第6章二次型14

线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型第六章实对称矩阵与实二次型6.1欧氏空间6.2实对称矩阵对角化6.3二次型及其矩阵表示6.4化二次型为标准形6.5正定二次型与正定矩阵线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型学习要点：1.了解向量的内积、长度及正交等知识.2.掌握实对称矩阵的对角化方法.3.重点掌握实二次型的标准化方法，主要有正交变换和配方法两种常用方法：4.了解正定二次型的性质、判定和应用.线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型TnTnyyyyxxxx),,,(,),,,(21211122(,)TTnnxyxyxyxyxyyx称(x,y)为向量x与y的内积.令定义6.1(内积的定义)设有n维向量定义了内积的实向量空间称为Euclid空间.6.1欧氏空间线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型2(,)(,)(,)xyxxyy定理6.1(Cauchy-Schwarz不等式)即niiniiniiiyxyx12122122212(,),nxxxxxx定义6.2（向量的长度）长度（或范数）.称为n维向量x的x线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型(,)arccos(0)xyxy定义6.3（单位向量）当时，称x为n维单位向量.1x定义6.4（向量的夹角）在欧氏空间V中，所确定.任意两个非零向量的夹角由定义6.5（向量的正交）在欧氏空间V中，若，(,)0xy称向量x和y正交.向量是与同方向长度是1的向量，称为对单位化.1若x=0，则显然x与任何向量都正交.线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型若一个不含零向量的向量组中的向量两两正交:，则称该向量组为正交向量组.又如果这些向量都是单位向量:，则称该向量组为标准正交向量组.若该向量组是一个向量空间V的基，又分别称为向量空间V的正交基和标准正交基.(,)0()ijijr,,,211i定义6.6（标准（规范）正交基）线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型例如:100,010,001321eee是向量空间R3的一个标准正交基(通常称为自然基).010,00121ee再如:是下面向量空间V的一个标准正交基.),span(})0,,(|{21213eexxxRxVT线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型,0021111T由.01从而有.02r同理可得.,,,21线性无关故r使又设有数r,,,21，02211r得左乘上式两端以,1aT，0111T证明,α,,ααr21设是正交向量组正交向量组必线性无关.定理6.2线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型00200032132121AxxxxxxxxxTT解这相当于要求下面齐次方程组的非零解12111121TTA求得基础解系(即为所求)为1013121,11121已知R3中两个正交向量试求使构成R3的一个正交基.3321,,例6.1线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型设是向量空间V的一个基(坐标系),如何在向量空间V中建立(标准)正交基(坐标系)?r,,,21这个问题就是…找与等价的正交向量组r,,,21r,,,21问题线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型以三个向量为例,从几何直观上去求.321,,112212111211上式两边与做内积,又得112(,)012111(,)(,)从而1222111(,)(,)线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型我们求得已正交,再来求21,3123112222113)1(221133(1)式两边与内积,注意11213(,)(,)013111(,)(,)得(1)式两边再与内积,类似可得223222(,)(,)132333121122(,)(,)(,)(,)从而线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型11,,,1112122111122221111],[],[],[],[],[],[rrrrrrrrr222321113133],[],[],[],[设线性无关r,,,21令则两两正交,且与等价.r,,,21r,,,21111/222/rrr/是与r,,,21等价的标准正交组定义6.7（施密特正交化过程）线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型两两正交,可用数学归纳法严格证明.r,,,21与等价,这是因为(只需看三个)r,,,211111222r32231133rr1121122r22311333rr100101],,[],,[231312321321rrr1231312321321100101],,[],,[rrr线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型TTTaaa)1,1,5,3(,)4,0,1,1(,)1,1,1,1(321Tab1,1,1,1111112122,,bbbababTT1,1,1,111114114,0,1,1T3,1,2,0222321113133],[],[],[],[bbbabbbbababTTT3,1,2,014141,1,1,1481,1,5,3T0,2,1,1解由施密特正交化过程例6.3求线性无关向量组的一个标准正交基。线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型再单位化111121111bb3120141222bb021161333bb线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型A是正交矩阵定义6.8（正交矩阵）若n阶方阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵.等价定义A的列组是标准正交组A的行组是标准正交组AAT=EA-1=AT线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型100010001212221212111nTnTnTnnTTTnTTTnjijijiijjTi,,2,1,,0,1当当],,,[21nA记EnTnTT],,,[2121EAAT证(只证第三条)线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型(1)A是正交矩阵，则A-1和A*都是正交矩阵；(2)A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3)A是正交矩阵，则；1A(4)P是正交矩阵，则，nRxxPx,即正交变换保持向量的长度不变。1AAAEAAA2*11())(TTAAAAEA22)()(xxxPxPxPxPxPxTTTT性质6.4线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型例6.4设方阵,2TTEA其中为非零n维列向量,E为n阶单位矩阵，证明：A为对称的正交矩阵.证明由于是一个矩阵，即一个数，故有T11AEEATTTTTTT22所以A为对称矩阵.又由于TTTTTEEAA2.2TTTTTTTE2422244TTTTTEEETTTT44所以A为正交矩阵.线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型使得求设321,,)1,1,1(31T成为],,[321P解321321100xxxxxxxT即设求得基础解系待定令),0(1,0132ttxx,11,01132tt为使,只要取t=2，从而得正交的基础解系02],[32t,211,01132再单位化:21161,0112132.],,[321为正交矩阵则P练习正交矩阵.线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型作业：P1591（2）,4（1），7,8线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.实对称矩阵的特征值必为实数.(证明自学)从而特征向量可取到实的.证明21222111,,AA21221211111TTTTTAA0)(2112T021T6.2实对称矩阵对角化定理6.3定理6.4线性代数ChinaUniversityofMiningandTechnology实对称矩阵与实二次型三阶实对称矩阵A的特征值为，例6.61,1321对应于的特征向量为，求11T1,1,01132的全部特征向量.解设对应的特征向量为，132Txxx321,,由定理6.4可知它与正交.1所以有032xx则A的对应于特征值的全部特征向量为13211000121321kkxxxRkk21,且不全为零