第8章相量法.

第8章相量法复数8.1正弦量8.2相量法的基础8.3电路定律的相量形式8.4本章重点目的：交流电路的分析基础!日常生活，交流电应用广泛!20140V90V3i51i2i61u2u3u(a)回顾：直流电路中学习了哪些定理与方法？三个基本工具：欧姆定理，KCL,KVL三种基本方法：支路电流法、节点电压法、回路（网孔）电流法四个基本定理：叠加定理、戴维南定理、替代定理、齐性定理基尔霍夫电流定律(KCL)leavingenteringII基尔霍夫电压定律(KVL)在设定回路的循行方向，电压升等于电压降。dropriseUU任一节点，电流流入等于电流流出。KCL，KVL对于直流电路、交流电路、动态电路，在任何时刻均成立！•所有之前介绍的定理和方法在交流电路的是否可以使用？如回路电流法、节点电压法、戴维南定理、叠加定理……线性时不变电阻i+Rtitu)()(d()()dutitCt线性时不变电容+-u(t)iLttiLtud)(d)(线性时不变电感C＋－ui三类元件的时域关系式在直流、交流电路中均成立！时域关系式ttuCtid)(d)(当u为常数(直流)时，i=0。电容相当于开路，电容有隔断直流作用；C＋－u+q-q交流情况下电容如何处理？ttiLtud)(d)(当i为常数(直流)时，u=0。电感相当于短路；+-u(t)iL交流情况下电感如何处理？交流发电和供电系统由发明家尼古拉•特斯拉所发明，1888年，特斯拉获得西屋公司的企业家乔治‧西屋的支持，展开为期6年的交流电发明。再过了半年后，即替他研制的“交流电发电机”取得专利，并在美国电机工程师学会邀请发表和示范讲解“交流电”发电的研究成果。为什么使用交流电？我们使用的电如何而来？电力系统的组成为什么使用交流电？只有在通过交流电的作用下，才能工作正弦交流电是工农业生产和和日常生活中所使用的电能的主要形式，比直流电具有更为广泛的应用。这主要因为：利用变压器可灵活地将交流电压升高或降低，因而又具有输送经济、控制方便和使用安全的特点从电能的产生、输送和使用上，交流电都比直流电优越。因此，研究正弦交流电路更具有重要的现实意义，交流电路是电工学中很重要的一个部分。我国国家标准规定的电力网额定电压有10KV、35kV、110kV、220kV、330kV、500kV，目前大力研究750KV,1000KV，已经有线路试运行。市区一般输电电压为10kV左右（江苏在试点20KV）电压等级，通常需要设置降压变电所，经配电变压器将电压降为380/220V，再引出若干条供电线到各用电点的配电箱上，配电箱将电能分配给各用电设备。电力网分输电网与配电网！138.1复数（一）复数的表示形式代数形式：指数形式：三角函数式：极坐标式：jbaF）（为虚数单位1jj||eFF)sin(cos||jFFFF几种表示法的关系：abθbaFarctan||22sin||cos||FbFaFbReImao|F|baFj||||jFeFF15（二）复数运算加减运算：(用代数形式进行)则F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若F1=a1+jb1，F2=a2+jb2乘除运算：(用指数形式或极坐标形式进行)222111||,||FFFF若)(212121FFFF则：)(212121θθ||F||FFF除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。16例1：例2：?2510475)226.4063.9()657.341.3(jj原式569.047.12j61.248.12?5206)(49)(1735220jjj04.1462.203.56211.79.2724.192.1262.180j原式16.70728.62.1262.180j329.6238.22.1262.180jj365.2255.1325.182j（二）复数运算旋转因子：复数ej=cos+jsin=1∠F•ejFReIm0旋转因子F•ejF•ej相当于F逆时针旋转一个角度，而模不变。故把ej称为旋转因子。jjej2sin2cos,22jjej)2sin()2cos(,221)sin()cos(,jejej/2=j,e-j/2=-j,ej=–1故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。几种不同值时的旋转因子：ReIm0IIjIjI8.2正弦量的基本概念一.正弦量：按正弦规律变化的电流或电压。瞬时值表达式：i+_u波形：tiOT周期T(period)和频率f(frequency):频率f：每秒重复变化的次数。周期T：重复变化一次所需的时间。f=1/T单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒i(t)=Imcos(wt+y)(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。(2)角频率(angularfrequency)w：每秒变化的角度(弧度)，反映正弦量变化快慢。二、正弦量的三要素：tiOy/wT(3)初相位(initialphaseangle)y：反映了正弦量的计时起点。(wt+y)表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角(wt+y)=y，故称y为初相位角，简称初相位。它表示了正弦量的起点。Im2wtTfw22单位：rad/s，弧度/秒i(t)=Imcos(wt+y)同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定：|y|。y=0y=/2iowtyi(t)=Imcos(wt+y)三、同频率正弦量的相位差(phasedifference)。