第7章动态电路的状态变量分析.

“十一五”规划教材—电路基础第七章动态电路的状态变量分析7.1电路的状态和状态变量7.2状态方程及其列写7.3状态方程的解法7.4应用实例：解微分方程电路“十一五”规划教材—电路基础7.1电路的状态和状态变量本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论状态方程的列写方法和求解方法。一、状态变量状态的定义：一个电路的状态是指在某个给定时刻必须具备最少量的信息，这些信息与该时刻以后的激励，就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。状态变量(statevariable)：一组能够确定电路行为的最少变量。“十一五”规划教材—电路基础表示成矩阵形式100111LLSCCdiidtLiuduCCRCdt是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。00(0)(0)LCiIuU初始值iL(0+)=I0、uC(0+)=U0也可表示成称这一阶微分方程组为RLC并联电路动态过程的状态方程(stateequations)，并可简写成xAxBw“十一五”规划教材—电路基础xAxBw其中x=[iLuC]T称为电路的状态x中的元素iL和uC称为状态变量A、B—为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数W—为输入向量x(0+)=[I0U0]T—为电路的初始状态x(0-)—电路的原始状态x(0+)=x(0-)=x(0)=x0根据换路定律有“十一五”规划教材—电路基础（1）当w=0，x00时，状态方程描述零输入响应；（2）当w0，x0=0时，状态方程描述零状态响应；（3）当w0，x00时，状态方程描述完全响应。LiCu00(,)IUt,LiCuCuLi00(,)IU0ttOO(a)过阻尼情况的时域波形(b)过阻尼情况的状态空间轨迹RLC并联电路的零输入响应“十一五”规划教材—电路基础CuLi00(,)IUCuLi00(,)IULiCu00(,)IUOOO(a)欠阻尼情况(b)无阻尼情况(c)发散情况电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性1.过阻尼情况:状态轨迹从t=0+的初始状态x0=[I0U0]T开始，在t=时终止于坐标原点“十一五”规划教材—电路基础（2）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+到t=时的螺旋线（3）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆（4）响应为增幅振荡情况：在t趋于时，零输入响应成为无界，状态轨迹是向外发散的。CuLi00(,)IUCuLi00(,)IULiCu00(,)IUOOO(a)欠阻尼情况(b)无阻尼情况(c)发散情况“十一五”规划教材—电路基础注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感电流iL作为状态变量即电路独立状态变量的个数电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。（1）无源（RLC）电路的复杂度为n=nC+nLlCqL（2）有源电路复杂度的上下限为0nnC+nLlCqL“十一五”规划教材—电路基础7.2状态方程及其列写7.2.1状态方程和输出方程一、状态方程—一阶微分方程组1212(,,,,,,,,)1,2,,iinmxfxxx其一般形式为(,,)txfxw矩阵形式为111,2,,nmiikkijjkjxaxbwin线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组其形式为“十一五”规划教材—电路基础xAxBw矩阵形式为0(0)xx初始条件状态向量T12[]nxxxxT12[]nxxxxT12[]mwT010200[]nxxxx—初始状态n—状态变量xi的个数m—输入激励wj的个数“十一五”规划教材—电路基础二、输出方程的一般形式为1212(,,,,,,,,)1,2,,iinmygxxx(,,)tygxw矩阵形式111,2,,nmiikkijjkjycxdwir线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组其形式为yCxDw矩阵形式r—为输出变量yi的个数T12[]ryyyy—为输出向量“十一五”规划教材—电路基础C=[cik]rn和D=[dij]rm—系数矩阵yCxDwEw此时输出方程的形式为如果电路中存在（1）C与电压源uS组成的回路（2）L与电流源iS组成的割集SLLSdidiuLLLidtdtCSCSduduiCCCudtdt则输出方程中将出现输出向量导数“十一五”规划教材—电路基础7.2.2线性非时变动态电路状态方程的列写列写方法直接观察置换方法系统法这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。不太复杂的电路复杂的电路一、直接观察法步骤(1)选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路）而不含电感（和无伴电流源支路）。(2)对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。“十一五”规划教材—电路基础(3)消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的状态方程。