第8章刚体的基本运动.

理论力学电子教程第八章刚体的基本运动例7-6理论力学电子教程第八章刚体的基本运动第八章刚体的基本运动本章研究刚体的两种基本运动，即刚体的平行移动和绕固定轴转动，它们是研究刚体复杂运动的基础。一、刚体的平行移动在运动过程中，若刚体上任一直线与其初始位置始终保持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平移或移动。例如，电梯的升降运动，在直线轨道上行驶的列车车厢的运动，振动筛筛子运动，汽缸活塞的运动等都是平行移动。1.刚体平移的定义理论力学电子教程第八章刚体的基本运动理论力学电子教程第八章刚体的基本运动理论力学电子教程第八章刚体的基本运动2.刚体平移的特点)0dd(dd)(ddddttttABAAABABBrvrrrrvABABrrrAAABABBtttarrrra222222dd)(dddd:同理如图所示，由刚体平移的定义，rAB为常矢量。平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样，各点的运动轨迹形状相同。即平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。理论力学电子教程第八章刚体的基本运动例8-1荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为，其中t为时间，单位为s；转角φ0的单位为rad，试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的速度和加速度。t4πsin0ABO1O2llM理论力学电子教程第八章刚体的基本运动【解】由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。为求中点M的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为tls4πsin0将上式对时间求导，得A点的速度tltsv4πcos4πdd0MAOBO1O2φll（+）理论力学电子教程第八章刚体的基本运动再求一次导，得A点的切向加速度tltva4πsin16πdd02tA点的法向加速度tllva4πcos16π22022n代入t=0和t=2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：00φ02（铅直向上）0（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)04πl016πl20216π理论力学电子教程第八章刚体的基本运动二、刚体的定轴转动当刚体运动时，其体内或其扩展部分有一直线始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动。这条不动的直线称为转轴。如电动机的转子、机器上的传动齿轮等的运动均为定轴转动。理论力学电子教程第八章刚体的基本运动1．刚体位置的确定A:过Z轴的固定平面，B:随刚体一起转动的动平面。刚体任一瞬时的位置由两平面间的夹角唯一确定。刚体转动时，随时间而改变，它是时间的单值函数，用数学式可表示为=f(t)上述方程称为刚体定轴转动的运动方程。的单位为弧度，其正负号按右手规则确定，即从转轴Oz的方向看，逆钟向量得的角为正值，反之为负值。理论力学电子教程第八章刚体的基本运动2．角速度(刚体转动快慢和转向))(ddΔΔlim0Δ代数量ttt单位：rad/s(弧度/秒）。为正，角位移随时间增大；反之，随时间减小工程中常用单位还有n转/分(r/min)，n与的关系为：30π60π2nn3.角加速度（角速度变化快慢程度）如果与同号，则为加速转动,反之则为减速转动。220ddddlimtttt单位：rad/s2。理论力学电子教程第八章刚体的基本运动4.匀速转动与匀变速转动当=常数,为匀变速转动时。有)(22102022000ttt这里0和0是t=0时转角和角速度。当=常数,为匀速转动时。有=0+t这里0是t=0时转角的值。（1）匀速转动(2)匀变速转动理论力学电子教程第八章刚体的基本运动5.转动刚体内各点的速度与加速度当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。用弧坐标法，在t时间内，走过的弧长为RtRtStSvtt00limlimdds=R速度Rv故理论力学电子教程第八章刚体的基本运动,dd)(ddddtRRtRttva222)(RRRvan422t2nRaaa22nttgRRaa切向加速度为法向加速度为全加速度大小为方向为理论力学电子教程第八章刚体的基本运动结论:（1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度a的方向与半径间的夹角都相同。速度分布图加速度分布图422t2nRaaa22nttgRRaa理论力学电子教程第八章刚体的基本运动例8-2滑轮的半径r=0.2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A，已知滑轮绕轴O的转动规律φ=0.15t3，其中t以s计，φ以rad计，试求t=2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。AOωM理论力学电子教程第八章刚体的基本运动【解】首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度245.0tt9.0代入t=2s，得,srad8.11－2srad8.1－轮缘上M点上在t=2s时的速度为-1sm36.0rvMAOαωMvMatanaMφvAaA加速度的两个分量2tsm36.0－ra22nsm648.0－ra理论力学电子教程第八章刚体的基本运动总加速度aM的大小和方向sm741.022n2t－aaaM,556.0tan229AOαωMvMatanaMφvAaA因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有-2sm36.0MAvv2tsm36.0－aaA它们的方向铅直向下。理论力学电子教程第八章刚体的基本运动6.角速度和角加速度的矢量表示|||:|dtd大小k方向如图kkdtddtd按右手定则规定，的方向。理论力学电子教程第八章刚体的基本运动理论力学电子教程第八章刚体的基本运动RrrrRvsin||sinvrdtrdrdtddtrddtvda)(vraRvvaRrraon290sin||||sin||ravanrarvvan理论力学电子教程第八章刚体的基本运动在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的，故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比，用i表示，即三、定轴轮系的传动比从主从主nni理论力学电子教程第八章刚体的基本运动1．带传动当主动轮Ⅰ转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动从动轮Ⅱ转动。不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1=v=v2。若胶带与带轮间没有滑动，则30π11111nrrv30π22222nrrvr11=r22，r1n1=r2n2传动比:122121rrnni理论力学电子教程第八章刚体的基本运动机床的主轴箱汽车的变速箱以及卷扬机等，都利用齿轮传动。因齿轮传动具有传动比准确及传递的扭矩较大等优点，故在机器中用得较多。2．齿轮传动已知其啮合齿轮的节圆半径分别为r1和r2，齿数分别为z1和z2，角速度为1和2。设A为主动轮啮合点，B为从动轮啮合点，因齿轮啮合没有相对滑动，故理论力学电子教程第八章刚体的基本运动vA=vBvA=r11，vB=r22而r11=r22故即传动比122112rri齿轮啮合时，齿轮啮合节圆上齿距相等，因此齿数与半径成正比，故12122112zzrri理论力学电子教程第八章刚体的基本运动例8-3如图所示，在连续印刷机的生产过程中，纸张需以匀速v代入印刷机，设r表示纸筒在任一瞬时的半径，b表示纸的厚度，试导出纸筒角加速度的表达式。【解】注意到纸的速度不变，因此两边求导得0dvdrdrdtdtdtrbvvr常数理论力学电子教程第八章刚体的基本运动由于每转一周，半径减小b，而当角速度改变时，半径变化dbdr222bdtdbdtdr故(2)将(2)式代入(1)式得322rb2ddrvdrdtrdtrdt故角加速度(1)理论力学电子教程第八章刚体的基本运动1.是非题(2)平动刚体上任一点的运动轨迹不可能是空间曲线。()(3)如果刚体上任一点的轨迹都是圆曲线,则刚体一定作定轴转动。（）【思考题】(1)某瞬时,刚体上有两点的轨迹相同,则刚体做平动。（）理论力学电子教程第八章刚体的基本运动2.选择题（1）如图所示,半径为R的飞轮,绕垂直与图面的O轴转动。图示瞬时，轮缘上A点加速度的大小、方向均为已知，则此时A点速度大小为（）AaD.A.ARaB.sinARaC.cosARacosARaAOaC理论力学电子教程第八章刚体的基本运动Arr3.平板放置在两个半径为的圆筒上,如图所示。在某瞬时,平板具有向右的匀加速度,在同一瞬时的圆筒周边上一点的加速度,假设平板与圆筒之间无滑动,试求该瞬时平板的速度vA。25.0scmaAcmr2523smaAAA答案：＝0.86m/sAv