第7章数字信号处理

第7章数字信号处理7.1数字信号处理概述数字信号处理的主要研究用数字序列表示测试信号，并用数学公式和运算来对数字序列进行处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波等。数字信号处理的一般步骤如下。（1）预处理信号的预处理是连续时间信号变成便于数字处理的形式。例如，电压的幅值处理、滤波、隔直流、调制解调等。（2）模拟信号离散化把连续信号转换为离散数字信号的过程称为模数转换（ADC），反之称为数模转换。它们是数字信号处理的必要过程。连续时间信号转化为能被计算机等数字设备处理的数字信号需经过两个步骤：第一步是采样。采样时刻通常在固定的间隔点上，这个间隔称为采样周期。在每个采样点对模拟信号进行采样，且将该采样值保持到下一个采样点的过程称为采样保持。第二步是量化和数字化过程。量化就是把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的数，数字化是将经过量化的值变为二进制数字的过程。（3）运算处理利用数字信号处理器或计算机对离散数字序列进行运算处理。计算机只能处理有限长度的数字序列，所以还需要把长时间序列截断（加窗处理实现），有时还要把阶段的数字序列人为加权，以成为新的有限长数字序列。数字信号经过运算处理后，如需变回连续信号，可通过数模转换（DAC）实现。数字信号处理的优势主要体现在以下方面：1)用数学计算代替复杂的测量电路2)用计算机显示代替复杂的机械结构3)计算机软硬件技术发展的有力推动4)多种多样的工业用计算机5)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统7.2离散傅里叶变换7.2.1离散傅里叶变换的概念对于非周期的连续时间信号，它的傅里叶变换应该是一个连续的频谱()Xf，其运算公式为：2()()jftXfxtedt其逆变换为：2()()jftxtXfedf由于计算机只能处理有限长度的离散数据序列，因此上面两式不能直接被计算机所处理，必须首先对其连续时域信号和连续频谱进行离散化并截取其有限长度的一个序列，这就是离散傅里叶变换的产生基础。对于无限连续信号的傅里叶变换共有以下四种情况。图7-1（a）为一非周期连续信号()xt及其傅里叶变换的频谱()Xf，由图7-1（a）可知，通常()xt和()Xf的范围均为~。图7-1傅里叶变换的几种类型图7-1（b）为一周期连续信号，此时傅里叶变换转变为傅里叶级数，因而其频谱是离散的。/22/21()()kTjftkTXfxtedtT（7-1）其逆变换为2()()kjftkkxtXfe（7-2）式中：(0,1,2,...)kfkfk；f为相邻谱线的间隔，也就是基频，1fT。图7-1（c）为一非周期离散信号的傅里叶变换，其时域信号时离散的脉冲序列，这种时间脉冲序列可看成对一连续信号进行采样而得到。可以证明，无限长的离散时间序列的傅里叶变换是一个周期性的连续频谱，即2()()njftnkXfxte（7-3）其逆变换为/22/21()()snsfjftnfsxtXfedff（7-4）式中：(0,1,2,...)ntntnt—脉冲序列的时间间隔，即采样间隔1stfsf—时域信号的采样频率，它等于该时间序列的频谱周期图7-1（d）为一周期离散信号的傅里叶变换，可以证明它的频谱也是周期且离散的。设该时间序列的周期为T，一个周期内有N个采样点，即采样间隔为t，于是TNt（7-5）根据傅里叶变换的公式，它的频谱也是周期的，周期1sft，频率间隔1fT，且它在一个周期内同样有N条谱线。sfNf（7-6）对于第四种情况，即时域和频域均为离散周期信号，只需取其时域上的一个周期（N个采样点）和频域一个周期（同样为N个采样点）进行分析，即可了解该信号的全部时域和频域信息。这种对有限长度的离散时域或频域信号序列进行傅里叶变换或逆变换，得到同样为有限长度的离散频域或时域信号序列的方法，就称为离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换（IDFT），其变换公式为：210:()()NjnkNnDFTXkxne0,1,2,...,1kN（7-7）2101:()()NjnkNkIDFTxnXkeN0,1,2,...,1nN（7-8）对时域离散的时序信号的傅里叶变换可以推导出离散傅里叶变换的计算公式，但在实际上还会经常碰到有限或无限长度的非周期序列信号，对这样的信号作傅里叶变换得到的是周期的连续谱()Xf。()Xf不能直接被计算机处理，因此必须用DFT的公式进行计算。具体的计算步骤如下：对有限长度的序列()xn，令其长度为N，而对无限长度的序列()xn，则用长度为N的窗函数对其进行截取，并将其视作周期信号ˆ()xn的一个周期。由此可知，离散傅里叶变换可以对任意连续的时域信号进行采样和截取，并对其作离散傅里叶变换，得到信号的离散频谱，该离散频谱的包络线就是缘连续信号的真实频谱。一个离散傅里叶变换的过程和步骤可以通过图解来解释，可分为时域采样、时域截断和频域采样。1、时域采样图7-2（a）所示为一连续时域信号()xt及其频谱()Xf。用一采样函数1st对()xt在时域进行采样，1st为一等时间间隔sT的单位脉冲序列，其频谱1Sf也是等频率间隔1/sT的周期脉冲序列（图7-2（b））。对()xt的采样即是()xt与1st相乘，所得结果见图7-2（c），其图形是将()Xf乘以权重因子1/sT后移至各频率点/srT(0,1,2,...)r处，其频谱也是周期的。