设u(t)=Umcos(wt+yu),i(t)=Imcos(wt+yi)则相位差即相位角之差：j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi同频率时，等于初相位之差j0，u超前ij角，或i滞后uj角,(u比i先到达最大值)j0，i超前uj角，或u滞后ij角,(i比u先到达最大值）。wtu,iuiyuyijOu比i先到达最大值j0，u超前ij角，或i滞后uj角,(u比i先到达最大值)j＝0，同相j=(180o)，反相特殊相位关系wtuiowtuioj=/2：u领先i/2wtuio【例】已知()102cos(31460)A()20cos(31460)Vittutt，+求i、u的最大值、角频率、频率、周期、初相及u、i之间的相位差解m21014.14AIm20VU314rads(2π)314(2π)50Hzfww2π2π3140.02sTw6060120iuuiyyjyy正弦交流电三要素计算例：tuOT)sin(ywtUum正弦量的任一瞬间的值为瞬时值，瞬时值的最大值为幅值。瞬时值和幅值是表征正弦量大小的物理量，但是瞬时值一直在变化，而幅值在一个周波内只出现2次。在相同的两个电阻中，分别通以正弦电流i和直流电流I,在一个周期内若周期电流i所做的功等于直流电流I所做的功，则把直流I称为周期电流i的有效值。Ri(a)正弦电流RI(b)直流220dTRitRIT201dTIitT正弦电流、电压的有效值TttiTI02defd)(1方均根值RMS同样，定义电压有效值：TttuTU02defd)(1瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。对正弦电流m()cos()itItwy，其有效值为22m02m0mm1cos()d11cos2()d20.7072TTIIttTtItTIIwywym()cos()2cos()itItItwywyTttiTI02defd)(1同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU221mm或若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；U=380V，Um537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。UUuIIi,,,,,mm测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。KCL,KVL在直流、交流电路均成立！RtitututuRsR)()(0)()(11V112VR11kΩR11kΩV1220Vrms50Hz0°Iii=?+_+_()2202cos(314t)VsutA)30314cos(o1tiI1＝3AI2＝4AI3＝7Ai3＝?A)60314cos(o2ti交流时，所有计算变为三角函数计算！如何绕过三角函数计算进行交流电路计算？)60314cos()30314cos(213oottiii思考：•正弦交流电与复数之间到底有何联系？FbReImao|F|wtu,ii1i2oFbaFji(t)=Imcos(wt+y)8.3相量法的基础以角速度w旋转的复数在X轴的投影就是正弦函数！j()metIwyi(t)=Imcos(wt+y)每个正弦函数都有一个旋转的复数与其对应！所以可以将三角函数的运算转化为复数的运算)(:),5cos(2120)(tittu求已知+_15u4H0.02Fi本课程进行同频率电源正弦交流电路的稳态分析，可以证明所有的响应（电流、电压）都是与电源同频率！（一）正弦量的（有效值）相量表示构造一个旋转复数)j(e2)(wtItA若对A(t)取实部是一个正弦量，有物理意义。)Icos(2)](Re[ΨttAw对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的旋转复数：)j(2)()(c2ΨtIetAΨtosIiwwA(t)包含了三要素：I、、w，复数包含了I,。A(t)还可以写成tωtωeIItAψjj2ee2)(j复数)sin(2j)cos(2ΨtItIww整个电路中，频率一致加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。)cos(2)(ΨIIΨtItiw)cos(2)(θUUθtUtuw称为正弦量i(t)对应的相量。ΨII正弦量的（有效值）相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1.试用相量表示i,u.)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4.141oouti解：V60220A30100ooUI例2.试写出电流的瞬时值表达式。解：A)15314cos(250ti.50HzA,1550fI已知时域形式转换为相量形式相量形式转换为时域形式为什么可以如此表示，应用条件是什么？正弦量的（有效值）相量表示:相量的模为正弦量的有效值相量的幅角为正弦量的初相位在同频率的条件下，每个正弦函数都有一个复数与其对应！因此相量法的基础是同频率！（二）相量图相量和复数一样可以在平面上用向量表示IItωosIti)(c2)(θUUθtosUtu)(c2)(wUI（三）相量法的应用同频率正弦量的加减)2Re()cos(2)()2Re()cos(2)(j2222j1111tteUΨtUtueUΨtUtujj1212jjj1212()()()Re(2)Re(2)Re(22)Re(2())tttttutututUeUeUeUeUUeU21UUU相量关系为：同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。【例】已知