第06章信号的时频分析2小波变换

机械工程与应用电子技术学院北京市先进制造技术重点实验室KeyLaboratoryofAdvancedManufacturingTechnology1胥永刚/张建宇现代测试信号分析与处理(AdvancedSignalAnalysisandProcessing)2讲授提纲绪论1信号分析基础2模拟信号数字化过程3离散信号分析与数字滤波4调制信号的解调分析方法5非平稳信号的时频分析6信号的自适应分解方法7盲信号处理技术及其应用836.4小波变换的理论与应用○函数的表示方法○小波变换的基本理念○基函数类型及其比较分析○离散小波变换与塔式算法○小波降噪方法○小波包分解○提升小波变换（二代小波）○多小波分析多分辨率分析FFTFFTFFT时频分析回顾4时频分析回顾5jjxetgxdetgxtSTFT)(),()()(),(*短时傅立叶变换(STFT)的概念:时频分析回顾6Ω2t1t2Ω1vGt11,vGt22,11,tg22,tgSTFT的频率分辨率fdffGdffGff2222)()()(dttgdttgtt2222)()()(STFT的时间分辨率t时频分析回顾7实际中信号分析的要求：•信号高频部分对应时域中的快变成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。•信号低频成分对应时域中的慢变成分，分析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要求高。因此，短时Fourier变换不能敏感地反映信号的突变，不能很好地刻画信息。时频分析回顾8苏轼名句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”蕴涵了信号处理的本质。从不同的角度观测信号将会得到不同的信息。只有观测位置得当，才能看到信号的庐山真面目。傅立叶变换、短时傅立叶变换和小波变换的本质区别就是信号观测角度和观测方法的不同，这种不同无疑是以基函数的结构和特点为标志的。时频分析回顾9(1)1807:JosephFourier•傅立叶变换(Fouriertransform)是1807年法国科学家JosephFourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分支——傅立叶分析。•傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。•用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定这些频率出现在什么时候。§6.4.1函数的表示方法10§6.4.1函数的表示方法11(2)1910:AlfredHaar发现Haar小波•哈尔(AlfredHaar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。•1909年他发现了小波，1910年被命名为Haarwavelets•他最早发现和使用了小波。§6.4.1函数的表示方法12(3)1945:Gabor提出STFT•虽然基于Fourier变换的频谱分析，在需要信号分析及数据处理的物理、电子、化学、生物、医学、军事、语音、图像、视频等众多科学研究与工程技术的广阔领域得到了非常广泛和深入应用，但对既需要频谱分析又要求时空定位的应用，如雷达探测、语音识别、图像处理、地震数据分析等等，Fourier分析技术就显得力不从心了。•20世纪40年代Gabor开发了STFT(shorttimeFouriertransform)§6.4.1函数的表示方法13§6.4.1函数的表示方法14虽然窗口Fourier变换能部分解决Fourier变换时空定位问题，但由于窗口的大小是固定的，对频率波动不大的平稳信号还可以，但对音频、图像等突变定信号就成问题了。本来对高频信号应该用较小窗口，以提高分析精度；而对低频信号应该用较大窗口，以避免丢失低频信息；而窗口Fourier变换则不论频率的高低，都统一用同样宽度的窗口来进行变换，所以分析结果的精度不够或效果不好。迫切需要一种更好的时频分析方法。§6.4.1函数的表示方法15(4)1980:Morlet提出了CWT•CWT(continuouswavelettransform)•20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家JeanMorlet提出了小波变换WT(wavelettransform)的概念。•20世纪80年代,从STFT开发了CWT：§6.4.1函数的表示方法16但并没有受到学术界的重视。直到1986年法国大数学家YvesMeyer构造出平方可积空间L2的规范正交基——二进制伸缩平移系，小波才得到数学界的认可。1987年正在读硕士的StephaneMallat将自己熟悉的图像处理的塔式算法引入小波分析，提出多分辨分析的概念和构造正交小波的快速算法——Mallat算法。§6.4.1函数的表示方法171988年法国女科学家InridDaubechies构造出具有紧支集的正交小波基——Daubechies小波。1990年美籍华裔数学家崔锦泰和武汉大学的数学教授王建忠又构造出基于样条函数的单正交小波函数——样条小波。1992年Daubechies在美国费城举行的CBMS-NFN应用数学大会上作了著名的《小波十讲,TenLecturesonWavelets》报告，掀起了学习与应用小波的高潮。1994年WimSwelden提出了一种不依赖于Fourier变换的新的小波构造方法——提升模式(liftingscheme)，也叫第二代小波或整数小波变换。§6.4.1函数的表示方法18傅立叶变换的几个基函数短时傅立叶变换的几个基函数小波变换的几个基函数§6.4.1函数的表示方法1920§6.4.1函数的表示方法FT、STFT、WT之比较“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特性。