第8章。dxg.

自动控制原理——第8章非线性系统§信息控制类专业最重要的专业基础课之一§邓晓刚信息与控制工程学院自动化系第8章非线性控制系统分析8-1非线性系统概述8-2常见非线性特性及其影响8-3相平面法8-4描述函数法8-5逆系统法（自学）§8-1非线性系统概述一.研究非线性的意义非线性是宇宙间的普遍规律实际系统基本上都是非线性的非线性系统的运动形式多样，种类繁多饱和特性xy0aa0kxy0aa0k死区特性继电特性xy0MMaa二.非线性系统的数学模型当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。其数学模型一般表为：三.非线性系统的处理手段有些可以近似为线性系统，以简化处理：当非线性程度不严重时，忽略非线性特性的影响；在系统的工作点附近，用小偏差法将非线性模型线性化。非线性系统千差万别，对于非线性系统目前还没有普遍适用的处理方法有些必须用非线性系统地分析和设计方法非线性程度比较严重大范围工作为了改善系统的性能有意设计的非线性控制器四.非线性系统的特征根本特征：不能应用叠加原理1）稳定性分析复杂线性系统只有一个平衡（稳定）状态，一般为原点。非线性系统可能有多个平衡状态，稳定性与平衡状态相联系稳定性不仅取决于系统的结构参数，还与外作用形式和幅值以及系统的初始状态有关。解微分方程，得ttexxextx0001)(0100texx由1ln00xxt120(1)00,1xxxxxx解：平衡状态为设t=0时状态初值为0x2xxx【例1】非线性系统方程为分析其平衡状态。2)当时10x0x随增大而减小至0xt且时，0x0x所以，是稳定平衡点01x(1)xxx0x1)当且时10x1ln00xxt随增大到无穷大xt所以，是不稳定平衡点12xttexxextx0001)(2)可能出现自激震荡现象自激振荡：指在没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。自振是非线性系统特有的现象线性系统只有在临界稳定时才会出现周期振荡，但不是自激振荡考虑范德波尔（vanderpol）方程0,0)1(22xxxx描述的是具有非线性阻尼的非线性二阶系统当时，负阻尼，状态发散1x0)1(22x当时，正阻尼，状态收敛1x0)1(22x当时，零阻尼，周期振荡1x0)1(22x所以，该系统从任何初始状态开始，都会出现自振1,0)1(22xxxx不同初值的仿真计算051015202530-4-3-2-10123x0=2x0=-3x0=0.5：不同的初值都出现自振一般情况下不允许自振，但有时利用高频小振幅自振克服系统的间隙、死区等对系统的不良影响，提高系统的精度。振荡器利用自振产生确定频率和振幅的振荡信号。研究自振产生的条件，确定自振的频率和周期是非线性系统分析的重要内容。3）频率响应发生畸变在正弦信号作用下的稳态输出不一定是正弦信号。对于多值非线性环节，各次谐波分量的幅值可能跃变五.非线性系统的分析设计方法①相平面法②描述函数法③逆系统法§8-2常见的非线性特性一.等效增益定义：非线性特性y=f(x)的输出与输入的比值理想放大器为比例环节，其增益为常数。非线性环节的等效增益随输入信号变化，可视为变增益比例环节。()yfxkxx二.典型环节的等效增益①继电特性:继电器、接触器、开关等②死区特性:测量原件、执行机构的不灵敏区造成③饱和特性:放大器、执行机构受电源电压及功率限制导致饱和现象④间隙特性(滞环特性):齿轮间隙、磁滞效应等。间隙特性为非单值函数。⑤摩擦特性:机械传动机构中普遍存在。三.常见非线性因素对系统运动的影响①继电特性:使系统产生自振②死区特性:使系统存在稳态误差③饱和特性:实际系统不会出现幅值到无穷大的发散运动④间隙特性(滞环特性)由于死区，降低系统的精度,通常会造成系统自振,对系统性能不利，尽量消除。⑤摩擦特性造成系统在低速运动时的不平滑性，呈跳跃式变化。静摩擦到动摩擦的跳变产生,对系统性能不利§8-3相平面法一.相平面的基本概念设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述),(xxfx1885年，庞加莱提出相平面法称为系统运动的相变量)(),(txtx为横坐标，为纵坐标的平面称为相平面)(tx)(tx0:)),(),((tttxtx构成的曲线称为相轨迹相平面图二.相轨迹的绘制1.解析法找出和的关系,用求解微分方程的办法找出的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹，xxa)消去参变量t由直接解出，通过求导得到。消去作为参变量的t，就得到相轨迹),(xxfx)(tx)(tx解：Mx，积分有Mtx(1)再积分一次有221Mtxx(2)由(1),(2)式消去t有)(22xxMx例设描述系统的微分方程为0Mx其中M为常量，已知初始条件xxx)0(,0)0(。求其相轨迹。