第8章小波分析

1第8章小波分析8.1从傅里叶变换到小波分析标准傅里叶分析存在以下主要问题：（1）无时域局部化特性。为了求得傅里叶系数，理论上必须知道时域的全部信息，即傅里叶分析是对信号的总体的统计分析。反过来讲，时域上任一时刻信号的变化都将波及整个频谱图，从而导致傅里叶分析在时域上无任何局部化特性。这不利于非平稳信号、特别是瞬变信号的分析，在频域上是看不出这些突变特征的。（2）不能实现时频分析。信号分解转换到频域后，丢失掉了时域的信息，频域中某频率或频带内的信息和时域中某时刻或时宽内的信息没有直接的对应关系，即不能给出某一指定频带内的时域图形。这种对应关系称为时频分析，所以傅里叶分析不能进行时频分析，而时频分析在工程中却相当有用。由于标准傅里叶分析在工程应用中存在不足，所以需对其进行修正，Gabor在1964年引入了短时傅里叶变换。其基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为：(,)()()jtRSftgtedt（8-1）式中，()gt是紧支集的函数，及定义域（非零域）有限的函数；()ft是被分析的信号。在这个变换中，jte起着频限的作用，()gt起着时限的作用。随着时间的变化，()gt所确定的时间窗在t轴上移动，使()ft被逐段进行分析。()gt也被成为窗口函数，(,)S大致反映了()ft在时刻时频率为的信号成分的相对含量。短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身的不足，分析窗的大小和形状是恒定的，即短时傅里叶变换实质上是具有单一分辨率的分析；若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数()gt。因此，短时傅里叶变换适合用于分析平稳信号，但对于非平稳信号，在信号波形变化剧烈时，主频是高频，要求有较高的时间分辨率；而信号波形变化平缓时，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率，显然短时傅里叶变换不能同时兼顾二者。图8-1所示为短时傅里叶变换时频分析窗。图8-1短时傅里叶变换时频分析窗2小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定，但其形状可以改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，因此其对信号具有自适应性。小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar提出Haar规范正交基，以及1938年Littlewood-Paley对傅里叶级数建立的L-P理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在上世纪八十年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是1984年法国地球物理学家Morlet引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。在数学方面所做的探索主要是R.Coifman和G.Weiss创立的“原子”和“分子”学说，这些“原子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L.Carleron使用了非常象“小波”的函数构造了Stein和Weiss的空间1H的无条件基。直到1986年，法国数学家Meyer成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数，它的二进伸缩与平移Zkjkttjjkj,:222/,构成RL2的规范正交基。此前，人们普遍认为这是不可能的，如Daubechies,Grossman和Meyer都退而研究函数系002/0kbtaajj构成RL2的框架的条件去了。Lemarie和Battle继Meyer之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的Mallat快速小波分解和重构算法。1988年Daubechies构造了具有紧支集的正交小波基。Coifman,Meyer等人在1989年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。1992年A.Cohen,I.Daubechhies等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。近年来，一种简明有效的构造小波基的方法--提升方案(LiftingScheme)得到很大的发展和重视。利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤，另外，它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小波被认为是第二代小波。小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。8.2小波变换的基本概念8.2.1小波的定义小波函数的定义：设()t为平方可积函数，即2()()tLR，若其傅里叶变换()满足2()RCd（8-2）3则称()t为一个基本小波，又称为小波基（函数）、小波核（函数）或母小波。由于基本小波()t生成的小波,()abt在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以()t还应该满足一般函数的约束条件()tdt（8-3）故()是一个连续函数。这意味着，为了满足容许条件式（8-3），()在0时必须等于零，即ˆ(0)()0tdt（8-4）上式说明，()t围绕时间轴的面积必须为零，故()t必须是一个振荡波形；同时，又希望有局部化的时窗，因此，()t应该选用快速衰减的短小波形。根据这两点，()t被称为小波。将基本小波()t经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。小波序列为,1()abtbtaa,,0abRa（8-5）式中：a-尺度（缩放）因子b-平移因子1a-归一化因子，使不同尺度的小波保持相同的能量。小波变换的基本思想来源于伸缩和平移方法。