二、输出方程的列写（1）用置换定理将每个电容C用电压源uC置换将每个电感L用电流源iL置换（2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示（3）整理成标准形式的输出方程“十一五”规划教材—电路基础(1)选1、3、4作为树支，则2、5为连支。例7.2.1试列出图(a)所示电路的状态方程。解：1.直接观察法写状态方程(2)对电容C3确定的基本割集1列写KCL方程3352CLRduCiidt5L5Lu5Li3C4C1R2R3Ci4Ci1Ri2Ri3Cu4Cu1Ru2RuSu1割集2割集回路12534(a)“十一五”规划教材—电路基础1割集2割集回路12534对电感L5确定的基本回路列写KVL方程442CRduCidt55311LCRsdiLuRiudt对电容C4确定的基本割集2列写KCL方程(3)用uC3、uC4、iL5和uS表示非状态变量iR1和iR2，得到341522CCRLRuuiiiR，“十一五”规划教材—电路基础代入基本割集和基本回路方程，有3343522CCCLduuuCidtRR434422CCCduuuCdtRR55315LCLsdiLuRiudt整理成标准形式的状态方程为332323344424255155511101100110CCCCSLLduCRCRCdtuduuudtCRCRidiRLdtLL“十一五”规划教材—电路基础整理后可得标准形式的输出方程352CLRiii513LRCSuuuu若以iC3和uL5作为输出变量，则有332245151110110CCCSLLuiRRuuuRi2.写输出方程“十一五”规划教材—电路基础例7.2.2将上例电路中的电感L5改为电压控制电压源uR1，如图(a)所示。试列出电路的状态方程。1割集2割集12534解:按直接观察的步骤列写（1）受控源可先按独立源处理3312CRRduCiidt442CRduCidt(2)列写基本割集1和2的KCL方程(a)5i3C4C1R2R3Ci4Ci1Ri2Ri3Cu4Cu1Ru2RuSu1Ru“十一五”规划教材—电路基础(3)用uC3、uC4和uS表示非状态变量iR1和iR2，得到3341212(1)SCCCRRuuuuiiRR，代入基本割集方程，有3412331221(1)(1)(1)CCSCduuuRRCudtRRRR434422CCCduuuCdtRR标准形式的状态方程为12312323313444242(1)11(1)(1)110CCSCCRRduRRCRCudtRCuuduCRCRdt“十一五”规划教材—电路基础当=1时，状态方程将变成444242424CCSCSduuuuudtRCRCRC因为电路中含有受控源，当=1时，电容电压uC3=uS已不再独立所造成的。由电路复杂度公式可知其独立状态变量的上下限为0n2。若1，则电路的复杂度为2，电路有两个状态变量；若=1，则电路的复杂度降为1，电路只有1个状态变量“十一五”规划教材—电路基础例7.2.3试列出图(a)所示电路的状态方程。并以uR7和uR9作为输出变量，列写输出方程。(a)(b)拓扑图解：直接观察法选支路3、4、6、7、8和9为树支；则1、2作为连支1L6R5Ri5RSu3Cu3C7R7Ru4Cu4C8R9R9Ru2L2Li1Li“十一五”规划教材—电路基础1134679LCCRRRdiLuuuuudt224789LCRRRdiLuuuudt列写基本回路1和2的KVL方程（2）列写基本割集1和2的KCL方程331CLduCidt4412CLLduCiidt(3)非状态变量uR6、uR7、uR8和uR9用iL1、iL2、uC3、uC4和uS表示。可得6617712882()RLRLLRLuRiuRiiuRi，，“十一五”规划教材—电路基础uR9的求取可应用置换定理，将电感和电容分别用电流源和电压源置换(c)用电流源置换图(a)中间支路(d)图(c)的等效电路可得9951259RSLLRuuRiiRRSu9Ru9R12LLii5R9Ru9R512LLRii5RSu“十一五”规划教材—电路基础经整理可得标准形式的状态方程61111111822222923359344441111011000001100LLLLSCCCCRRRdiLLLLdtLiRRRdiLLLiRdtuLuduRRdtCududtCC其中59759RRRRRR“十一五”规划教材—电路基础整理后标准形式的输出方程为177725959993595959400000LRLSRCCiRRuiuRRRRRuuRRRRRRu因为uR7和uR9为输出7717259599912595959RLLRLLSuRiRiRRRRRuiiuRRRRRR“十一五”规划教材—电路基础例7.2.4试列出图(a)所示电路的状态方程。已知R1=R2=5，g=0.2，C=1F，L1=2H，L2=3H，M=1H。12CLLCduCiigudt1222211112211()(1)LLLLLLCSdidiMLRiuRiRRigRuRidtdt（1）列写基本割集KCL方程解直接观察列写对耦合电感支路L1确定的基本回路1列写KVL方程割集1回路2回路1R1LSiCu1RiCguM2RC1Li2Li2L“十一五”规划教材—电路基础1222211112211()(1)LLLLLLCSdidiMLRiuRiRRigRuRidtdt对耦合电感支路L2确定的基本回路2列写KVL方程(3)由两个基本回路方程可解得1211212221211()[()]()(1)()LLLCSdiMLRiMLRMRiMLgRuMLRidtL21111112211111()[()]()(1)()L