M0M0),(xxfxxx(,)dxxdtdxxfxxdt如果以和作为变量，则可有xxxfdxxd),(用第一个方程除第二个方程有b）直接积分法dxxdxdtdxdxxddtxdx),(xxfdxxdx或者dxxhxdxg)()(可分解为xxxxdxxhxdxg)()(则由xx和的解析关系00xx和为初始条件可找出，xxxfdxxd),(【例1】绘制如下系统的相轨迹0xx初值为00)0(,)0(xxxx解：dxdxdxdxxxdtdxdtdx两边分别求积分，得)(212020xxxdxxx)(212020xxxdxxxdxxxdx)(202022xxxx0xxxxdxxxdx)(202022xxxx该方程表示的相轨迹是一个圆，且圆的半径与状态初值有关xx),(00xx-3-2-10123-3-2-10123x1x2等倾线法的基本思想：首先确定相轨迹的等倾线，然后绘制相轨迹的切线方向场，最后由初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。等倾线：相轨迹上具有相同切线斜率的点的连线dxxdxdtdxdxxddtxdx(,)dxxfxxdxxx该方程给出了相轨迹在相平面上任一点的切线斜率),(xxfx设二阶系统微分方程可以写为2等倾线法k取相轨迹切线斜率为某一常数α，则),(xxfx等倾线方程由初始点出发，将相邻等倾线上的线段连接起来，即构成相轨迹。xxxfdxxd),(使用等倾线法应注意：1）横坐标和纵坐标应采用相同的比例尺2）在上半平面，由于，所以x随t增大而增大，相轨迹走向从左至右在下半平面，,x随t增大而减小，相轨迹走向从右至左0x0xk3）除系统平衡点外，相轨迹与x轴垂直相交4）等倾线越密，相轨迹越准确。可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线斜率的平均值为两条等倾线之间直线的斜率),(xxfxxxxf),(与x轴相交时，若则0x0),(xxf所以，除系统平衡点外，相轨迹与x轴垂直相交xx11故等倾线方程为0xxx1)0(x0)0(x【例2】试绘制其相轨迹已知某二阶系统xxdxxdxxxxxdxxd解：（1）等倾线方程xx1111tgk该等倾线显然为直线，其斜率为等倾线方程tgk对应的相轨迹经过该等倾线的斜率，即切线斜率：为等倾线与x轴的夹角为相轨迹切线与x轴的夹角190arctg45)1(arctg当时11tgktgk2451arctg4.63)2(arctg当时x’x12等倾线斜率等倾线上的相轨迹斜率0xxx绘制其相轨迹二阶系统94215.002.04.011435.228.16.14.12.17.53.114.186.266.33453.51597.54.186.267.33453.51592.687.783.84764.63456.2603.118.218.84766.712.684.6361584.5450x’xa=-1a=-2a=∝a=0a=11)0(x0)0(x（1）线性一阶系统的相轨迹三.线性系统的相轨迹11dccccdtTcT（2）二阶系统的相轨迹0)()()(tbctcatc二阶系统的运动方程为)()())(),(()(tbctcatctcftc相轨迹微分方程为()()((),())()()()()()()dctctfctctactbctdctctctctk注意区分：α为相轨迹上的点经过等倾线处的切线斜率k为等倾线的斜率)()()()()(tctbctcatdctcd令得等倾线方程为)()()(tkcatbctc其中,k为等倾线斜率)()()(tkcatbctc令0,042bba可得满足k=α的两条特殊的等倾线，其斜率为21,21,21,242aabkskkcakbc02bakk当时当相轨迹运动到特殊等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。1）b0当b0时，系统特征根为024,0242221baasbaas讨论二阶系统的相轨迹两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其他相轨迹的渐近线，将平面分为4个区域。当初始条件位于csc2系统趋向于原点，但是只要受到极其微小的扰动，系统将沿着对应的相轨迹方向发散至无穷。所以，b0时，系统不稳定csc12）b＝0系统特征根为ass21,0accdccd相轨迹微分方程为用积分法求得相轨迹方程为))(()(00ctcactca0时，系统收敛a0时，系统发散2422,1baasbccac124222,1nnbaas其特征根为当，可以表示为0b0)()(2)(2tctctcnnbabn2,其中0)()()(tbctcatc二阶系统的运动方程为21,21,21nnk特殊的等倾线3）b0ba2取（1）分情况讨论此时，特征根为具有负实部的共轭复根，系统衰减振荡。从相轨迹上也可以看出系统是稳定的122,1nns10（2）1,12221nnnnss系统零输入响应为非振荡衰减存在两条特殊等倾线，斜率为12211,0ksksk当初始点落在特殊等倾线上时，将沿直线趋于原点，除此之外，相轨迹沿着s1c(t)的方向收敛于原点。1（3）特征根为两个相等的负实根相轨迹的渐近线退化为一条不同初始条件的根轨迹都沿着这条特殊的等倾线趋于原点ns2,1122,1nns1（4）njs2,1系统有一对纯虚根系统运动为等幅振荡运动，相轨迹为一簇椭圆21,21nns020ncc（5）系统有一对具有正实部的共轭复根，系统不稳定，发散122,1nns01（6）系统有两个正实特征根，