第6章多项式矩阵理论

第六章多项式矩阵理论（数学基础部分）引言（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用）50年代以前，以控制理论和电路理论为两大支柱的线性系统理论已经发展成为相当成熟的“经典线性系统理论”。经典线性系统理论的主要特征：研究对象→线性定常单变量系统；数学工具→复变函数（特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换）；研究方法→频率响应法；理论优点→输入、输出和反馈信号的物理概念清晰、易于测量；理论缺点→⑴只能反映系统的外部特性和行为，是一种外部描述法；⑵设计自由度小、指标模糊，需要反复试凑才能完成任务。科学家：在频域中通过传递函数矩阵探求与时域中状态空间法并行的有益结果。50年代以后，宇航事业、过程控制和计量经济学等的发展，被研究对象从简单的单变量系统发展成规模庞大、结构复杂的多边量系统，人们为了建立精确的模型还要考虑到系统具有的非线性和时变特性。Bellman和Kalman等学者借助于状态概念建立了“现代控制理论”。现代控制理论的主要特征：研究对象→复杂的多变量系统；数学工具→线性代数；研究方法→状态空间法；理论优点→揭示系统的内部、外部特性和行为，设计自由度大、目标明确；理论缺点→⑴建立复杂系统的状态空间表达式（动态方程）非常困难；⑵状态变量的物理概念比较隐晦、且并不总具备可测量特性。本章主要内容多项式矩阵理论是线性系统复频域理论的主要数学基础，这里主要学习与多项式、多项式矩有关的数学知识：1.多项式及其互质性2.多项式矩阵极其属性3.多项式矩阵的初等变换、多项式矩阵的行（列）次4.行(列）既约多项式矩阵、多项式矩阵互质性5.多项式矩阵的Smith规范型、线性矩阵束sE-A和Kronecker规范型1963年，V.Belevitch：将多项式矩阵的互质性与Kalman提出的可控性、可观测性联系起来。1970年，H.Rosenbrock：系统地研究了多项式矩阵表达式与状态空间表达式之间的关系；并提出了解耦零点的概念。随后，大量的学者投身于线性定常系统的多项式矩阵描述、传递函数矩阵的矩阵分式描述方面的研究。在频域中通过传递函数矩阵获得的与时域中状态空间法并行的有益结果：传递函数矩阵的矩阵分式描述法（MFD—MatrixFractionDescription）；系统的多项式矩阵描述法（PMD—PolynomialMatrixDescription）。6.1多项式及其互质性)16(,2,1,0,,,)(0111niRdCsdsdsdsdsdinnnn)26()(deg)(deg)()()()(sdsrsrsdsqsn1多项式及其性质以复数s为自变量的实系数多项式d(s)d(s)的次数：n=degd(s)；d(s)为n次多项式：最高次幂系数dn≠0；首一多项式：最高次幂系数dn=1。必为首一多项式。均为首一多项式，、若，若当且仅当)()()()()5()];(deg),(max[deg)]()(deg[0)()()4(;0)]()(deg[,0)(deg)(deg)3();(deg)(deg)]()(deg[)2(;0)()()1(snsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsd定理6-1(欧几里德除法定理)设d(s),n(s)∈R[s]且d(s)≠0,则存在唯一的q(s),r(s)∈R[s]，使得多项式的性质：设多项式d(s)，n(s)∈R[s],d(s)≠0,n(s)≠0证明：情况1：degn(s)＜degd(s),则q(s)=0,r(s)=n(s)情况2：degn(s)≥degd(s),则采用长除法直接用d(s)去除n(s)得到商式和余式，商式便是q(s)，余式便是r(s)。这里q(s)的最低次幂≥0。下面证唯一性。设除了商式q(s)和余式r(s)外，还有商式q1(s)和余式r1(s)，则)59()()22()(225942217242213022,2)(,132)(222323223ssdssnsssssssssssssssssdsssn)(sq)(sr)36()()()()]()([)()()()()()()(1111srsrsdsqsqsrsdsqsrsdsqsn或【例6-1】如果q(s)-q1(s)≠0，则(6-3)式左边阶次大于或等于degd(s)，而(6-3)式右边阶次应小于degd(s)，产生矛盾。所以q(s)=q1(s)，r(s)=r1(s)推论6-2(余式定理)若n(s)∈R(s),α∈C,则n(s)被d(s)=(s-α)除余式为常数n(α)。所以，余式为n(α)。证毕。)46(]))(([lim)(lim)(,1)deg()(degrrssqsnrsrssrss为常数证明：多项式的因式和互质性（设d(s)，n(s)，r(s)为多项式）因式：如果多项式n(s)可被多项式r(s)整除，则称r(s)为n(s)的一个因式。公因式：r(s)既是d(s)的因式又是n(s)的因式，则r(s)是d(s)和n(s)的公因式。平凡公因式：非零常数。注：非零常数总是每对d(s)和n(s)的公因式。非平凡公因式：阶次大于或等于1的多项式。最大公因式：如果r(s)是d(s)和n(s)的公因式，而且可被d(s)和n(s)的每个公因式整除，则称r(s)是d(s)和n(s)的最大公因式。注：若r(s)最大公因式，c为常数，则cr(s)也是最大公因式，若限定r(s)为首一多项式，则最大公因式具有唯一性。