第6章守恒定律

第6章守恒定律52ⅢXⅠXⅡX1x2x3x0KtKVdmv第6章守恒定律自然界的普遍规律，不是由其它的定律或定理衍生（推导）得到的，而是人们对自然现象的观测体验的结果，它们是用等式（方程）表示的，一般用变率的形式来表述。§6.1质量守恒方程初始构形：密度0=常数（均质）现时构形：密度),txvmvmvddlim0质量守恒：dd0dx,)vtvt又VJvdddd0dVtJVtx,)Lagrange形式：则：0)d(ddVJt或0)d(ddvt则常数vd，Vvdd0J0质量守恒Euler形式：tJJtJtdddd)(dd又kkJvtJ,dd则：0)()(dd,kkvJJt0)(,,kkkkvtv为质量守恒方程的另一种形式。或：divv0§6.2体积分的时间导数设是单位质量的某力学量，是单位体积的某力学量（随变形而改变的），在)(rR领域内总力学量记为)(dtRv，这部分总力学量的变率即该体积分的时间导数。按)(tR的变化情况，体积分的时间导数分为两种情况：1．)(tR的边界为)t，若)(t是空间边界，它的运动速度为g，gt，gng，它不同于质点的运动速度。第6章守恒定律53未扰动区扰动区ttt)(trt例：如右图，水平面，参数)t为边界。gt为波的传播速度，与质点的运动速度不同。所以在边界上的质点是可以改变的（原来在边界上的质点，不一定在新边界上），即)(tR内的总质量也是变化的，即质量不守恒。这种体积分的时间变率称为体积分的空间（或一般）时间导数。记为：()())d()ddddgnRtRtttvstt2．)(tR的边界)t是物质边界，即)(t上的质点保持不变。即)(tR内的总质量保持不变，及gv，这样体积分的变率称为体积分的物质时间导数，记为()()()dddvnRtRttDvvsDtt将上两式相减，有()()dDdd)ddDRtRttvvstt)gvn下面具体求物质时间导数：000()0()DDddDDddRtRRRtvVttVvvvttRtRddDD)()(输运定理则：()())ddd)ddRtRttvvstgvn§6.3动量守恒定律质点：D()DvPmt（质点上外力的合力）连续介质：总动量：()dvRtv()())DdddDvfTnRtRttvvst（*）局部形式：（将面积分变为体积分，且体积可任意小）又)()ddTnTtRtsveii(),Teeijjiijji)(tRt)(ttRXx)(tRVdvd0ddVv第6章守恒定律54则（*）式为：()()()dddvfTRtRtRtvvv以上为总体（积分）形式：局部性假设：整体形式也适用于任何局部形式。根据局部性假设，可得动量定律的局部形式：afT抽象表示,iiijjaf笛卡尔坐标下的分量表示固体力学中一般用变形前的形式（物质坐标）来表述。又Vvdd0ddsSTnSN则（*）式为：00000DdddDvfSNRRVVSt参考构形动量定律总体形式00ddKKRSV,SNS则有：00,SfaKK局部形式的抽象描述,00KlKllfaS笛卡尔坐标的Lagrange型的分量形式若用Kirchhoff应力分量表示：LlKLKlxTS,ˆ则：0()()0,,ˆTKLlLKllxfa这些均为前述一致§6.4能量守恒定律动能：K内能：U单位体积内能u外功率)(eL()()D1ddD2vvvaRtRtKvvt系统的总动能变率)()(ddDDtRtRvuvutU()())d()dfvTnveRttLvs输入的热量变率（单位时间）H())ddhnRttHvs其中：为单位时间单位质量吸收的热量；h为热流矢。hnds为单位时间ds上流出的热量。能量守恒定律：)(eLHKU热—力学纯力学，机械能守恒)(eLWKSddhnShn第6章守恒定律55W为单位时间的应变能，()dT:DRtWv其中D为Euler变形（速度）率张量。于是HWU为连续介质的能量守恒定律的总体形式（现时构形上）。具体形式：()()())ddddT:DhnRtRtRttuvvvsT:DDhu局部形式（现时构形上）。若用其它应力张量表示，注意关系式TT1EFDFDFEFE：Lagrange变形速度（率）张量。