第7章逐步法对一般动力荷载的反应

高等结构动力学第七章高等结构动力学对一般动力荷载的反应—逐步法高等结构动力学§7.1一般概念§7.2分段精确方法§7.3数值近似方法—一般注释§7.3二阶中心差分列式§7.3积分法§7.3非线性分析的增量列式§7.3线加速度法步骤概要第七章对一般动力荷载的反应—逐步法高等结构动力学分析承受任意动力荷载的线性结构，Duhamel积分或频域分析，提供了最方便的解法。这两种方法的推导过程中都使用了叠加原理，只能适用于线性体系，即反应过程中体系的特性保持不变。另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体系不能视作线性的。如：足以引起严重破坏的地震运动下的建筑物反应等等。因此，还需要发展适用于非线性体系的其它分析方法。§7.1一般概念§7.1一般概念高等结构动力学动力反应分析的方法1、叠加法——线性体系，即反应过程中体系的特性保持不变；2、逐步法——体系不能视作线性的，要发展适用于非线性体系的方法。高等结构动力学逐步法的思想将荷载和反应历程分成一系列的时间间隔或步；每步期间结构特性保持常数；每步的反应为此步开始时的初始条件（位移及速度）和该步期间的荷载历程引起；是一个分段线性化的系统。§7.1一般概念高等结构动力学近似的方法方程的近似方程求解方法的近似1）数值微分2）数值积分§7.1一般概念高等结构动力学§7.2分段精确方法§7.2分段精确方法高等结构动力学0()pp(7-1)0mvcvkvp(7-2)()()()hpvvv(7-3)()exp()(cossin)hDDvAB021()()pacvpkk(7-4)0123()exp()cosexp()sinDDvAAAA(7-5)§7.2分段精确方法高等结构动力学其中00232vA12A200AvA30221()DAvA同样地，可获得时间步长期间的速度为13223()()exp()cos(A+A)exp()sinDDDDvAAA(7-6)§7.2分段精确方法高等结构动力学§7.2分段精确方法高等结构动力学图E7-2分段精确计算的反应§7.2分段精确方法高等结构动力学§7.3数值近似方法——一般注释数值方法——数值微分、数值积分近似逐步法的要点：1）列式可以为显式亦可为隐式；2）效率是重要的，关系到达到精度的工作量，任何情况下步长必须短到足以提供荷载和反应历程足够的精度；3）产生误差的技术原因——舍入、不稳定性、截断；4）产生误差的自身原因——相位的漂移或频率的显著改变、人工阻尼。§7.3数值近似方法——一般注释高等结构动力学§7.4二阶中心差分列式§7.4二阶中心差分列式高等结构动力学0000mvcvkvp00001()vpcvkvm01101212vvvvvvhh；；1212010012211()()vvvvvvvhhh（7-7）（7-8）§7.4二阶中心差分列式使用中心差分:高等结构动力学010121(2)vvvvh（7-9）21010002()hvvvpcvkvm2100001()2hvpcvkvvvm（7-10）1102vvvh1102vvhv§7.4二阶中心差分列式高等结构动力学2100000()2hvvhvpcvkvm（7-11）10011()2vvvvh10102()vvvvh（7-12）§7.4二阶中心差分列式使用平均速度的概念,可以得到;高等结构动力学§7.5积分法另一类一般性的逐步进行动力反应分析的数值方法是，对每一时间步，从初始到最终条件应用积分前进一步。这个基本概念可用如下式子表示：100100()()hhvvvdvvvd（7-13a）（7-13b）§7.5积分法高等结构动力学§7.5积分法最终速度和位移依据这些值的初始值加一个积分表达式。速度的变化依赖于加速度历程的积分，而位移的变化依赖于相应的速度积分。为了进行这类分析，首先需要假设在时间步的持续时间内加速度是如何变化的；加速度的假设也控制了速度的变化，因而可以由这一步向前获得下一时间步。高等结构动力学§7.5积分法Euler-Gauss方法最简单是假设加速度在时间步持续时间内为常数，结果是在持续时间内速度为线性，位移为二次曲线——著名的Euler-Gauss方法。高等结构动力学列式特性的样式，假设常量加速度是由初值及步长持续时间内所获得的最终加速度的平均。在此图中也显示了速度和位移的表达式，它们是对此加速度在这步持续时间内任意时刻由逐次积分所获得的，把代入这些表达式而获得最终速度和位移。§7.5积分法h高等结构动力学图7-3基于常平均加速度的运动h0t1t210001()4hvvvhvv1001()2hvvvv1v0v0v0v011()2avvvv001()()2vvvv20001()()4vvvvvh加速度（常数）速度（线性）位移（二次的）高等结构动力学为了对任意步开始这种分析，首先需要计算初始加速度0v时刻0tt式（7-7）所示的动力平衡表达式获得。另外，最终加速度1v需要应用隐式列式，它的值可以由迭代获得。对，这可以解1v它的值可以由迭代获得。对开始时用任意假设的值，再用图7-3所列式（a）和（b）得到1v和1v的值。然后，用与式（7-7）相当的表达式从动力平衡方程计算1t时刻1v值的一个改进，由此再导得速度和1v和1v和位移1v1v的改进值，最后，迭代收敛于这时间步最终加速度的一个固定的值，这个过程可以前进一步到下一时间步。§7.5积分法高等结构动力学迭代的列式11111()vpcvkvm1v开始时用任意假设的值，再用图7-3所列式（a）210001()4hvvvhvv1001()2hvvvv§7.5积分法高等结构动力学常平均加速度法的主要优点：是无条件稳定的。