第8_6几何中的应用

第六节复习目录上页下页返回结束一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第八章复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线),(00yx切线方程0yy法线方程0yy若平面光滑曲线方程为),(),(ddyxFyxFxyyx故在点切线方程法线方程)(0yy),(00yxFy)(),(000xxyxFx0))((00xxxf)()(100xxxf在点有有因0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0xx机动目录上页下页返回结束一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法机动目录上页下页返回结束位置.TM空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为参数方程的情况切线方程000zzyyxx),,(0000zyxMtt对应设),,(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0t机动目录上页下页返回结束TM:的方程割线MM))((00xxt此处要求)(,)(,)(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.)()(00yyt0))((00zzt如个别为0,则理解为分子为0.机动目录上页下页返回结束M不全为0,))(,)(,)((000tttT因此得法平面方程说明:若引进向量函数))(,)(,)(()(ttttr,则为r(t)的矢端曲线,0t而在处的导向量))(,)(,)(()(0000ttttr就是该点的切向量.o)(trTzyxo例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解:由于0Rykkz2),,0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在机动目录上页下页返回结束),0,(kRT,故2.曲线为一般式的情况光滑曲线0),,(0),,(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJxydd曲线上一点),,(000zyxM,且有xzdd,),(),(1xzGFJ,),(),(1yxGFJ时,可表示为处的切向量为MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1机动目录上页下页返回结束)(,)(,100xxT000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),,(000zyxM切线方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0zz或机动目录上页下页返回结束MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF机动目录上页下页返回结束例2.求曲线0,6222zyxzyx在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.MzyGF),(),(切线方程解法1令则即0202yzx切向量Mzy1122Mzy)(2;6xyz机动目录上页下页返回结束)6,0,6(T法平面方程0)1(6)2(0)1(6zyx即0zx机动目录上页下页返回结束解法2.方程组两边对x求导,得1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1切线方程即法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0zx点M(1,–2,1)处的切向量机动目录上页下页返回结束)1,0,1(T二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点0tt设对应点M,切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为在该点的切平面.机动目录上页下页返回结束上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.))(,)(,)((000tttTMT证:机动目录上页下页返回结束在上,0))(,)(,)((tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFz)(0t)(0t得))(,)(,)((000tttT)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT切向量由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.)(),,(0000xxzyxFx曲面在点M的法向量法线方程000zzyyxx)(),,(0000yyzyxFy0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFzMT)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习目录上页下页返回结束)(),(000xxyxfx曲面时,zyxfzyxF),(),,(则在点),,,(zyx故当函数),(00yx法线方程令有在点),,(000zyx特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz切平面方程机动目录上页下页返回结束法向量用将),(,),(0000yxfyxfyx,,yxff法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,)1,),(,),((0000yxfyxfnyx复习目录上页下页返回结束例3.求球面3632222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程)1(2x即法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动目录上页下页返回结束)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n例4.确定正数使曲面zyx在点),,(000zyxM解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故000000000zyxyzxxzy0x又点M在球面上,于是有000zyx相切.333a与球面机动目录上页下页返回结束),,(0002zyxn21//nn,因此有20y20z21.空间曲线的切线与法平面切线方程000zzyyxx法平面方程))((00xxt1)参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0))((00zzt机动目录上页下页返回结束))(,)(,)((000tttT切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),,(0),,(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2)一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0xxMxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0zz机动目录上页下页返回结束T空间光滑曲面曲面在点法线方程),,(0000zyxFxxx),,(0000zyxFyyy),,(0000zyxFzzz)(),,()(),,(00000000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况.的法向量0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程2.曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2)显式情况.法线的方向余弦2211cosyxff法向量机动目录上页下页返回结束)1,,(yxffn思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则000226zyx32机动目录上页下页返回结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此0zz作业P452，3，4，5，8，9，10)(0xxxzM)(0yyyzM2.设f(u)可微,第七节目录上页下页返回结束证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为1.证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证:曲面上任一点的法向量,1F,)()(21nFmF)2F取定直线的方向向量为,m,1)n则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题机动目录上页下页返回结束(n(l,0nl2.求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为)2,2,1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0)1()1(9)1(16zyx024916zyx即与法平面.机动目录上页下页返回结束)1,1,1(1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl