方程xydxdyxydxdyyxyydxdy221222221CdxexQeyxQyxPdxdydxxpdxxp)()()()()(的解补充：一阶线性方程常数变易法242yzxzdxdz其中第五章：常微分方程数值解CdxxeeCdxxeezxxdxdx222244CxdexeeCxdeexxxxx22222222CxCeexxx21222xyCC210112又xy21为：即原初始问题的解析解得公式由),(1nnnnyxhfyyEulernnnnnyxyhyy21xzdxdz42第五章：常微分方程数值解令10.h将1000yx,代入Euler格式计算得x精确值Euler方法Euler方法误差01.00000001.00000000.00000000.11.09544511.10000000.00455490.21.18321601.19181820.00860220.31.26491111.27743780.01252680.41.34164081.35821260.01657180.51.41421361.43513290.02091940.61.48323971.50896630.02572660.71.54919331.58033820.03114490.81.61245151.64978340.03733190.91.67332011.71777930.044459311.73205081.78477080.0527200第五章：常微分方程数值解Euler值xy212、Euler格式的误差分析第五章：常微分方程数值解11)()(nnnnyxyxyy的前提下，讨论即假定ny1ny)(xynx1nx事实上Euler格式的每一步都存在误差，为了方便讨论算法的好坏，假定第n步准确的前提下分析第n+1步的误差，称为局部截断误差。定义1阶精度。则称计算格式具有如果phohOyxyppnn)()()(111定义2第五章：常微分方程数值解),()(''21)(')()(211nnnnnnnyxhfyhyhxyxyyxy))(,()()(''21)(')(2nnnnnxyxhfxyhyhxyxy)()()(')(''2)('22hohOhxyyhhxynnEuler格式的误差即Euler格式具有一阶精度将在点Taylor展开)(1nxynx1ny的计算格式nx1nx第五章：常微分方程数值解3、Euler格式与后退Euler格式),()(')()(1nnnnnyxfxyhxyxy令),()()(1nnnnyxhfxyxy得),(1nnnnyxhfyy令1nyEuler格式的值),()(')()(1111nnnnnyxfxyhxyxy令),()()(111nnnnyxhfxyxy得),(111nnnnyxhfyy令1~ny后退Euler格式的值隐式格式第五章：常微分方程数值解),(111nnnnyxhfyy4、后退格式的精度)('))(,(),()(nnnnnnnxyxyxfyxfxyy则如果假定)(')(11nnnxhyxyy在上述假设下有)('))(,(),(11111nnnnnxyxyxfyxf2)('''21)('')(')(hxyhxyxyhxynnnn32)('''21)('')(')(hxyhxyxhyxynnnn局部误差分析的要求第五章：常微分方程数值解321321)('''61)(''21)(')()()('''21)('')(')(hxyhxyhxyxyxyhxyhxyxhyxyynnnnnnnnnn)()()(''21)(2211hohOhxyyxynnn得对照即后退Euler格式具有1阶精度第五章：常微分方程数值解),(),(),(),(111111122nnnnnnnnnnnnnnyxhfyxhfyyyxhfyyyxhfyy3、梯形格式得梯形格式)],(),([1112nnnnnnyxfyxfhyynx1nx1nyEuler格式的值1~ny后退Euler格式的值第五章：常微分方程数值解2~11nnyy)(1nxy梯形格式几何解释)],(),([1112nnnnnnyxfyxfhyy第五章：常微分方程数值解)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy4、梯形格式的精度)('))(,(),()(nnnnnnnxyxyxfyxfxyy则如果假定)('2)('2)(11nnnnxyhxyhxyy进而有)('))(,(),(11111nnnnnxyxyxfyxf2)('''21)('')('2)('2)(hxyhxyxyhxyhxynnnnn32)('''41)(''21)(')(hxyhxyxhyxynnnn局部误差分析的要求第五章：常微分方程数值解321321)('''61)(''21)(')()()('''41)(''21)(')(hxyhxyhxyxyxyhxyhxyxhyxyynnnnnnnnnn)()()('''121)(23311hohOhxyyxynnn得梯形格式5、改进的Euler格式),(nnnnyxhfyy1)],(),([1112nnnnnnyxfyxfhyy预测校正第五章：常微分方程数值解)],(),([1112nnnnnnyxfyxfhyy隐式格式为方便计算，一般用以下改进格式计算用改进格式计算例5.1的结果为x精确值Euler方法改进Euler方法Euler方法误差改进Euler误差01.00000001.00000001.00000000.00000000.00000000.11.09544511.10000001.09590910.00455490.00046400.21.18321601.19181821.18409660.00860220.00088060.31.26491111.27743781.26620140.01252680.00129030.41.34164081.35821261.34336020.01657180.00171940.51.41421361.43513291.41640190.02091940.00218840.61.48323971.50896631.48595560.02572660.00271590.71.54919331.58033821.55251410.03114490.00332080.81.61245151.64978341.61647480.03733190.00402320.91.67332011.71777931.67816640.04445930.004846311.73205081.78477081.73786740.05272000.0058166第五章：常微分方程数值解第五章：常微分方程数值解6、预测精度的改进—两步Euler格式第五章：常微分方程数值解),()(')()(nnnnnyxfxyhxyxy211如果令nx1nx1nx)('nxyhyynn1hyynn211hyynn1第五章：常微分方程数值解),()(nnnnyxhfyxy211整理得格式为两步则称Euleryxhfyynnnn),(211),()(''')('')(')()(nnnnnnnnnyxhfyhxyhxyhxyxyyxy2612113211则有nnnnyxyyxy)(,)(11假定326121hxyhxyhxyxynnnn)(''')('')(')())(,()(nnnxyxhfxy21)()()('''23331hohOhxyn)(')(''')('')(')()(''')('')(')(nnnnnnnnnxhyhxyhxyhxyxyhxyhxyhxyxy2612161213232两步Euler格式具有2阶精度。因此可得具有2阶精度的Euler改进格式),(nnnnyxhfyy211)],(),([1112nnnnnnyxfyxfhyy预测校正第五章：常微分方程数值解问题：精度还能提高吗？§5.3Lunge-Kutta方法1、二阶Lunge-Kutta方法（P113-P115)第五章：常微分方程数值解依据精度要求的待定系数法令101pxxphxxnnnpn),,(),(nnyxfK1)(22111KKhyynn),(pnpnyxfK2使计