第8章位移法.

第8章位移法•一、位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。第二种：以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。结构在外因作用下产生内力变形内力与变形间存在关系§8.1概述力法：由变形协调条件建立位移方程；位移法：由平衡条件建立的平衡方程。二、位移法与力法的区别1.主要区别是基本未知量选取不同力法：多余未知力作为基本未知量；位移法：结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。2.建立的基本方程不同注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。1.刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移；三、位移法的基本假定2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件的轴向变形；3.结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结点线位移垂直于杆轴发生。四、用位移法计算超静定结构的思路例如：用位移法求解如图所示的刚架。由此可知，结点1只有转角Z1，而无线位移。因节点1为刚节点，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。1.为了使问题简化，作如下计算假定：1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变形的影响。2）假定受弯杆两端之间的距离保持不变。忽略轴向变形＝＋这两个结构都可以用力法求解（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时及荷载等因素作用下的内力（2）确定以上结构的位移作为基本未知量（3）如何求出这些位移?ABCPθAθA荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：θAABCPθAθA附加刚臂Step1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。ABC实现位移状态可分两步完成Step3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。ABCPθAθAStep1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性，产生相应的附加约束反力。ABC使结点1正好转动一个转角Z1时，使所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为：R1=0上式意义：外荷载和实际应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）。R11=r11Z1Z1=1根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：R1＝R11＋R1P=0（a)R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩。R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩。为单位位移（转角Z1＝1）产生的约束反力矩。上式的物理意义是，基本结构由于转角Z1和外荷载FP共同作用，在附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零（使a,b两图叠加后附加刚臂不起作用）。由此方程可得：01111PRZr1111rRZP可见，只要有了系数r11及自由项R1P，Z1值很容易求得。为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为：式（a）变为：11111ZrR11r为了确定上式中的R1P和r11，可先用力法分别求出各单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动Z1=1时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。pl81求系数和自由项1Mr11Z1=1lEIr7111）求r11和M1P1AR1PP8Pl8PlMP图2）求R1P和MP现取图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程，求出：1M01MlEIr711PlRP811将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得EIPlZ5621最后，根据叠加原理，即可求出最后弯矩图。11ZMMMP解方程，画内力图1.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；２.人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。综上所述，位移法的基本思路是：PM=R1PR11=r11Z1=-R1P固定节点使之不动（a）（b）释放节点，使节点发生实际位移应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程)。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。8.2.1杆端内力及杆端位移的正负号规定1、杆端内力的正负号规定杆端弯矩：对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。ABABMMBAABEI,l弦转角B'AB§8.2等截面直杆的转角位移方程2、杆端位移的正负号规定ABABMMBAABEI,l弦转角B'AB1）杆端转角（角位移）:以顺时针为正，反之为负。2）线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中ΔAB为正。8.2.2单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用和表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用和表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表中。FABMFBAMFABFQFBAFQ由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承8.2.3转角位移方程1、两端固定梁由叠加原理可得：FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624BAQFABQFABMMBABABqABPFEI=/lAlMB1ABABP+++t1t2Ai4Bi2liAB/6Ai2Bi4liAB/6FABMFBAM固端弯矩2、一端固定另一端铰支梁AMAqFPBAMABFQABlFQBAEIB(非独立角位移)1B033BAFABAABMMliiM3、一端固定另一端定向支承梁ABMlAAMqPFAEIABQFB(非独立线位移)BB1FBABABAFABBAABMiiMMiiM1）两端固定梁2）一端固定另一端铰支梁3）一端固定另一端定向支承梁应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624033BAFABAABMMliiMFBABABAFABBAABMiiMMiiM独立的结点位移：包括角位移和线位移结点角位移数：刚结点的数目独立结点线位移数：铰结体系的自由度§8.3位移法的基本概念8.3.1位移法基本未知量●结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。●杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。●为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。2.有侧移结构1231.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角121基本未知量的确定只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有B只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形及C结点的约束形式，B结点有一个转角和水平位移BBHABCABC有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形及B、C点的约束，B、C点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未知量为：BCABCDABCD排架结构，有两个铰结点A、B，由于忽略轴向变形，A、B两点的竖向位移为零，A、B两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：ABEA=∞ABCD两跨排架结构，有四个结点A、B、C、D，同理A与B点、D与C点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但D结点有一转角，因此该结构的未知量为：ABDCDEA=∞ABDCEFGCDECHDV该题的未知量为对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。ABCDEABCDE结点转角的数目：7个独立结点线位移的数目：3个123刚架结构，有两个刚结点D、E，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×4－2×6=0，铰结体系几何不变，无结点线位移。ABCDEABCD刚架结构，有两个刚结点C、D，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×3－2×4=1，铰结体系几何可变，有一个线位移。两点说明说明1：当刚架中有需要考虑轴向变形（）的二力杆时则考虑二力杆的轴向变形。EA例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形，EAEAEA•2.建立基本体系（1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂，阻止刚结点转动（不能阻止线位移）；（2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆，阻止结点线位移（移动）。8.3.2位移法的基本结构1.基本体系——单跨超静定梁的组合体用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待。经过以上处理，原结构就成为一个由n个独立单跨超静定梁组成的组合体——即为位移法的基本体系。例.建立图示结构位移法的基本体系。未知量2个：B基本体系在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。在有线位移的结点处先加一链杆，阻止线位移，然后再让其发生线位移。EIEIABCLqLq原结构•锁住——将原结构转换成基本体系。把原结构“拆•成”孤立的单个超静定杆件；•放松——将基本结构还原成原结构。即强行使“锁•住”的结点发生与原结构相同的转角或线•位移。2.位移法典型方程的建立与求解1.基本原理——先锁、后松。§8.4位移法的典型方程EIEIABCqLL原结构EIEIABCq基本体系3i4i2iM1图×Z1M2图×Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1MP图==++6EIL26EIL2在M1、M2、MP三个图中的附加刚臂和链杆中一定有约束反力产生，而三个图中的反力加起来应等于零。qL28++=k11k21F1PF2Pk12附加刚臂和链杆上产生的反力EIEIABCq基本体系Z1Z2k22M2图×Z2Z2=16EIL26EIL2qL28MP图qL28M1图×Z1Z1=13i4i2i位移法典型方程1111221211222200PPkZkZFkZkZF由反力互等定理可知：ijjikk在M1、M2、MP三个图中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：方程中的系数和自由项就是M1、M2、MP三个图中刚臂和链杆中产生的附加反力。求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面利用平衡原理求得。由M1图：3i4ik111107BMkik11k21FQBA21660QBAiFLiXkL由M2图：6i/Lk121206BMikLk12k22FQBA212QBAiFL0X22212ikL由MP图：2108BPMqLF200PXF把系数和自由项代入典型方程，有：21212267086120iqLiZZLiiZZLL——位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的典型方程。1、确定位移法基本未知量：基本未知量为:Z1、Z2。2、选取位移法基本体系：如图(b)所示3、将原结构的变形根据变形协调进行分解，为以下三种变形的叠加：R2=0PL2l2l1234EI=常数Z1Z2(a)位移法的典型方程(b)基本体系1234=Z1Z2R1=0P2134PR2PR1P=Z1R211342R111234R22R12Z21）将可能发生位移的节点全锁住，求荷载P引起的局