第7章网络函数

1第7章网络函数主要内容1.网络函数在电路分析中的应用；2.网络函数极点和零点的概念；3.极点和零点分布对时域响应和频率特性的影响。§7-1网络函数的定义一、网络函数的定义、电流源）的象函数（独立电压源输入激励）的象函数（电压或电流零状态响应)()()()()(tetrsEsRdefsH)(SH可能是驱动点阻抗(导纳),转移阻抗(导纳),电压转移函数或电流转移函数。二、网络函数的性质1.)()()(sEsHsR)()]([)]([)()()()()(1(s)11trsRLsHLthsHsRtteE当2.)(SH分母多项式的根即为对应电路变量的固有频率例14-1：电路中激励为)(tiS，求冲激响应)(th,也即电容电压)(tuC。解：RCsCGsCsZsUsEsRSHC1111)(1)()()()()(1)]([)()(1teCsHLtuthRCtC3.网络函数一定是S的实系数有理函数，其分子、分母多项式的根或为实数或为共轭复数，因线性非时变电路由线性的CMLR),(,及独立电源，受2控源（线性控制系数）等元件组成，所列出的方程为S的实系数代数方程。4.网络函数中不会出现激励的像函数。例14-2：下图所示电路为低通滤波电路,已知,1,5.0,34,5.1321RHLFCHL,激励是电压源)(1tu，求电压转移函数)()()(121sUsUsH和驱动点导纳函数)()()(112sUsIsH。解：运算电路如右图，回路电流方程为0)()1()(1)()(1)()1(22312122121sIRsCsLsIsCsUsIsCsIsCsL)()(,)()()(),()(1)(sIRsUsDsUsIsUsDsRCsCLsI22121222311)1)((122)()(其中ssssssRsLLsCLRsCLLsD2233122132311)1)((11221)()()(223121sssssssUsUsH电压转移函数为函数为导纳驱动点1)1)((342122342)()()(22232112sssssssssssUsIsH§7-2网络函数的极点和零点一、网络函数的一般形式3njmiinjminnnnmmmmpzHppppzzzzHasasabsbsbsDsNsH1j1021210011011)-(s)-s)-(s)-(s)-)(s-(s)-(s)-(s)-)(s-(s)()()(（＝＝iz称为网络函数的零点，因0)(izssH；jp称为网络函数的极点，因jpssH)(。)(sH的零点和极点或为实数或为共轭复数，)(sH的极点即为对应变量的固有频率。二、极、零点图以s的实部为横轴，虚部j为纵轴的坐标平面称为复频率平面(或s平面)，在平面上标出)(sH的极点和零点的位置(用””表示极点，”O”表示零点)，就是)(sH的极、零点图。例14-3：绘出36416122)(232ssssssH的极零点图。解：)4)(2(2)86(2)(2sssssN)2323)(2323)(1()33)(1()(2jsjssssssD2323,2323,1)(4,2)(32121jpjppSHzzSH的三个极点的两个零点§7-3极点、零点与冲激响应1.(s)H的分母具有单根且为真分式，冲激响应为4njtpjnjjjjekpskLsHLth1111][)]([)(①jp为负实根，tpje为指数衰减，jp越大，衰减越快，0)(tth,电路稳定；②jp为正实根，tpje为指数增长，jp越大，增长越快，且有tth)(，电路不稳定；③jp为共轭复根，jpj)(,th以te为包络线以为频率的正弦函数；0]Re[,jpa,极点位于右半平面，te随t增大，电路不稳定；0]Re[,jpb,极点位于左半平面，te随t衰减，电路稳定；0]Re[,jpc,极点位于虚轴，)(th等幅振荡，)Im(jp越大，振荡频率越大；④不管极点是实数还是共轭复数，只要极点位于左半平面，)(th必随t衰减，电路是稳定的。实际的线性电路，)(sH的极点一定位于左半平面。2.零点位置只影响jk的大小，不影响)(th的变化规律，根据H(s)的极点分布情况，完全可以预见冲激响应)(th的特性。)(th的特性就是时域响应中自由分量的特性，而强制分量的特点仅决定于激励的变化规律，故根据)(sH的极点分布情况和激励的变化规律不难预见时域响应的全部特点。5例14-4：RLC串联电路如下图所示，根据网络函数)()()(sUsUsHSC的极点分布情况，分析接通恒定电压源SU后)(tuC的变化规律。