第7讲一元二次方程.

考点知识精讲中考典例精析第7讲一元二次方程考点训练举一反三考点一一元二次方程的定义在整式方程中，只含有_____个未知数，并且含未知数项的最高次数是____，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是_______________________.考点二一元二次方程的常用解法一2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)1.直接开平方法:如果x2=a(a≥0),则x=±a，则x1=a,x2=－a.2．配方法：如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则x＋p22＝－q＋p22.x1＝－p2＋－q＋p22，x2＝－p2－－q＋p22.3．公式法：如果方程ax2＋bx＋c＝0且b2－4ac≥0，则x＝－b±b2－4ac2a.4．因式分解法：若ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－fe，x2＝－nm.考点三一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，一般用符号Δ表示．(1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则x1,2＝－b±b2－4ac2a；(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－b2a；(3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．温馨提示：只有一元二次方程，才具有根的判别式.因此在逆用判别式时，一定要保证二次项系数不等于零.考点四一元二次方程根与系数之间的关系1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.2．(简易形式)若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.考点五列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．温馨提示：在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根.(1)(2011·兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋1x2＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝0(2)(2011·武汉)若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是()A．4B．3C．－4D．－3(3)(2011·潍坊)关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是()A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法．【解答】(1)C把(x－1)(x＋2)＝1整理得x2＋x－3＝0，是一元二次方程．(2)B由一元二次方程根与系数的关系知x1x2＝ca＝3.(3)B∵Δ＝(2k)2－4(k－1)＝4k2－4k＋4＝4(k－12)2＋3∴无论k取何值，均有Δ≥3，方程都有两个不相等的实数根．(2011·南京)解方程x2－4x＋1＝0.【点拨】本题考查一元二次方程的解法．【解答】解法一：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，(x－2)2＝3.由此可得x－2＝±3.x1＝2＋3，x2＝2－3.解法二：a＝1，b＝－4，c＝1.b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0.x＝4±122＝2±3，x1＝2＋3，x2＝2－3.方法总结：解一元二次方程有以下几种方法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解.一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，应采用直接开平方法；若能因式分解就用因式分解法；当两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法.(2010·成都)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当b2－4ac≥0时，方程有两个实数根．【解答】∵方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，∴b2－4ac＝42－4×1×2k≥0.即16－8k≥0，解得k≤2.∴k的非负整数值为k＝2,1,0.（2011·桂林）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？【点拨】求年平均增长率问题：一般列方程a(1±x)n＝b.其中a为原始数据，b为增长(减少)后数据，n为变化周期，x为增长(降低)率．【解答】(1)设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，根据题意得，2000(1＋x)2＝2420，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%.(2)2012年需投入资金：2420×(1＋10%)2＝2928.2(万元)．答：2012年需投入资金2928.2万元．方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验最后的结果，对不符合实际问题的未知数的值应舍去.1．一元二次方程a2－4a－7＝0的解为_________________________.2．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值是_______.3．方程x(x＋1)＝5(x＋1)的解是________________.5．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是_____.a1＝2＋11，a2＝2－11－1x1＝5，x2＝－14．已知2＋3是方程x2－4x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根为____________，m的值为.1x＝2－325%6．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a、b，则1a＋1b的值是_____.－657．用配方法解方程：6x2－x－12＝0.8．【前情提示】为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2009年平均每公顷产8000kg,2011年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．【解题方案】设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x.(1)用含x的代数式表示：答案：x1＝32，x2＝－43①2010年种的水稻平均每公顷的产量为____；②2011年种的水稻平均每公顷的产量为；(2)根据题意，列出相应方程；(3)解这个方程，得；(4)检验：___________________________；(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______.8000(1＋x)8000(1＋x)28000(1＋x)2＝9680x1＝0.1x2＝－2.1x1＝0.1，x2＝－2.1都是原方程的根，但x2＝－2.1不符合题意，所以只能取x＝0.110%一元二次方程训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2011·安徽)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是()A．－1B．2C．1和2D．－1和2【解析】由x(x－2)＝2－x得(x＋1)(x－2)＝0，∴x1＝－1，x2＝2.【答案】D2．(2011·江西)已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是()A．1B．2C．－2D．－1【解析】把x＝1代入方程x2＋bx－2＝0得1＋b－2＝0，∴b＝1，解方程x2＋x－2＝0得x1＝－2，x2＝1，∴方程的另一个根是x＝－2.【答案】C3．(2010中考变式题)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是()A．b2－4ac＝0B．b2－4ac0C．b2－4ac0D．b2－4ac≥0【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac0.【答案】B4．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6B．(x＋2)2＝9C．(x－1)2＝6D．(x－2)2＝9【解析】由x2－2x－5＝0得x2－2x＝5，∴x2－2x＋1＝6，∴(x－1)2＝6，故选C.【答案】C5．(2010中考变式题)上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是()A．168(1＋a%)2＝128B．168(1－a%)2＝128C．168(1－2a%)＝128D．168(1－a2%)＝128【解析】第一次降价a%后，售价为168(1－a%)，第二次降价后为168(1－a%)(1－a%)＝168(1－a%)2，即168(1－a%)2＝128.【答案】B6．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解析】解一元二次方程x(x－2)＝0得x1＝0，x2＝2，所以方程有两个不相等的实数根．【答案】A7．(2010中考变式题)一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A．－1B．－2C．1D．2【答案】B【解析】x1·x2＝ca＝－21＝－2.8．(2011·成都)已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是()A．n2－4mk＜0B．n2－4mk＝0C．n2－4mk＞0D．n2－4mk≥0【解析】∵方程有两个实数根，∴n2－4mk≥0.【答案】D9．(2010中考变式题)如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等的实根，则实数a的取值范围是()A．a1B．a1且a≠0C．a≤1D．a≤1且a≠0【解析】∵方程有两个不等的实数根，∴b2－4ac0，即22－4a0，∴a1.又∵a≠0，∴a1且a≠0.【答案】B10．(2012中考预测题)在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是()A．x2＋130x－1400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1400＝0D．x2－65x－350＝0【解析】由题意可列方程为(80＋2x)(50＋2x)＝5400，化简为x2＋65x－350＝0.【答案】B二、填空题(每小题3分，共24分)11．(2010中考变式题)方程x2－4x＝0的解是________．【解析】x2－4x＝0，x(x－4)＝0，∴x＝0或x－4＝0，即x1＝0，x2＝4.【答案】x1＝0，x2＝412．(2010中考变式题)两圆的圆心距d＝5，它们的半径分别是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，这两个圆的位置关系是__________．【解析】设半径为R、r，则R＋r＝5.∵d＝5，∴R＋r＝d，故两圆位置关系是外切．【答案】外切13．(2011·山西)“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力.2010年全省全年旅游总收入大约1000亿美元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________．【解析】设年平均增长率为x，根据题意列方程，得1000(1＋x)2＝1440，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．所以年平均增长率应为20%.【答案】20%14．(2010中考变式题)方程2x2－3x＋1＝0的解是__________．【解析】用公式法求x＝3±9－