图7-2离散傅里叶变换图解过程2、时域截断在时域上对采样值系列进行截断就是将时域序列信号乘以一个单位矩形窗函数wt，wt定义为：1...00...0,tTwtttT（7-9）wt的频谱Wf为一sinc函数，其函数表达式为sinsinfTWfTTcfTfT（7-10）如图7-2（d）所示。加窗截断后在时域的运算结果为1()xtstwt，在频域则为Wf与1()*XfSf卷积，即1*()*WfXfSf，时域、频域计算结果见图7-2（e）。与图7-2（d）右边的频谱图比较，图7-2（e）右边的频谱图形（即时域截断后的信号频谱）出现了皱纹，这是由于窗函数Wf的旁瓣造成的。由于Wf总是频带无限宽的，因此卷积后的图形带来新的畸变和误差，这种误差被称为“泄漏误差”。3、频域采样经过时域采样和截断后，信号()xt在时域上已是有限长度的离散序列，但其频谱仍为周期性的连续函数，因此必须进一步在频域上对其进行离散化，即频域采样。图7-2（f）所示为频域采样函数2Sf，设21kkSffTT。由于在频段1sssffT内有N个数据输出，因此频域采样间隔为11ssfNNTT。因此时域采样时选定窗长度也就确定了频域谱线的分辨率。因此2Sf为一系列频率间隔为1fT的离散谱线。2Sf的傅里叶逆变换则是时间间隔为T的单位脉冲序列20,1,2,...qsttqTq（7-11）如图7-2（f）左边所示。2Sf与被截断的采样波形的频谱相乘便可得到它的频谱采样，其结果为一离散谱，如图7-2（g）右图所示。相应地，在时域内进行的是2st与被截断采样波形的卷积运算，其结果见图7-2（f）右边所示为一周期为T的时间序列，但其一个周期的波形与被截断的采样波形相同。7.2.2离散傅里叶变换的性质1、线性性若1122,xnXkxnXk，则1212DFTaxnbxnaXkbXk（7-12）式中：,ab为常数。2、移位性若xnXk，则有时移性：2/jkmNxnmXke（7-13）频移性：2/jkmNxneXkm（7-14）3、奇、偶、虚、实对称性(1)若xn为复序列，xnXk，则**[]DFTxnXk（7-15）(2)若xn为实序列，则*()()XkXkXNk（7-16）()()RRRXkXkXNk（7-17）()()IIIXkXkXNk（7-18）()XkXNk（7-19）arg[()]arg[()]XkXk（7-20）式中：RXk和IXk分别为()Xk的实部和虚部。（1）若xn为偶序列：()()xnxn，则()Xk为实序列。（2）若xn为奇序列：()()xnxn，则()Xk为纯虚序列。1、巴塞伐尔（Parseval）定理2211001()()NNnnxnXkN（7-21）2、卷积定理若xnXk，ynYk，则()*()()()xnynXkYk（7-22）()()()*()xnynXkYk（7-23）7.3采样定理数字计算频谱前必须要对信号()xt进行离散采样，形成数字计算机可以处理的离散信号()()sxnxnT，其中sT是离散采样时间。离散采样获得的()xn显然只保存了信号()xt在采样时刻sstnT的值，是否能由离散信号()xn计算出()xt的频谱，是数字计算频谱前必须回答的问题。香农采样定理给出了合理答案。假设()xt是最高谐波频率为hf的带限信号，即2()()jftxtXfedf(()0,[,])hhXffff（7-24）式中，()[()]XfFxt以采样间隔sT对()xt离散采样，得离散信号()()sxnxnT(,)n（7-25）由()xn可构造出一个所谓的冲激抽样信号：()ssnxtxntnTT（7-26）一方面，直接对此式两边进行傅里叶变换，得2()sjfnTsssnnhXfFxtFxntnTTTxne可见，()xt的频谱可由离散信号()xn计算得到。将相应的运算称为对离散信号()xn的傅里叶变换，记作()Fxn，即2()()sdefjfnTsnhXfTxneFxn（7-27）()Xf对应称为离散信号()xn的频谱。不难验证，()Xf是频率f的周期函数，重复的周期是采样频率1ssfT。另一方面，考察()xt，发现()xt与原信号()xt有非常简明的关系：()()()()()()()sssssssnnnxtxnTtnTTxtnTTxtnTT两边进行傅里叶变换，可得1()()()()[()()]sssnnXfXffnfXfXfnfXfnf（7-28）可见，()Xf是由()Xf及其前后频移snf的各项叠加而成的。若2shff，则当[,]22ssfff时，对于1n，由于shfnff，shfnff，根据式（7-24）有()0sXfnf，()0sXfnf从而有()()XfXfFxn([,])22ssfff（7-29）此时()Xf表达式（7-28）中的各项互不混叠，如图7-3所示。因而可以从中提出()Xf，可以由[]xn精确计算出()xt的频谱。图7-3无混叠采样冲激抽样信号频谱若2shff，此时()Xf表达式（4.3-5）中的各项前后混叠，如图7-4所示。因而不能从中提出()Xf，也就不能由[]xn精确计算出()xt的频谱。这也就是所谓的采样频率过低造成了频谱混叠。图7-4频谱混叠的冲激抽样信号频谱式（4.3-6）及其条件表述便是香农采样定理，对于最高谐波频率为hf的带限信号，只要采样频率2shff，就可以由采样得到的离散信号[]xn精确计算出()xt的频谱。而2shff则称为香农采样条件或无混叠离散采样条件。7.4栅栏效应与频谱泄漏7.4.1栅栏效应直接利用DFT计算非周期信号频谱时，对频谱的取样间隔定