也就是说，从一步到下一步不管时间步长选得如何长，误差不会放大。因此时间步长的选择只需要考虑所定义动力激励和结构的振动反映特性。高等结构动力学Newmark—β法一种更一般的逐步列式是由Newmark提出的，前面的方法可以作为它的特殊情况。但是也可以在其他一些形式下应用。在Newmark列式中，对最终速度和位移的基本积分[式（7-13）]如下所示：§7.5积分法高等结构动力学1001(1)vvhvhv22100011()2vvhvhvhv（7-14a）（7-14b）由式（7-14a）显然可见，系数提供了在初始和最终加速度改变影响之间的线性变化的权重，类似地，系数β提供了在这些初始和最终加速度对位移改变贡献的权重。高等结构动力学从该列式性能的研究发现，系数γ控制了由这个逐步法导致的人工阻尼量；如果γ=1/2，方法是无人工阻尼的，因此这个值被推荐用于标准的单自由度分析。在式（7-14a）和式（7-14b）中令系数γ=1/2和β=1/4，此时可以看到，Newmark列式直接退化为图7-3所示最终速度和位移的表达式。因此，Newmarkβ=1/4法也可以归诸于常平均加速度法。§7.5积分法高等结构动力学另一方面，如果β取作1/6（用γ=1/2），最终速度和位移的表达式成为§7.5积分法1001()2hvvvv221000136hhvvvhvv（7-15a）（7-15b）高等结构动力学这些结果也可以如图7-4所示，由假设在时间步持续期间加速度在和的初始到最后值之间线性变化来得到；因此β=1/6的Newmark法也称为线加速度法。像常平均加速度法一样，此法在实际中也是广为应用的。但是与β=1/4方法对比，线加速度法仅是条件稳定的。可是，与二阶中心差分法一样，在单自由度体系分析中这个限制并不重要，因为要获得动力荷载和反应的满意表示，必须取比这一限制更短的时间步长。1v0v§7.5积分法高等结构动力学变换到显式公式β法的隐式列式是不方便应用的，因为每一时间步内为了确定此步终点加速度需要进行迭代。因此，通常被修改为显式形式，目的是最终加速度用其他反应量表示——选择一个基本未知量（位移较好）。§7.5积分法高等结构动力学再代入图7-3式（a）中，获得最终速度表达式为11002()vvvvh（7-16b）§7.5积分法11000244()vvvvvhh（7-16a）根据图7-3式（b）对最终加速度求解可得高等结构动力学在t1时刻写出动力平衡方程1111mvcvkvp并将式（7-16a）和（7-16b）代入上式，则可导得仅含时间步终点未知位移v1的表达式。经适当归并同类项，此式可写为~~c11ckvp（7-17）这是一个静力平衡方程的形式，它包含等效刚度~c224cmkkhh（7-17a）§7.5积分法高等结构动力学和等效荷载~0010001c2244()()vvppcvmvvhhh（7-17b）在式（7-17）里下标c用以标记常平均加速度法。1v§7.5积分法1v高等结构动力学11111()vpcvkvm[而不是从式（7-16a）求]，因而保留了平衡条件。§7.5积分法使用这个显式公式，时间步终点位移v1可直接由式（7-17）计算，所要用到的仅是时间步开始时的数据。然后，此时刻的速度可用式（7-16b）计算，最后，此时间步终点的加速度由求解该时刻的动力平衡方程而得高等结构动力学采用同样的方法，使用图7-4中的式（a）和（b），也可以类似地将线性加速度法转换为显式形式，这些列式的位移差别就是等效刚度，等效荷载及最终速度的表达式不同。对线加速度分析来说，等效静力平衡方程为~~11ddkvp（7-18）§7.5积分法高等结构动力学图7-4基于线性变化加速度的运动0t1t221000136hhvvvhvv1001()2hvvvv1v0v0v0v100()()vvvvh21000()()vvvvvhh2310000()()26vvvvvvh加速度（线性）速度（二次的）位移（三次的）h§7.5积分法高等结构动力学~001000012636(2)(2)2dvvhppmvvcvvhhh（7-18b）当位移v1由式（7-18）计算时，同时刻的速度可由如下表达式给出[相当于式（7-16b）]:110003()22hvvvvvh（7-18c）§7.5积分法其中下标d表示线加速度法。等效刚度和荷载分别为~236dcmkkhh（7-18a）高等结构动力学线加速度法仅仅是条件稳定，但如前面所述，对于单自由度体系分析，这一点并不重要。另一方面，假设每个步长持续时间内加速度线性变化，要比连续用常加速度法能获得真实特性的更好近似。实际上，数值实验结果也证明了线加速度法结果比用常加速度步所得结果优越。基于此理由，对单自由度体系的分析推荐使用线加速度（β=1/6）法。§7.5积分法高等结构动力学§7.6非线性分析的增量列式上述分析中，体系的动力特性保持不变，仅可用于线性体系；在步长△t足够小时，可以认为体系的动力特性是常数；采用一系列短时间增量△t计算反应，为了方便取△t为等步长；在步长的起点和终点建立动力平衡条件，并以一个假设的反应机理为根据，近似地计算在时间增量范围内体系的运动(通常忽略去在时间间隔内可能产生的不平衡)；体系的非线性特性可用每个时间增量起点所求得的当前变形状态的特性来说明。利用本计算时间区间终点的速度和位移作为下一计算时间区间的初始条件从而可得到整个反应；§7.6非线性分析的增量列式高等结构动力学这个过程可以逐步地从加荷开始时起进行到任何所要求的时间，而非线性特性则可用一系列相继改变的线性体系来逼近。对于非线性分析，最有效的方法是逐步积分法；§7.6非线性分析的增量列式高等结构动力学图7-5非线性动