第6章非负矩阵

第6章非负矩阵6.1正矩阵6.2非负矩阵6.3随机矩阵6.4M矩阵元素都是非负实数的矩阵称为非负矩阵.这类矩阵在数理经济学、概率论、弹性系统的微振动理论等许多领域都有重要的应用.随着非负矩阵应用的日益扩展，它的基本特征已被认为是矩阵理论的经典性内容之一.为此，本章将介绍与非负矩阵的一些基本性质，包括著名的配朗(Perron)－弗罗比尼乌斯(Frobenius)定理，以及与非负矩阵有密切联系而又有特别重要应用价值的闵可夫斯基(Minkovski)矩阵（M矩阵）等有关主要结果.6.1正矩阵定义6-1若mn的实矩阵()ijAa，(1)如果所有元素0ija，则称A为非负矩阵，记0A；(2)如果所有元素0ija，则称A为正矩阵，记0A.显然A是正矩阵，则A必是非负矩阵.反之不然.若A,B是两个mn的实矩阵，其中()ijAa，()ijBb，12(,,,)TnXxxx是n维实向量，则有记号AB表示所有元素ijijab，AB表示所有元素ijijab，0X表示所有坐标0ix，0X表示所有坐标0ix.在经济学、概率论及组合学中，有许多矩阵都是非负矩阵或正矩阵，这是不难理解的.这类矩阵有一些为一般矩阵所没有的特殊性质，研究它们显然有重要意义.正矩阵中最重要的结果就算是本节介绍的配朗(Perron)定理了.概念一个方阵P，如果它的每一行和每一列都只有一个元素为1，其余元素都为0，则称P为一个置换矩阵.实际上置换矩阵P是有限个第一种初等矩阵的乘积，因此，用P左乘矩阵A，就是对A进行一系列的行交换的变换；用P右乘矩阵A，就是对A进行一系列的列交换的变换.且有性质1TPP.定义6-2矩阵()ijnnAa称为可约的，如果存在n阶置换矩阵P，使得112122TAOPAPAA，或111222TAAPAPOA，这里11A是k阶方阵(11)kn，22A是nk阶方阵.否则，就称A为不可约的.按此定义，一阶方阵以及正矩阵都是不可约的.(1)n阶方阵A如果有一行(列)元素全为0，则A必是可约的.例如120210321A是可约的，120211321B是不可约的.判别一个一般矩阵A是否可约？不太容易，现已有多种判别方法.配朗(Perron)在1907年建立了正矩阵的影谱(即矩阵的特征值与特征向量)的卓越性质，就是下面的定理，本节的任务主要就是证明这一定理.正矩阵的其它次要的性质，将在后面继续研究.定理6-1(Perron定理)任一正矩阵()ijnnAa都有正的特征值，它是特征方程的单根，而且大于其它特征值的模，这个“极大”特征值对应于矩阵A的一个坐标都是正数的特征向量(称为正特征向量).这个定理亦可以叙述成：定理6-1′(Perron定理)设正矩阵为()0ijnnAa，且()A为其谱半径，则(1)()0A为A的正特征值，其对应的一个正特征向量；(2)A的任何其它特征值，都有()A；(3)()A是A的单特征根.证明(1)设是正矩阵A的模中最大的一个特征值，又设向量12(,,,)0TnXxxx是对应的一个特征向量，于是有AXX，且()A.现取向量Y为12(,,,)TnYxxx.下证Y是A的以()A为特征值的正特征向量.由于AXX，所以对于1in的整数i，有1niijjjxax，两边取模，就有1(),(1,2,,)niiijjjAxxaxin将这n个式子合起来写成矩阵形式就是()AYAY，亦即(())0AAEY.下面证明这个不等式的等号成立.反证法，设(())0AAEYZ，由于0A且0Z，所以有0AZ，因此，存在正数0b，使得AZbAY，又由于(())AZAAAEY，所以2()[()]AYAZAAYbAAY，令1[()]0bAAB，则有BAYAY，逐步递推有(1,2,)nBAYAYn，(6-1)而1[()]BbAA的谱半径为()()1()ABbA，所以当n时，nBO，因而对不等式(6-1)两边取极限即得0AY，这与0AY相矛盾，因此假设不成立，于是一定有0Z.于是就证明了()AYAY这表明()A是A的特征值，而由Y的选取已知0Y，所以Y是A的正特征值，从而由上式又可得到()0A.(2)如果A有特征值，使得()A，我们证明只能有()A.取对应于的特征向量为012(,,,)TnXuuu，即00AXX，取向量012(,,,)TnYuuu，类似(1)的证明过程可得00()AYAY.由00AXX第i个分量有1(1,2,,)niijjjuauin两边取模得011()()(1,2,,)nniijjijjijjAuauauAYin，由向量等式00()AYAY知它的分量都相等，即01()()(1,2,,)nijjiijauAYAuin，于是得到等式11(1,2,,)nnijjijjjjauauin，因0ija，故上式表明各个ju有相同的幅角，即,(1,1,2,,)ijjuueijn，而是不依赖于j的常数，因而向量00iXeY，这表明00,XY只差一个非零常数因子，故0X也是A的以()A为特征值的特征向量(而由00()AYAY知0Y是A的以()A为特征值的特征向量)，由于不同的特征值不能有相同的特征向量，故只能()A，因此其它对特征值，只能有()A.即(2)得证.(3)令1()()0ijBAAb，则有()1B，故要证明(3)只需证明1是B的单特征根就行了.这又只需证明在B的Jordan标准形中，相当于特征值1的Jordan块只有一块，并且是一阶子块.