（1）尺度伸缩（Scaling）对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩与伸展，时间尺度a是反比于频率。尺度a越大，意味着小波函数在时间上越长，即被分析的信号区间越长。因此，尺度越大意味着对信号的较长的时间段进行近似比较，主要获取的是信号的低频特性。反之，尺度越小，意味着只对信号的较小的细节部进行比较，因此主要获得的是信号的高频特性。（2）时间平移（Shifting）是指小波函数在时间轴上的波形平行移动。对于离散伸缩、平移的情况，小波序列为/2,()2(2)jjjkttk(,)jkZ（8-6）对于任意函数2()()ftLR的连续小波变换定义为1/2*,(,),()fabRtbWabfaftdta(8-7）4其中*是的共轭函数。小波逆变换为211()(,)fRRtbftWabdadbCaa(8-8)图8-2小波变换的时频分析窗小波变换的时频窗口与短时傅里叶的时频窗口不一样，其窗口形状如图8-2所示为两个矩形00ˆˆ[,][()/,()/]babaaa，窗口中心为0(,/)ba，时窗和频宽分别为a和ˆ/a。其中是母小波函数()t的半时宽，ˆ是()的半频宽；b只影响窗口在相平面时间轴上的位置；而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的，即在低频时小波变换的时间分辨率差，而频率分辨率较高。而在高频时相反。这正好符合低频信号变化缓慢高频信号变化迅速的特点。这也是小波变换优于标准傅里叶变换和短时傅里叶变换的地方。8.2.2常用小波函数与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数()t具有多样性。小波分析在工程应用中一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，针对同一分析对象，选用不同的小波基其分析结果也不同。目前主要是通过小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判断小波基的好坏，并确定小波基。下面介绍一些常用的小波函数。（1）、Haar小波Haar函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支集的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，如图8-3所示。Haar函数的定义为1....(01/2)1...(1/21)0....(Hxx其他）（8-9）5图8-3Haar函数（2）、Daubechies（dbN）小波系对于正交小波，希望它是有限支撑的，以便使小波变换的快速算法更快捷；希望它是光滑的，以便高精度地模拟和分析信号；希望它是时域和频域的局部化能力是强劲的，以便在信号分析处理中发挥突出的作用。Daubechies小波为此做出杰出贡献，其中一阶Daubechies小波就是上面介绍的Haar小波。Daubechies系中的小波基记为dbN，N为序号，且N=1，2，3，…，10。dbN大多数不具有对称性，正则性随着N的增加而增加，函数具有正交性。除了一阶Daubechies小波，其他Daubechies小波没有明确的表达式，但转换函数0H的平方模式明确的，即2220cossin22NHP（8-10）式中210012NjkkkHhe110NNkkkkPyCy其中1NkkC为二次项系数。图8-4为4种Daubechies小波。图8-4Daubechies小波函数6（3）、Morlet（Morl）小波Morlet函数（图8-5）定义为2/20()cosxxCex05（8-11）它的尺度函数不存在，故不具有正交性。图8-5Morlet函数图8-6墨西哥帽函数（4）、MexicanHat（Mexh）小波Mexican（图8-6）函数定义为21/42/22()(1)3xxxe（8-12）它是Gauss函数的二阶导数，因为其形状像墨西哥帽的截图，所以称它为墨西哥帽函数。它在时域和频域都有很好的局部化能力，并且满足：()0xdx由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。表8-1列出了几种常用小波的主要性质对比。表8-1种常用小波的主要性质对比小波函数HaarDaubechiesMorletMexicanHatBiorthogonalCoifletSymletMeyer正交性有有无无无有有有双正交性有有无无有有有有紧支撑集有有无无有有有无连续小波变换可以可以可以可以可以可以可以可以离散小波变换可以可以不可以不可以可以可以可以可以，但无FWT支撑长度12N-1有限长度有限长度重构：21rN6N-12N-1有限长度7分解：21dN滤波器长度22N[-4,4][-5,5]max(2,2)2rdNN6N2N[-8,8]对程性对称近似对称对称对称不对称近似对称近似对称对称小波函数消失矩阶数1N--1rN2NN-尺度函数消失矩阶数-----2N-1--8.2.3连续小波变换连续小波变换也称积分学小波变换。连续小波变换和重构按式（8-2）～（8-8）给出。从其定义上看，连续小波变换定量地表示与小波函数系中的每个小波相关或近似的程度。如果把小波看成是2()LR空间的基函数，那么，连续小波变换就是在基函数系上分解和投影。连续小波运算的基本步骤如下。（1）选择一个小波函数，将其与要分析的信号起点对齐；（2）计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度，即计算小波变换系数C。C越大，说明此刻信号与所选小波函数波形越相近；(3)将小波函数沿着时间轴向右移动一个单位时间，然后重复1、2步骤，求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完信号的时间长度；（4）将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复1、2、3步骤；(5)对所有的小波函数尺度重复1、2、3、4步骤。最后，将得到使用不同尺度评估信号在不同时间段的系数，这些系数就表征了原始信号在这些小波函数的投影大小。连续小波变换具有如下性质：性质1（线性）：设thtgtf，则,,,fghWabWabTab性质2（平移不变性）