1JSFTddet0dFvJV1TJˆTFTF设w为单位质量的应变新变率，则T:DT:Gw（()GDωvGx为速度递度张量T11T11tr()tr()tr()tr()JJT:DTDTFEFFTFEˆˆTET:EˆT:E（1TˆJTFTF）0ˆT:Ew参考构形上单位体积的应变能变率。同时证明了，E应变对应于应力ˆT111TT1tr()tr()tr()()()wJT:GTGTFFFTFFT:FTF:FS:FS:F0S:Fw参考构形上单位体积的应变能变率的另一种表达形式同时证明：S应力分能与F对应，而F非应变分量，因此，上式不用。Lagrange应力分量与变形梯度张量的变率相对应。注：ˆT:DT:E因为体积在变化，若为不可压缩物体，则该式成立。§6.5虚功原理外功率：()())d()dfvvTneRttLvs第6章守恒定律56Σ间断面RRt)(tR化为体积分为：()()d[()():]dfvvTvTeRtRLvv又Tfa有：())()()d()dd:dRttRtRtvsvvfvvTnavTD或：()()):d)d()dTDfavTnRtRttvvs对于刚体，有虚位移原理：()))d()d0fauTnuRttvs对变形体，若系统处于平衡状态，有0a，有：()()):dddTDfvvTnRtRttvvs又：0TfT1()2DGG,GD若应力满足边界条件：ˆTnp（在应力边界上，T）ˆvv（在位移边界上，n）有：()()):ddddˆˆTDfvpvvTnnRtRttvvss这就是变形全的虚功原理，它虽不是守恒原理，但它在连续介质力学中有重要的应用，是形成有关变分原理的基础。§6.6)(tR不连续时的守恒定律（间断面和间断条件）1．概述①不连续是指力学量（位移、应力、温度）的不连续，但物质连续；②如右图示，设想从间断面切开记：RRR[（在上）,为物质边界，可能为空间边界。即：在和上，gv，g为波的传播速度。③因为为空间边界，所以在R和R内质量各不守恒，但在R内质量守恒。2．)(tR不连续时的输运定理及Green公式第6章守恒定律57①有间断点的输运定理。分别对R、R列出体积分的时间导数ddd()ddddd()ddgvngvnRRRRvvstvvst将上两式相加，有：（令nnn）ddd)ddgvnRRvvst由于在R内质量守恒，（注：不连续，不能用输运定理）则：Ddd)]dDgvnRRvvst上式为具有间断面的输运定理。当，即没有间断面，上式简化为一般的输运定理。②有间断面时的Green公式（与上同样推出）dd]dnnRqsqvqs3．)(tR函数不连续时的守恒定律守恒定律的一般形式为：DdddDnRRvbvqst系统中仍守恒利用输运定理和Green公式：d[)ddd[]dgvnnRRRvsbvqvqsddd[)d[]d0gvnnRRRRvbvqvsqs有间断面时守恒定律的总体形式（积分形式）。根据局部性假设，上式对任一R和都成立，则：0)][]0gvnnbqRq在内在上具体：①质量守恒：0,0qb在R内的条件恒满足[)]0gvn在上（要质量守恒时在间断上必须满足的条件）即()()gvgv间断面上质量守恒定律的形式②动量守恒：v,f,Tbq（a为加速度）0afT在R内，运动方程，0a时为平衡方程第6章守恒定律58有间断面并不影响运动方程[()][]0vgvnTn在上，间断面上的动力连续条件。即：()()0vgvnvθvnTnTn4．间断面上的运动连续条件)x,t为间断面方程，且ddxgn,gt的运动速度。（质点运动速度为dduvt）设函数f，在上不连续，间断值记为][f。求：][f的变率，即tfd]d[f可为标量或张量函数。d[]dd(()())ddd()()[][]x,,xxggxgxffffftttttfffftttfft边界上的g相同设uf则d[][][]duuugxtt（令*uuH,HXx）设[]=0u（位移连续），有：[][]0*uHgt运动连续条件在小变形情况下，uv,HeΩt则：[][]0veΩng设eΩ则：[][]0veng小变形下的运动连续条件。