第06次课教案-傅立叶变换法及集总分析

《高等传热学》研究生课程教案-第六次课(2学时)非稳态导热㈣傅立叶变换法集总热容问题第1页非稳态导热㈣傅立叶变换法在一维非稳态导热问题中的应用参考文献[1]PP23-29一、傅立叶变换的数学基础1.傅立叶变换求解方法的适用条件：()ft可展开为傅里叶级数的条件为Direchlet条件，即(1)()ft绝对可积，即21()ttftdt；(2)()ft在区间内连续或有有限个第一类间断点；(3)()ft在区间内至多只有有限个极值点。2、傅立叶变换基本概念对于无界区间(,)上的函数()fx满足Direchlet条件且()fxdx绝对收敛，则它的Fourier变换存在，1()()2ikxFkfxedx；而逆变换（反演）是1()()2ikxfxFkedk3、傅立叶变换的性质(1)线性性质：若11()()FfF22()()FfF则1212()()()FffFfFf；(2)两函数卷积的傅里叶变换等于各自傅里叶变换后象函数的乘积。即：1212(*)()()FffFfFf；(3)两函数乘积的傅里叶变换等于其各自傅里叶变换象函数的卷积乘以12，即：12121()()*()2FffFfFf；(4)导数的傅里叶变换等于原函数傅里叶变换的象函数乘以i，条件是当x时，()0fx；(5)n阶导数的傅里叶变换公式为：()()()nnFfxiFf(6)傅里叶变换的导数等于原函数乘以ix后的傅里叶变换。()()()()()ixixddFffxedxfxixedxFixfxdd二、傅立叶变换的求解方法傅氏变换方法在求解无限大区域内的某些稳态和非稳态导热问题时，能够将温度对某空间变量的二阶《高等传热学》研究生课程教案-第六次课(2学时)非稳态导热㈣傅立叶变换法集总热容问题第2页导数变换成代数式。或使微分方维纸数减少，或将偏微分方程变换为常微分方程。1、基本思路应用傅里叶变换解微分方程时可按如下步骤进行：即(1)将所给的微分方程作傅里叶变换，得象方程；(2)求象方程的解；(3)将所得的解作傅里叶逆变换，得原方程的解；(4)利用边界条件确定常系数，最后求得问题的解．2、无限大区间一维非稳态导热问题的标准解数学描述：,22xfxtat2tatfxxt0,，0,()t0tx'22()''0()(,)aateed标准解为：22')()()''4(4'0111(,)()(,)44xxaatxeddfedaa其中，第一项反映初始温度分布的影响，第二项反映内热源的影响。许多一维非稳态导热问题的解可以从这个解直接导出。3、Dirac函数在导热问题中的应用Dirac性质：（1）当x时，(,)0x；当x时，(,)x；（2）(,)1xdx；（3）()(,()fxxdxf）。例：一个半无限大物体初始温度是零度。当时间τ＞0时，在x＝0的边界表面处加入定常热流qw(W/m2)。试求时间τ＞0时物体中温度分布的表达式。解：问题的数学描写为：《高等传热学》研究生课程教案-第六次课(2学时)非稳态导热㈣傅立叶变换法集总热容问题第3页利用标准解，22')()()''4(4'0111(,)()(,)44xxaatxeddfedaa有2')()'4('0211(,)(,0)4xawqtxdxedca得2212uwuqxteedu注：实际中wq是加在0x一侧的，当使用标准解时，对(,)区间在0x处加入的总热量应为一侧的两倍，因此在内热源项需乘以2.4、标准解的应用典型问题：例：一个半无限大物体在x＝0的边界表面处绝热，初始温度在0xl处，t=t0，在xl处，t=0。试求时间τ＞0时物体中温度分布的表达式。解：数学描述及初始温度为：标准解为：22()()044021(,)()44xxlaattxededaa令4xa，进行变量代换得，204042(,)()44xlaxatxlxtxedterferfaa作业：1、总结付立叶变换法的解题基本步骤及应用范围。答：傅立叶变换法分析问题的基本步骤：⑴对所给微分方程及初始条件分别作傅立叶变换变换后，得象方程；⑵求象方程的解；⑶将所得的象函数作傅立叶逆变换即得原方程的解。⑷利用边界条件确定常系数，最后求得问题的解。应用范围：《高等传热学》研究生课程教案-第六次课(2学时)非稳态导热㈣傅立叶变换法集总热容问题第4页(1)傅氏变换方法在求解无限大区域内的某些稳态和非稳态导热问题时，能够将温度对某空间变量的二阶导数变换成代数式。或使微分方程维数减少，或将偏微分方程变换为常微分方程。(2)该方法适合求解具有内热源的导热问题。薄壁物体非稳态导热问题的集总热容解析解参考文献[2]PP82-91，参考文献[3]PP40-45，教材PP41-42。1.薄壁物体非稳态导热模型的理论意义及其工程应用。建立薄壁物体非稳态导热模型可大大简化计算，将物体的导热热阻看做趋于零，这时物体内的温度分布趋于一致。Bi→0是一种极限情形，工程上把Bi＜0.1看作是接近这种极限情形的依据，平壁中心温度与表面温度的差别≤5％，温度接近一致，此时就可采用集总参数法解决非稳态导热问题。2.薄壁问题的判断及其实际意义，Bi数的物理意义给出一任意形状的物体，如果它的导热系数很大，或者尺寸很大，或者它的表面与周围流体间的表面传热系数很小，就可视为薄壁问题，可认为其Bi＜0.1，即可采用集总参数法解决问题。Bi数的物理意义：物体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的对流换热热阻之比。3、总结集总分析解的解题基本步骤及应用条件。步骤：⑴分析物体是否符合集总参数法的应用条件⑵若符合条件，根据题意，写出相应的冷却（加热）的热平衡方程⑶采用分离变量等方法，求解热平衡方程，写出温度的表达式⑷由温度的表达式，可知温度的变化和分布情况应用条件：物体的导热系数很大，或者尺寸很大，或者它的表面与周围流体间的表面传热系数很小4、典型问题的求解1.分析(1)—环境温度保持为常量reVchAtttt/f0f0exp2.分析(2)—环境温度随时间线性变化)()exp(hAVcbVchAhAVcb3.分析(3)—环境温度按简谐波变化rrfrrfAA122220tgcos1exp1《高等传热学》研究生课程教案-第六次课(2学时)非稳态导热㈣傅立叶变换法集总热容问题第5页4.分析(4)—其他情况物体与环境处于辐射换热条件下；辐射对流组合环境条件；环境温度不变，但物体比热随温度呈线性变化；多容系统。作业：3、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm的圆球，其材料的密度为89003mkg，比热容为390KkgJ，测量记录的最高和最低温度分别为130℃和124℃，周期为20s。若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为20KmW2，试确定气流的真实温度变化范围。参考文献：[1]侯镇冰等．固体热传导[M]．上海：上海科学技术出版社．1984[2]林瑞泰．热传导理论与方法[M]．天津：天津大学出版社，1992[3]贾力等．高等传热学[M]．北京：高等教育出版社．2003