第6章_两自由度系统的振动

118第六章两自由度系统的振动§6.1概述前一章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，有广泛的应用价值。但在实际工程问题中，经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题。因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究方法有质的不同。但从两自由度系统到多自由度系统的振动，无论从模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等，却没有什么本质上的区别，而主要是量上的差别。因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。所谓两自由度系统是指用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度系统的振动系统。图6-1所示的磨床磨头系统为例来分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的、具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而砂轮架与进刀拖板的结合看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1及x2就是用以确定磨头系统运动位置的两个彼此独立的参数，也就是这个振动系统的广义坐标。1k2k2k1k2m1m1x2x)(a)(b图6-1两自由度系统及其动力学模型在多自由度系统中，阻尼的作用与在单自由度系统中的作用相同。因此，为了使数学式简化，并突出振动特性，故本章在分析两自由度系统振动的基本规律时，没有把阻尼引入系统。119§6.2两自由度系统的自由振动6.2.1系统的运动微分方程以图6-2的双弹簧系统为例。设弹簧的刚度分别为k1、k2，质量为m1、m2。质量的位移分别用x1、x2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。1k2k1m2m11xk)(122xxk)(122xxk1m2m1x2x图6-2双弹簧系统在振动过程中的任一瞬间t，m1和m2的位移分别为x1及x2。此时，在质量m1上作用有弹性恢复力k1x1及k2(x2－x1)，在质量为m2上作用有弹性恢复力k2(x2－x1)。这些力的作用方向如图所示。应用牛顿第二定律或达朗贝尔原理，均可建立该系统的振动微分方程式：0)(0)(122221221111xxkxmxxkxkxm(6-1)令121mkka，12mkb，22mkc则(6-1)式可改写成如下形式：00212211cxcxxbxaxx(6-2)这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。在第一个方程中包含2bx项，第二个方程中则包含1cx项，称为“耦合项”。这表明，质量m1除收到弹簧k1的恢复力的作用外，还收到弹簧k2的恢复力的作用，而且k2弹簧的变形是m1和m2之间的相对位移。质量m2虽然只受到一个弹簧k2恢复力的作用，但这个恢复力又受到第一质点m1位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。有时，在振动微分方程组中还会出现加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。有关耦合的概念将在下一章中详细讨论。6.2.2固有频率和主振型从单自由度振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组(6-2)式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。120设在振动时，两个质量按相同的频率和相同的相位角作简谐振动。故可设方程租(6-2)式的特解为：)sin()sin(2211tAxtAxnn(6-3)其中振幅A1与A2、频率n、初相位角都有待于确定。对(6-3)式分别取二阶导数：)sin()sin(222211tAxtAxnnnn(6-4)将(6-3)、(6-4)式代入(6-2)，并加以整理后得：0)(0)(221212AccAbAAann(6-5)(6-5)式是A1、A2的线性齐次代数方程组，它的一个解是A1＝A2＝0，将其代入(6-3)后，引出了x1＝x2＝0。这只是系统处于平衡位置的情况，而不说明振动的任何性质，所以显然不是我们所要的振动解。要使A1、A2有非零解，则(6-5)式的系数行列式必须等于零，即：022nnccba将上式展开得：0))((22bccann即0)()(24baccann(6-6)解上列方程，可得到如下的两个根：)()2(2222,1baccacanbccaca2)2(2(6-7)因为(6-7)式中的根式永为正值，且(a-b)也是正值，故(6-7)式中的根式永远小于2ca。所以21n及22n是两个正实根。因此，可以从中得到两个带正号或者带负号的频率1n及2n，但在实用中当然只考虑正根。由此可见，(6-6)式是决定系统频率的方程，故称为频率方程或特征方程。特征方程的特征值n只与参数a、b、c有关，而这些参数又只决定于系统的质量m1、m2和刚度121k1、k2，即频率n只决定于系统本身的物理性质，故称n为系统的固有频率，也称之为主频率。两自由度系统的固有频率有两个，即1n及2n，且21nn。我们把1n称为系统的第一主频率，或第一阶固有频率，亦称基频。把2n称为系统的第二主频率，或第二阶固有频率。