abtatab2/1,)(式中a和b均为常数，且a0.定义：设且，即给定一个基本函数，通过伸缩a和平移b产生一个函数族：)(t12LL0)0(这一函数族叫分析小波（AnalysisWavelet）或连续小波，叫基本小波或母小波。)(t§6.4.2小波变换的基本理念21以较高频率作分析平移方向镜头推进方向以较低频率作分析ttxdtattxaaax,,1,WT0a小波变换的含义是：把母小波ψ(t)作时移τ，再在不同尺度a下与待分析信号x(t)作内积：，§6.4.2小波变换的基本理念22CWT可见，由于小波基的伸缩和平移，决定了小波变换是多分辨的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看到了树木（信号细节），能精确地在时间-频率（时间-尺度）平面内刻画非平稳信号的特征，被誉为“数学显微镜”。尺度因子a与频率相对应，时移因子b与时间对应。tba,为展宽小波，当取大于1的值时，a当取小于1的值时，a为缩窄小波。tba,?b§6.4.2小波变换的基本理念23§6.4.2小波变换的基本理念24§6.4.2小波变换的基本理念25(1)选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始点对齐；(2)计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近，如图所示。§6.4.2小波变换的基本理念26(3)将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长度，如图所示；§6.4.2小波变换的基本理念27(4)将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；(5)对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。§6.4.2小波变换的基本理念28尺度与频率的关系如下：小尺度a压缩的小波快速变换的细节高频部分大尺度a拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分§6.4.2小波变换的基本理念29dc2ˆ并不是任意函数就可以做母小波，而是要满足一定的条件，即允许性条件：（1）紧支性由可知1Ldtt)(即具有衰减性。)(t（2）波动性由允许性条件可知0)(dtt即均值为0，具有波动性，同时也具有带通性。)(t它必然具有正负交替的振荡波形，“小波”（Wavelet）由此得名。§6.4.2小波变换的基本理念302)}(1.{)},({12adadbabtaabWTCtxRxt)(如果小波函数的傅立叶变换满足容许条件则小波变换是可逆的，且具有如下重构公式（小波反变换）dc2ˆ§6.4.2小波变换的基本理念31STFTWavelet]1,1[],[ˆ*ˆ***aaaaaatbaatb§6.4.2小波变换的基本理念32小波时频窗：若将通带宽度与中心频率的比值称为某一带通滤波器的品质因数，即的品质因数)(t200ˆˆ,22aaba中心频率带宽当其经过尺度伸缩后，其品质因数即带宽与中心频率的比与中心频率的位置无关，这样的适配带通滤波器称为“常数-滤波”。这样，小波基函数作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a变化，是一组频率特性等的带通滤波器组。QQ§6.4.2小波变换的基本理念33生理学研究表明，人类感觉（包括视觉、听觉）的生理过程机制与小波分析颇有类似之处。举例来说，对听觉起关键作用的耳蜗内基底膜，其作用就相当于一组建立在薄膜振动基础上的恒带通频率分析器。正因为如此，小波分析现在已广泛地应用于语音特征提取、计算机视觉等诸多领域。§6.4.2小波变换的基本理念3435§6.4.3基函数类型及其比较分析(1)时间-尺度图36§6.4.3基函数类型及其比较分析(1)时间-尺度图dxabxxfabaWf)(||1),(2/12000)(t)1(t)2/(t2Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：011)(t其它12/12/10tt)(t的傅里叶变换是：2/2)(sin4)(jeaj§6.4.3基函数类型及其比较分析(2)几种典型的基函数——Harr小波372/24/12)1(32)(tett2/222)(ec-4-2024-0.4-0.200.20.40.60.81Mexicanhatwavelet:Psi00.5102468101214161820TheFTofPsi(a)时域波形(b)频谱§6.4.3基函数类型及其比较分析(2)几种典型的基函数——Mexicanhat小波382tkk2edtdct/)(821k,,,-10-50510-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2Gaussianwavelet:Psi00.51051015TheFTofPsi(a)时域波形(b)频谱§6.4.3基函数类型及其比较分析(2)几种典型的基函数——Gaussian小波39Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者IngridDauechies于90年代初提出并构造的。Db小波常用dbN的形式表述，表示db小波的阶次，时，db1即是Haar小波。N1N-0.707106781186550.7071067811865520.707106781186550.707106781186551Daubechies(D1-Haar)N=10.48296291314453-0.129409522551263-0.836516303737810.2241438680420120.224143868042010.8365163037378110.129409522551260.482962913144530Daubechies(D2)N=2n)(nh)(1nhn)(n