第7次课非稳态导热的相似积分分析

非稳态导热的相似、积分分析第一部分：非稳态导热的相似性解一、相似性变换基础为了达到使自变量数目减少的目的，以某种方式对偏微分方程的自变量进行变换，这种变换称之为相似性变换。使自变量的数目得以减少的变量称之为相似性变量。经过相似性变换，可以让非线性的偏微分方程变换成常微分方程，但这样的变换只在一定条件下才能应用。导热问题具有相似性解的条件：经相似变换后，边界条件及初始条件的函数形式可转化为常数时，则此定解问题存在相似解。在建立相似性变量方面有一系列的方法，他们包括自由参数法、分离变量法以及数群理论法。用自由参数法时，在分析一开始就得考虑边界条件与初始条件，并且要构造因变量的变换函数。其方法是，在变换过程中，边界条件及初始条件与微分方程一起也作变换。因而，没有一种常规的程序，而需要对问题的本质都深入的领悟。分离变量法包括经典的分离变量法，它在很多方面与自由参数法相似，分析一开始就得考虑边界条件的变换。数群理论法在它的形成过程中数学上是最复杂的，但在应用时，它是最直接最简单的。也即，只要遵循这个理论所建立起来的规则，不难得到相似性变换，且在变换时不必考虑边界条件与初始条件就可将微分方程进行变换。这个方法的优点是应用简单，没有猜测的成分。但是，在变换过程中没有考虑问题的边界条件和初始条件的变换。只是在相似性变换建立起来之后，才讨论边界条件与初始条件的变换。为了达到对边界条件和初始条件变换的目的，在相似性变换时，要对他们作某些合并。一般地说，若相似性变换消去的自变量的范围为从0到无限大，则对边界条件与初始条件作变换时较易合并。二、定壁温边界条件下半无限大物体的温度响应一半无限大物体处理的导热体,初始温度均匀为t0，在t=0时刻，在x=0的一侧表面温度突然升高到tw，并保持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。数学表达式引入相似性变量把以上结果带入导热微分方程中得：此时得到常微分方程。代入定解条件得：得到原问题的解erf（）称为误差函数，erfc（）称为余误差函数或误差函数的补函数。第二部分：积分法求偏微分方程的分析解通常是困难的，在涉及非线性或其他复杂的边界条件时尤其如此，因此常常需要借助各种近似的方法。积分方程法就是被采用的一种求解偏微分方程的近似方法，积分方程法同样可应用于多维稳态导热和费稳态导热中。近似分析解法既具有分析解的特征，又具有近似解的特征。分析解的特征是指它提供的结果是解析函数形式，近似解的特征则是指它提供的结果只能近似地满足导热定解问题，即对于微元体整体满足能量守衡，但各点的温度分布则是近似的。一、积分方法分析问题的基本步骤确定积分方程；假设热渗透层内的温度分布；确定热渗透层厚度δ(τ)；确定温度分布。二、常壁温边界条件下半无限大物体1.热渗透层厚度δ(τ)对于半无限大物体中的非稳态导热，从上图可以看出，随着时间的推移，边界的热作用逐渐向物体内部传播，形成一个厚度为“热渗透层”。当然，它的厚度是时间的函数。在x的区域，可以认为还没有受边界热作用的影响，温度没有变化。即近似地认为0,0,xx2.积分方程的推导一般来说，积分方程可以从相应的偏微分方程对某一个自变量积分一次导得，也可以从一般的守恒关系（对于导热问题是能量守恒）直接建立方程。前者给出了积分方程与偏微分方程之间的内在联系，后者的物理概念清晰。以上面介绍的半无限大平壁导热问题为例:由该问题的边界条件式（3-3-9），以上积分方程简化为0)(0)d,(ddxxaxτxτ3.假设热渗透层内的温度分布通常选温度分布为某一多项式函数。多项式中的系数可根据实际的(有时还需补充几个推导得到的)边界条件予以确定。用热渗透层厚度δ(τ)来表示。4.具体问题分析求解。半无限大物体(x＞0)的瞬态热传导问题。数学描述：221xTT，wTTxTT时，时，000热渗透层内温度分布的假设：32,dxcxbxaxTwxTT0，0TTx，0xxT，0022xxT能量积分方程：00)(0)d,(ddxxTaTxτxTτ将温度剖面代入能量积分方程，得有关δ(τ)的常微分方程：830021231,xxTTTxTw由此得到边界上的热流密度为attcxqwxw)(00不同温度分布（多项式幂次）的假设，得到的结果也不同。当参数4x的值较小时，相互的一致性都比较好；在4x的值较大时，四次多项式与精确解的一致性比用其它多项式好。半无限大区域的精确解与近似解比较由图可见，四次多项式的解与精确解最接近。三、常热流边界条件下的半无限大物体精确解：axaq2ierfc2w近似解：数学描述：221xTT，wxqxTxTT00|00时，时，aqw23