高中数学选修2-1模块复习资料

模块复习提升课一常用逻辑用语,[学生用书P76])1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若¬p，则¬q逆否命题若¬q，则¬p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②充分不必要条件：p⇒q，q⇒/p；③必要不充分条件：q⇒p，p⇒/q，④既不充分也不必要条件：p⇒/q，且q⇒/p.3．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，¬p.(2)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断．p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与¬p必定是一真一假．4．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题．全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与特称命题．存在量词用符号“∃”表示．特称命题用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若¬p，则¬q”；命题的否定为“若p，则¬q”．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．3．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．四种命题及其关系[学生用书P76]设命题为“若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0有实数根”，该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为________．【解析】命题的否定：若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；逆命题：若关于x的方程x2－x－k＝0有实数根，则k＞0.假命题；否命题：若k≤0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根，则k≤0.真命题．【答案】3四种命题的写法及其真假的判断方法(1)四种命题的写法①明确条件和结论：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题；②应注意：原命题中的前提不能作为命题的条件．(2)简单命题真假的判断方法①直接法：判断简单命题的真假，通常用直接法判断．用直接法判断时，应先分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证；②间接法：当命题的真假不易判断时，还可以用间接法，转化为等价命题或举反例．用转化法判断时，需要准确地写出所给命题的等价命题．写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则x－2＋(y＋1)2＝0，真命题．否命题：若x－2＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．逆否命题：若x≠2或y≠－1，则x－2＋(y＋1)2≠0，真命题．充分、必要条件的判断及应用[学生用书P77](1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x＜a}，则“a＞5”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由正弦定理，知a≤b⇔2RsinA≤2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA≤sinB．故选A.(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a＞4，而a＞5⇒a＞4，且a＞4⇒/a＞5，所以“a＞5”是“A⊆B”的充分不必要条件．【答案】(1)A(2)A判断充分、必要条件的方法集合法：即看集合A和B的包含关系．①若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．②若AB，则A是B的充分不必要条件；③若AB，则A是B的必要不充分条件；④若A＝B，则A，B互为充要条件；⑤若A⊆/B，且A⊇/B，则A是B的既不充分也不必要条件．已知p：x2－8x－200，q：x2－2x＋1－a20，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．解：设A＝{x|x2－8x－200}＝{x|x－2或x10}，B＝{x|x2－2x＋1－a20}＝{x|x1－a或x1＋a}，由于p是q的充分而不必要条件，可知AB.从而a0，1－a≥－2，1＋a10或a0，1－a－2，1＋a≤10，解得0a≤3.故所求正实数a的取值范围为(0，3]．含有逻辑联结词的命题[学生用书P77](1)命题p：正数的对数都是负数；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是()A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．¬p为假命题D．¬q为假命题(2)设集合A＝{x|－2－a＜x＜a，a＞0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是________．【解析】(1)例如∃x01，logax0＞0(a1)，所以命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝－x＋1，x≤0，－x＋2，x0.综上可知，“p或q”是假命题，故选B.(2)若p为真命题，则－2－a＜1＜a，解得a＞1.若q为真命题，则－2－a＜2＜a，解得a＞2.依题意得p与q一真一假，若p真q假，则a＞1，a≤2，即1＜a≤2.若p假q真，则a≤1，a＞2，a不存在．综上1＜a≤2.【答案】(1)B(2)(1，2]判断含有逻辑联结词的命题真假的方法(1)先确定简单命题p，q.(2)分别确定简单命题p，q的真假．(3)利用真值表判断所给命题的真假．1.已知命题p：若a1，则axlogax恒成立；命题q：在等差数列{an}中(其中公差d≠0)，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)，则下面选项中真命题是()A．¬p∧¬qB．¬p∨¬qC．¬p∨qD．p∧q解析：选B.对于命题p，如图所示作出函数y＝ax(a1)与y＝logax(a1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a1时，函数y＝ax的图象在函数y＝logax图象的上方，即a1时，axlogax恒成立，故命题p为真命题．对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充要条件，故命题q为假命题．所以¬p为假，¬q为真，所以p∧q为假，¬p∨q为假，¬p∧¬q为假，¬p∨¬q为真．2．设命题p：c2＜c和命题q：∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，则实数c的取值范围是________．解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命题p：0＜c＜1，所以命题¬p：c≤0或c≥1.又由(4c)2－4＜0，得－12＜c＜12，即命题q：－12＜c＜12，所以命题¬q：c≤－12或c≥12，由p∨q为真，知p与q中至少有一个为真，由p∧q为假，知p与q中至少有一个为假，所以p与q中一个为真命题，一个为假命题．当p真q假时，实数c的取值范围是12≤c＜1.当p假q真时，实数c的取值范围是－12＜c≤0.综上所述，实数c的取值范围是－12＜c≤0或12≤c＜1.答案：－12，0∪12，1全称命题与特称命题[学生用书P78](1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1(2)若命题“∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即lnx≠x－1，故选A.(2)因为∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0是真命题，所以方程x20＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1.【答案】(1)A(2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)全称命题、特称命题真假判断(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题为假．1.已知命题p：∀x0，总有(x＋1)ex1，则¬p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x00，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1解析：选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x0，总有(x＋1)ex1的否定是¬p：∃x00，使得(x0＋1)ex0≤1.2．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a0)，若∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是()A．0，12B．12，3C．(0，3]D．[3，＋∞)解析：选D.由函数的性质可得函数f(x)＝x2－2x的值域为[－1，3]，g(x)＝ax＋2的值域是[2－a，2＋2a]．因为∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，所以[－1，3]⊆[2－a，2＋2a]，所以2－a≤－1，2＋2a≥3，解得a≥3.,[学生用书P147(单独成册)])[A基础达标]1．命题“若a0，则a20”的逆命题是()A．若a0，则a2≤0B．若a20，则a0C．若a≤0，则a20D．若a≤0，则a2≤0解析：选B.交换原命题的条件和结论即可得其逆命题．2．若命题p：x＝2且y＝3，则¬p为()A．x≠2或y≠3B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3D．x≠2或y＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p：x≠2或y≠3.故选A.3．下列表述错误的是()A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβB．命题“若a∈M，则b∉M”的等价命题是“若b∈M，则a∉M”C．“x2”是“x24”的充分不必要条件D．对任意的φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数解析：选D.当α＝0，β＝π3时，tan0＋π3＝tan0＋tanπ3成立，故选项A正确．对于选项B、C，显然正确．在D中，存在φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋φ)是偶函数，D错误．4．设p：log2x0，q：12x－11，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p：log2x0⇔0x1；q：12x－11⇔x1，所以p⇒q但q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件，故选B.5．已知命题p：∃x0∈R，x0－2lgx0，命题q：∀x∈R，x20，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(¬q)是真命题D．命题p∨(¬q)是假命题