理论证明，n个自由度系统的频率方程是2n的n次代数方程，在无阻尼的情况下，它的n个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统的自由度数相等。将所求得的1n和2n代入(6-5)式中得：2222)2(1)2(222121)1(1)1(21nnnnccbaAAccbaAA(6-8)式中：)1(1A，)1(2A，——对应于1n的质点m1，m2的振幅；)2(1A，)2(2A，——对应于2n的质点m1，m2的振幅；由此可见，对应于1n与2n，振幅A1与A2之间有两个确定的比值1与2，这个比值称为振幅比。虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却只决定于系统本身的物理性质。将(6-8)式与(6-3)式联系起来还可以看出，两个质量m1与m2任一瞬间位移的比值x2／xl也是确定的，并且等于振幅比A2／A1。系统其它各点的位移都可以由xl及x2来决定。这样，在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可以出振幅比确定，也就是振幅比决定了整个系统的振动形态。因此，我们将振幅比称为系统的主振型。也可称为系统的固有振型。其中：1——第一主振型，即对应于第一主频率1n的振幅比；2——第二主振型，即对应于第二主频率2n的振幅比。当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系统的主振动。所以，第一主振动为：)sin()sin()sin(11)1(1111)1(2)1(211)1(1)1(1tAtAxtAxnnn(6-9)第二主振动为：)sin()sin()sin(22)2(1222)2(2)2(222)2(1)2(1tAtAxtAxnnn(6-10)为了进一岁研究主振型的性质，可以将(6-7)式改写成如下形式：因为bccacan222,1)2(2122所以bccacaaan221)2(2bccaca2)2(2因为上式的等式右边恒大于零，所以021na。由(6-8)式可知，10。又因为bccacaaan222)2(2bccaca2)2(2因为上式的等式右边恒小于零，所以022na。由(6-8)式可知，20。由此可见，10表示)1(1A和)1(2A的符号相同，即第一主振动中两个质点的相位相同。因此，若系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时达到最大偏离位置，如图6-3(a)所示，而20表示)2(1A和)2(2A的符号相反，即第二主振动的两个质点的相位相反，永远相差180°。因此，若系统按第二主振型进行振动，两个质点就同时向相反方向运动，当质量m1到达最低位置时，质量m2恰好到达最高位置。它们一会相互分离，一会又相向运动，如图6-3(b)所示。这样，在联系m1和m2之间的弹簧上就会出现这样一点，它在整个第二主振动的任何瞬间的位置都不改变，这样的点称为“节点”。由于振动系统在节点处不动，因而振幅受节点的限制就不易增大。1m1m1m1k1k1k2m2m2m2k2k2k1o1o2o2o1x1x2x2x)1(1A)1(2A)2(2A)2(1A)(a)(b图6-3两自由度振动系统的主振动和主振型振动理论证明，多自由度系统的i阶主振型一般有i－1个节点。这就是说，高一阶的主振型比前一阶主振型多一个节点。阶次越高的主振动，节点数越多，故其相应的振幅就越难增大。相反，低阶的主振动由于节点数少，故振动就越容易激起。所以，在多自由度系统中，低频主振动比高频主振动危险。1236.2.3系统对初始条件的响应前面分析了两自由度系统的主振动，而这些主振动又都是简谐振动。但两自由度系统在受到干扰后出现的自由振动究竟是什么形式呢？这要取决于初始条件。从微分方程的理论来说，两阶主振动(6-9)式及(6-10)式只是微分方程组(6-2)式的两个特解。而(6-2)式的通解则应该由这两组特解相叠加组成。从振动的实践来看，两自由度受到任意的初干扰时，一般来说，系统的各阶主振动都要激发。因而出现的自由振动应是这些简谐振动的合成。所以，在一般的初干扰下，系统的响应是：)sin()sin()sin()sin(22)2(1211)1(11222)2(111)1(11tAtAxtAtAxnnnn(6-11)式中，)1(1A、)1(2A、1、2四个未知数要由振动的四个初始条件来决定。设初始条件为：t＝0时，101xx，202xx，101xx，202xx。经过运算，可以求出：20101201012122010220102111222010122010121)2(1212010222010212)1(1)()()()(1)()(1xxxxtgxxxxtgxxxxAxxxxAnnnn(6-12)将(6-12)式代入(6-11)式，就得到系统在上述初始条件下的响应。6.2.4振动特性的讨论1.运动规律从(6-11)式可以看出，两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。但从(6-7)式来看，这两个分振动的频率1n与2n的比值却不一定是有理数，因此合成振动不一定呈周期性。所以系统的自由振动一般来说是一种非周期的复杂运动，或是一种似周期振动。在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但由于低阶振型易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在某种特殊的初始条件下，系统才按一种主振型进行振动。例如，对于图6-2所示的双弹簧质量系统，若将质量m1和m2象第二主振型那样向相反方向按比例拉开，使位移的比例正好符合2的要求，然后无初速地释放。在这种情况下激发起来的系统自由振动就是第二主振动。2.频率和振型两自由度