根据结论(1)，必有向量12(,,,)0TnYyyy，使得BYY，(6-2)从而对任何1k都有kBYY，(6-3)令max0siiyy，min0tiiyy.则由式(6-3)得()()()1nkkksiillijjijtlyybybyby，这里()kijb代表kB的(,)ij位置的元素，从而有()ksijtyby，这表明对所有1k，()kijb是有界的.假若B的Jordan标准形中有一个对应于特征值1的Jordan块的阶数大于1，不妨设其为2，则存在可逆矩阵P，使得11111()()kkkmmkBPPJJ，它对任何1k成立，这与()kijb有界相矛盾，故B的Jordan标准形中对应于特征值1的Jordan块是一阶的.下证这种子块只有一个.设B的Jordan标准形为11()()rllEJJJ，其中，rE为r阶单位矩阵，且1,(1,2,,)iil.如果1r，则令CJE，对任一n维向量nXC，则满足0CX的所有向量X的集合形成nC的一个子空间，叫做C的零化子空间，由齐次线性方程组的理论，易知这子空间的维数是Cnrr(()CrrankC)，由于B与J相似，故r也是BE的零化子空间的维数，考虑到1r，故除向量Y满足式(6-2)外，必然还有另一向量Z满足12,(,,,)TnBZZZzzz，(6-4)并且Z与Y线性无关，令maxjiiijzzyy，(6-5)则有YZ，且不可能取等号，故有()0BYZ.利用式(6-2)与式(6-4)，上式可写成0YZ.对上式的第j个分量，则有jjzy.这与式(6-5)定义的值相矛盾，即1r不成立，只能1r.证毕.6.2非负矩阵上节证明了正矩阵的配朗定理，而正矩阵是不可约非负矩阵的一种特殊情形.弗罗比尼乌斯(Frobenius)把上述定理推广到不可约非负矩阵上(1912年).本节除介绍这一重要结果外，还讨论非负矩阵的其它一些基本性质.定理6-2（Frobennius定理）设A是不可约非负矩阵，则A总有正的特征值r，它是特征方程的单根；所有其它特征值的模都不超过r；这个“极大”特征值r对应于A的一个坐标都是正数的特征向量；如果A有h个特征值011,,,hr的模都等于r，则这些数都是互不相同的而且是方程0hhr(0)h的根；复数平面上的点集11{,,,}hr在绕原点旋转2h角的变换下不变.当1h时，矩阵A置换相似于矩阵D，即12231,1000000000000ThhhAAPAPDAA.这里P是置换矩阵，又D的主对角线上都是非空零方阵，方阵D称为不可约非负矩阵A的标准形．这个定理的证明非常复杂，这里就不介绍了.首先哟注意的是，定理6-2不能照搬到非负可约矩阵上.但是，由于任一非负矩阵0A都可表示成不可约的正矩阵序列mA的极限limmmAA(每个0mA)，(6-6)所有不可约非负矩阵的某些性质，在较弱的形势下，对于可约非负矩阵亦能成立.例如：取1mAABm，其中(1)0nnB，而0A，故0mA都是不可约的正矩阵，显然有1limlimmmmAABAm.对于任意的非负矩阵，有下述定理定理6-3设()ijnnAa为非负矩阵，则A必有一非负特征值r，A的所有特征值的模都不超过r；特征值r对应于非负特征向量YAYrY(0Y，且0Y).证明设A有表示式(6-6)，以()mr及()mY各记正矩阵mA的“极大”特征值与相应的单位正特征向量，于是()()()mmmmAYrY(每个()0mY)，(6-7)此时由式(6-6)知存在极限()limmmrr.这里r为A的特征值，因()0mr，且()()mmr，其中()m为mA的任一其它特征值，取极限得00,rr.这里0为A的任一特征值.又从单位特征向量序列()mY中可约选出子序列()pmY，且它收敛某一单位序列Y，在等式(6-7)的两边对m的子序列pm取极限，即得AYrY(0Y,又0Y).定理证毕.注意定理中()rA.注一般的非负矩阵尚有一个比较重要的性质，因证明比较复杂，现之把结果列出如下：性质若0BA，则有()()BA.由定义来判别矩阵是否可约是困难的.有多种判别条件可以使用，下面证明其中一种充要条件，即下述定理.(先补充一个引理)引理(2)n阶非负矩阵A为不可约矩阵，非负向量Y恰好有k个正坐标，11kn，则向量()ZEAY有多于k个正坐标.证明不失一般性，设10YY，其中10Y是k维的，设111221220AAAAA.由()ZEAY10Y11122122AAAA10Y10Y111211AYAY12ZZ.知111110ZYAY，即Z中零坐标的个数不会多于Y中零坐标的个数，如果它们的零坐标的个数相等，即有22110ZAY，但10Y.故只能有210A，这与A为不可约相矛盾，即它们的零坐标的个数不能相等，即Z中零坐标的个数一定少于Y中零坐标的个数，也就是说，Z有多于k个正坐标.证毕.推论设(2)n阶非负矩阵A为不可约矩阵，非负向量0Y，则向量1()0nEAY.证明因为0,0YY，所以Y中至少有1个正坐标，由引理知，向量()EAY至少有2个正坐标，向量2()EAY至少有3个正坐标，………，1()nEAY至少有n个正坐标，即得1()0nEAY.证毕.定理6-4(2)n阶非负矩阵A为不可约的充要条件是存在正整数1sn，使得()0sEA.证明必要性因为n阶非负矩阵A为不可约的，分别取向量(0,,0,1,0,,0)0TiYe(1,2,,)in，且0Y，其中ie是第i个坐标为1其余坐标为0的向量，由推论有11()(