互质多项式：如果d(s)和n(s)的最大公因式是(与s无关的)非零常数，则称d(s)和n(s)为互质多项式，简称d(s)和n(s)互质。定理6-3设有两个多项式d(s)和n(s)的，d(s)≠0，当且仅当满足下面条件之一，d(s)和n(s)是互质多项式。)(deg)(deg)126(0)()()()()()()()()116()()()()()()()3()106(1)()()()()()()2()96(,0)(:,1)()()86(,1)()()1(00000sdsasnsdsasbsnsasdsbsasbsdsnsbsasnsysdsxsysxCssdssnsdCssnsd且或等价为使得、不存在多项式使得、存在两个多项式或证明：条件(1)的意义是：如果d(s)和n(s)互质，则复域C中不存在任何s使d(s)和n(s)同时为0。证明略多项式互质的Sylvester矩阵判据Sylvester矩阵：)136(,)()136(,)()136(0,)()136(0,)(1110111022102210dsbsbbsbcsasaasabnsnsnsnnsnadsdsdsddsdmmnnmmmnnn和设定义多项式d(s)和n(s)的(n+m)阶Sylvester矩阵S为nmnnnnnnnnnnnnndddddddddddddddddddSmmmmmmnmnmnnnnmmnnmm.....00000...........................0.....0.00.....00000000000101210121011012121011210将(6-13)代入(6-12)并令s相同幂次的系数分别为零，给出(n+m)元一次线性齐次代数方程组)156(012101210SABSaaaabbbbnm如果上式Sylvester矩阵是非奇异的，则方程组有唯一的平凡解，相应地(6-12)有一个平凡解，即a(s)=0,b(s)=0。即定理(6-3)中条件(3)成立，d(s)和n(s)互质。由此归纳出下述定理。定理6-4多项式d(s)和n(s)互质的充要条件是它们的Sylvester矩阵非奇异。多项式互质问题变为有无非平凡解问题。如果非平凡解存在，怎样求得具有最小阶次的非平凡解。行搜索法是求解非平凡解的有效方法[见“仝茂达”P.293-296]。2有理函数有理函数：两个多项式之比，即g(s)=n(s)/d(s)。既约有理函数：倘若g(s)=n(s)/d(s)中，n(s)和d(s)互质。可化简有理函数：倘若g(s)=n(s)/d(s)中，n(s)和d(s)不互质。6.2多项式矩阵及其属性1多项式矩阵多项式矩阵：以多项式为元素的矩阵。以aij(s)为元素的m×n多项式矩阵A(s)记为【例6-3】一个2×3的多项式矩阵多项式矩阵的行列式：和实数矩阵一样，只有行数和列数相等的方多项式矩阵才可取行列式，且具有相同的运算规则。如：)()()()()(1111sasasasasAmnmn76423251271)(2232ssssssssssA452331)(22sssssssA按实数矩阵运算规则，即可求出22)23)(3()45)(1()(det22ssssssssA2方多项式矩阵的奇异和奇异多项式矩阵的奇异性和非奇异性在含义上等同于实数矩阵。定义6-5[奇异非奇异]如果方多项式矩阵A(s)的行列式为有理分式域R(s)上的零元，即detA(s)≡0，则A(s)为奇异；如果方多项式矩阵A(s)的行列式为有理分式域R(s)上的非零元，即detA(s)≢0，则A(s)为非奇异。【例6-4】两个2×2的多项式矩阵如下：652331)(;452331)(222221sssssssAsssssssA容易求出它们的行列式为0)23)(3()65)(1()(det22)23)(3()45)(1()(det222221sssssssAssssssssA根据定义知，则A1(s)为非奇异，则A2(s)为奇异。3方多项式矩阵的逆多项式矩阵A(s)有逆的充分必要条件是A(s)非奇异。当且仅当A(s)非奇异，存在同维方有理分式矩阵B(s)，使下式成立：B(s)A(s)=A(s)B(s)=I，∀所有s∈C且有B(s)=A-1(s)计算A-1(s)的基本关系式为有理分式矩阵多项式多项式矩阵/)(det)()(1sAsadjAsA定义6-6[线性相关和线性无关]称多项式向量组{q1(s),q2(s),…,qm(s)}为线性相关，当且仅当存在一组不全为零的多项式{α1(s),α2(s),…,αm(s)}使下式成立：α1(s)q1(s)+α2(s)q2(s)+…+αm(s)qm(s)=0(6-17)称多项式向量组{q1(s),q2(s),…,qm(s)}为线性无关，当且仅当不存在一组不全为零的多项式{α1(s),α2(s),…,αm(s)}使(6-17)成立，即当且仅当使(6-17)成立的α1(s)=α2(s)=…=αm(s)=0。【例6-6】给定两个2维行多项式向量：q1(s)=[s+2,s-1],q2(s)=[s2+3s+2,s2-1]选取多项式α1(s)=s+1,α2(s)=-1，有α1(s)q1(s)+α2(s)q2(s)=[s2+3s+2,s2-1]-[s2+3s+2,s2-1]=[0,0]根据定义知，q1(s),q2(s)为线性相关。4线性相关和线性无关给定元属于有理分式域R(s)的m个n维列或行多项式向量{q1(s),q2(s),…qm(s)}(6-16)其中，m≤n。定义6-7[秩]称m×n多项式矩阵A(s)的秩为r，记为RankA(s)=