解：11111)()()(2RCsLCssCsCsLRsUsUsHSC))((121pspsLC(1)当CLR20时,2202,1,2,LRjp,极点位于左半平面,如上图中)(,,21tuppC的自由分量)(''tuC为衰减的正弦振荡，包络线指数为te,振荡角频率为；(2)当0R时,jp'2,10,,0,极点位于虚轴,)(''tuC为等幅正弦振荡,角频率为0；(3)当CLR2时,LCLRLRp1)2(22''2,1，极点位于负实轴,)(''tuC由2个衰减速度不同的指数函数组成。)(tuC的强制分量)('tuC取决于激励的情况，本例中sSutu)(，因此sCutu)('。§7-4极点、零点与频率响应如果令网络函数H(s)中复频率s等于j，可绘出角频率为时，正弦稳态下的输出相量与输入相量之比。研究)(jH随变化的情况就可以预见相应电路变量的正弦稳态响应随变化的特性。电路变量的频率响应与相应的)(sH的极、零点有着密切的关系。对于某一固定频率来说，)(jH通常是一个复数，即可表示为6jejHjH)()()(jH为网络函数在处的模值，)](arg[jH为网络函数在处的相位。幅频响应：)(jH随变化的关系；相频响应：)](arg[jH随变化的关系；得到令由)()()(,)()()(110110jspszsHsHpjzjHjHnjjmiinjjmiiminjjinjjmiipjzjjHpjzjHjH11110)arg()arg()](arg[)(若已知网络函数的极点和零点，则按上式便可计算对应的频率响应，同时还可以通过在s平面上作图的方法定性描绘出频率响应。例14-5：下图为RC串联电路，试定性绘出以2u为输出时该电路的频率响应。解：RCpRCsRCUUH1,11(s)(s)(s)112极点将)(sH中s用j代替，得RCjRCjH11)(7)(jH在321,和时的模值分别为RC1除以上图中线段长度M1、M2和M3，对应的相位分别为同图中的321、、的负值。随从零沿虚轴向增长时，)(jH趋于零，而相位从0趋近于90，由此，定性画出的幅频特性和相频特性如下所示。可以看出，该电路具有低通特性，当0时，0112UU，而当,11时RCp45211112jUU，即,707.012UU相当于0时模值的0.707倍。滤波器理论中，RC1，称为低通滤波器的截止频率，用)(ccf或表示，并称0到)(ccf或的频率范围为通频带。RCp11增大，截止频率c升高，通频带加宽；RCp11增大，使冲激响应的衰减加快；例14-6：下图所示为RLC串联电路，设电容电压为输出电压2u,电压转移函数(s)(s)(s)12UUH，试根据该网络函数的极点和零点，定性的绘出)(jH。8解：))((1))((1111(s)(s)(s)2102112pspsHpspsLCsCsLRsCUUH))((1)(,21012pjpjHjHUUjs则有令设极点为一对共轭复数，即,)2(1222,1jLRLCjLRp2202201,LC式中)()](arg[)(21210211101jHMMHpjpjHjH定性绘出的幅频特性和相频特性如下图所示。从上述分析中可以看出，当1p,2p如上图所示位置时，随变化，M1和M2变化几乎相等，可以看到没有一个极点对频率响应起主要作用。如果极点位置如下图所示，即极点1p接近j轴，则在j与1p之间的矢量M1的长度和角度对)](arg[)(jHjH和都产生较大的影响，而M2却改变较少。当0时，模)(jH达到峰值，而LC10为RLC串联电路的谐振角频率。当极点为共轭复数时，极点到坐标原点的距离与极点的实部之比对网络的频率响应影响很大，有时把此值的一半，即20定义为极点的品质因素，以pQ表示。对于二阶电路9QCLRRLQp1200(Q为回路品质因数)当21pQ时，)(jH值随的增大而单调减小；当pQ增大时，出现峰值，且峰值随pQ的增大而增大，峰值对应的频率值随pQ的增大而趋于0。§7-5卷积设有两个时间函数)(1tf和)(2tf，它们在t0时为零，则)(1tf和)(2tf的卷积为tdftftftf02121)()()()(拉氏变换的卷积定理：设)(1tf和)(2tf的拉氏变换的象函数分别为)(1sF和)(2sF，有tsFsFdftfLtftfL0212121)()(])()([)]()([)()()]()([1212sFsFtftfL)()()()(1221tftftftf可以应用卷积定理求电路响应，设E(s)表示外施激励，H(s)表示网络函数，网络响应R(s)为R(s)=E(s)H(s)10ttdtehdthesHsELtr001)()()()()]()([)(例14-7：下图所示为RC并联电路，其中FCkR1,500，电流源的电流为AeitS2，设电容上原来没有电压，求)(tuC。解：电路的冲激响应tRCteeCth26101)(VteedeededeedhtitutttttttttSc)()(2210102)()()(200)(026)(60